Темы: Денежные лотереи и отношение к риску. Примеры выбора в условиях неопределенности

Семинар 2.

Темы: Денежные лотереи и отношение к риску. Примеры выбора в условиях неопределенности.

1. Парадокс Алле. В эксперименте, описанном Алле, рассматривается выбор между двумя простыми лотереями, исходами которых являются денежные призы: $2.5 млн.,

Семинар 2.

Темы: Денежные лотереи и отношение к риску. Примеры выбора в условиях неопределенности.

1. Парадокс Алле. В эксперименте, описанном Алле, рассматривается выбор между двумя простыми лотереями, исходами которых являются денежные призы: $2.5 млн., $0.5 млн. и 0$. Потребителю предлагалось сделать выбор между лотереями и и он отдавал предпочтение первой лотерее: . Далее тому же потребителю предлагали выбрать одну из двух других лотерей и . В этой ситуации потребитель отдавал предпочтение последней лотерее, то есть . Покажите, что подобный выбор противоречит теории ожидаемой полезности.

2. Рассмотрите индивида с первоначальным богатством , предпочтения которого представимы функцией ожидаемой полезности. Пусть лотерея обещает выплату в размере с вероятностью и в размере с вероятностью .

(а) Если индивид владеет лотереей , то по какой минимальной цене он согласится ее продать?

(б) Если индивид не владеет лотереей то по какой максимальной цене он согласится ее купить?

(в) Покажите, что для индивида нейтрального к риску цена покупки из пункта (б) и цена продажи из пункта (а) будут совпадать.

Приведите графическое и аналитическое решение.

3. Рассмотрите индивида – рискофоба, который решает, как ему распределить свое богатство, равное 1, между двумя активами. Первый актив – безрисковый: вложив 1 рубль в этот актив, он получит рубль обратно без какого-либо дополнительного дохода. Вложив 1 рубль во второй актив, можно получить с вероятностью и с вероятностью , где . Будем считать, что предпочтения индивида представимы функцией ожидаемой полезности с дифференцируемой элементарной функцией полезности.

(а) Приведите простое необходимое условие (включающее только и ) положительности спроса на безрисковый актив. Обоснуйте свой ответ.

(б) Приведите необходимое условие (включающее , и ) положительного спроса на рисковый актив. Обоснуйте свой ответ.

(в) Докажите, что условие из пункта (б) является не только необходимым, но и достаточным.

Далее считайте, что условия пунктов (а) и (б) выполнены.

(г) Покажите, что , где – спрос на безрисковый актив и .

(д) Как изменится спрос на безрисковый актив при малом увеличении ? Сначала ответьте на вопрос, базируясь на вашей интуиции, а затем определите знак и сравните полученные результаты.

4. Агент-рискофоб распределяет свое богатство между рисковым активом и безрисковым - с валовой доходностью, равной 1. Вложив рубль в рисковый актив, он может получить 2 рубля с вероятностью ½ и 0.5 рубля с вероятностью ½. Предпочтения агента представимы EUF с возрастающей элементарной функцией полезности . В настоящий момент все средства данного агента вложены в безрисковый актив. Персональный менеджер инвестиционной компании предложил данному клиенту поместить половину богатства в безрисковый актив, а половину - в рисковый, но клиент отклонил этот вариант. Когда менеджер предложил этому же клиенту вариант, где сумма вложений в рисковый актив составила 75% и лишь 25% средств вкладывалось в безрисковый актив, то клиент согласился. Можно ли на основании данных наблюдений сделать вывод, что клиент не рационален? Приведите аналитическое и графическое решения.

5. Рассмотрите модель спроса на страховку для потребителя - рискофоба. Пусть цена страховки больше вероятности потерь .

(а) Покажите, что при дифференцируемой функции полезности в этой ситуации агент не будет покупать полную страховку.

(б) Покажите, что, если функция полезности не дифференцируема, то возможна ситуация, при которой агент приобретет полную страховку.

.5 млн. и 0$. Потребителю предлагалось сделать выбор между лотереями и и он отдавал предпочтение первой лотерее: . Далее тому же потребителю предлагали выбрать одну из двух других лотерей и . В этой ситуации потребитель отдавал предпочтение последней лотерее, то есть . Покажите, что подобный выбор противоречит теории ожидаемой полезности.

2. Рассмотрите индивида с первоначальным богатством , предпочтения которого представимы функцией ожидаемой полезности. Пусть лотерея обещает выплату в размере с вероятностью и в размере с вероятностью .

(а) Если индивид владеет лотереей , то по какой минимальной цене он согласится ее продать?

(б) Если индивид не владеет лотереей то по какой максимальной цене он согласится ее купить?

(в) Покажите, что для индивида нейтрального к риску цена покупки
из пункта (б) и цена продажи
из пункта (а) будут совпадать.

Приведите графическое и аналитическое решение.

3. Рассмотрите индивида – рискофоба, который решает, как ему распределить свое богатство, равное 1, между двумя активами. Первый актив – безрисковый: вложив 1 рубль в этот актив, он получит рубль обратно без какого-либо дополнительного дохода. Вложив 1 рубль во второй актив, можно получить с вероятностью и с вероятностью , где . Будем считать, что предпочтения индивида представимы функцией ожидаемой полезности с дифференцируемой элементарной функцией полезности.

(а) Приведите простое необходимое условие (включающее только и ) положительности спроса на безрисковый актив. Обоснуйте свой ответ.

(б) Приведите необходимое условие (включающее , и ) положительного спроса на рисковый актив. Обоснуйте свой ответ.

(в) Докажите, что условие из пункта (б) является не только необходимым, но и достаточным.

Далее считайте, что условия пунктов (а) и (б) выполнены.

(г) Покажите, что , где – спрос на безрисковый актив и .

(д) Как изменится спрос на безрисковый актив при малом увеличении ? Сначала ответьте на вопрос, базируясь на вашей интуиции, а затем определите знак и сравните полученные результаты.

4. Агент-рискофоб распределяет свое богатство между рисковым активом и безрисковым - с валовой доходностью, равной 1. Вложив рубль в рисковый актив, он может получить 2 рубля с вероятностью ½ и 0.5 рубля с вероятностью ½. Предпочтения агента представимы EUF с возрастающей элементарной функцией полезности . В настоящий момент все средства данного агента вложены в безрисковый актив. Персональный менеджер инвестиционной компании предложил данному клиенту поместить половину богатства в безрисковый актив, а половину - в рисковый, но клиент отклонил этот вариант. Когда менеджер предложил этому же клиенту вариант, где сумма вложений в рисковый актив составила 75% и лишь 25% средств вкладывалось в безрисковый актив, то клиент согласился. Можно ли на основании данных наблюдений сделать вывод, что клиент не рационален? Приведите аналитическое и графическое решения.

5. Рассмотрите модель спроса на страховку для потребителя - рискофоба. Пусть цена страховки больше вероятности потерь .

(а) Покажите, что при дифференцируемой функции полезности в этой ситуации агент не будет покупать полную страховку.

(б) Покажите, что, если функция полезности не дифференцируема, то возможна ситуация, при которой агент приобретет полную страховку.