Теория относительности

Лекция 5.

Теория относительности.

Первой теорией, которая объясняла все существующие к моменту ее создания явления природы, была механика Ньютона в основе которой лежали принцип относительности Галилея и преобразования координат и скорости Галилея.

Ньютон ввел в науку понятие теории. Любая теория должна основываться на небольшом числе постулатов (чем их меньше – тем лучше). На базе этих постулатов (законов) можно делать различные предсказания.

Теория должна допускать проверку опытом. Теория существует до тех пор, пока не находятся такие явления, которые невозможно объяснить с помощью её системы постулатов. Тогда создается новая система постулатов, объясняющая все явления природы. Старая система постулатов остается лишь частным случаем новой.

С развитием электродинамики и оптики становилось все очевиднее, что одной классической механики недостаточно для полного описания явлений природы.

Было известно, что для распространения звуковых волн необходима материальная среда (эксперимент с часами под колоколом вакуумного насоса). Естественно было предположить, что для распространения электромагнитных волн (света) тоже необходима материальная среда. Предположили, что этой материальной средой является эфир – некоторое неподвижное «желе», заполняющее все пространство. Частицы эфира, перенося свет, как частицы воздуха переносят звук. Тогда оптику можно включить в хорошо разработанную систему механики.

С введением гипотезы эфира разрешалась проблема распространения света, но возникала новая проблема: эфир оказался избранной системой отсчета для всей Вселенной (а принцип относительности Галилея гласит: все ИСО равноправны).

Эксперимент по обнаружению эфира в 1881 году провел в Потсдаме американский ученый Альберт Абрагам Майкельсон (1852 – 1931), в те времена молодой офицер военно-морского флота Соединенных штатов. В Берлинском университете, в лаборатории известного немецкого физика Германа Гельмгольца, молодой Майкельсон впервые попытался обнаружить эфирный ветер.

Идея эксперимента проста. Земля движется вокруг Солнца со скоростью 30 км/с в «эфирном море». Следовательно, световой луч должен испытывать действие эфирного ветра. это значит, что в направлении движения Земли скорость распространения света должна быть , а в противоположном направлении . Так как м/с, а м/с, то разница во времени, которую необходимо обнаружить будет очень маленькой. Как ее обнаружить и «отфильтровать» от погрешностей эксперимента?

В 1887 году Майкельсон и американский химик Морли предложили следующую схему эксперимента. В большой чаше с ртутью плавает бетонная плита, на которой смонтирована установка. Это необходимо для того, чтобы устранить влияние внешних вибраций. Установка состоит из источника света, плоскопараллельной пластины и двух зеркал. Луч света разделяется плоскопараллельной пластиной на два взаимно перпендикулярных луча. После этого они проходят одинаковые расстояния, отражаются от зеркал и опять встречаются на поверхности плоскопараллельной пластины. Образуется интерференционная картина. Если скорости распространения света по направлению движения Земли и перпендикулярно ему различны, то и времена прохождения этих одинаковых расстояний будут различны. Следовательно, разность фаз лучей, возвращающихся на плоскопараллельную пластину, будет отлична от нуля и различна при различной ориентации отрезков и относительно направления движения Земли. При выбранных расстояниях разность хода могла достигать половины длины волны . Такие измерения в то время были уже возможны. Сколько ни вращали установку в опыте Майкельсона–Морли интерференционные полосы и не думали изменять своего положения. В более поздних экспериментах можно было зафиксировать разность хода в . Однако изменение интерференционной картины не было зафиксировано.

Если бы этот эксперимент был проведен несколькими столетиями раньше, то вывод был единственный: Земля неподвижна. Поскольку факт движения Земли к концу 19 века ни у кого не вызывал сомнений, то было сделано несколько попыток спасти теорию эфира. Были придуманы следующие объяснения отрицательного результата опыта Майкельсона–Морли:

ü  Эфир увлекается Землей, поэтому эфирного ветра нет (Майкельсон экспериментально опроверг эту гипотезу);

ü  Наиболее необычное объяснение дал ирландский физик Джордж Фрэнсис Фитцджеральд. Он предположил, что длина предмета уменьшается в направлении движения и поэтому . Два американских физика Рой Дж. Кеннеди и Торндайк повторили опыт Майкельсона–Морли, но расстояния и взяли отличными друг от друга. Даже с учетом сокращения длины в направлении движения Земли и должны быть различными. А, следовательно, должно было наблюдаться изменение интерференционной картины. Изменение интерференционной картины обнаружено не было.

ü  Лоренц добавил еще одно предположение: время тоже изменяется. Под действием эфирного ветра замедляется ход часов.

Таким образом, отрицательный результат опытов Майкельсона-Морли объясняется очень просто – эфира нет. Нет эфира – нет избранной системы отсчета. А как тогда распространяются электромагнитные волны? Следовательно, одной механистической картины для описания всех явлений не достаточно.

При замене координат вид уравнений Максвелла для электромагнитного поля изменялся. То есть уравнения Максвелла не инвариантны относительно преобразований Галилея. То есть принцип относительности Галилея на электромагнитные явления не распространяется. Уравнения Максвелла принялись переписывать и видоизменять таким образом, чтобы в и уравнения Максвелла имели одинаковый вид. Однако уравнения Максвелла демонстрировали величайшую степень совпадения теории с экспериментом, а все вносимые поправки оказались неподтвержденными.

Повышение точности расчетов в теории движения Солнца и планет, привело к открытию нового эффекта: орбита Меркурия вращается вокруг Солнца со скоростью за 100 лет (а по современным данным ). Классическая механика Ньютона объяснить этот факт не могла. Предполагали, что между Солнцем и Меркурием есть гипотетическая планета – Вулкан, но она обнаружена не была.

Таким образом, возникла необходимость в пересмотре классической механики Ньютона и создании новой теории, которая смогла бы объяснить все эти (и многие другие) явления природы.

Специальная теория относительности (СТО) была впервые опубликована в 1905 году. Первоначально Эйнштейна интересовало, что происходит с электрическими и магнитными полями при скоростях, близких к скорости света. Но созданная им теория описывала не только поведение этих полей. В ней речь шла о понятиях: пространство, время, масса, электрические и магнитные поля. В ней говорилось о том, что происходит с пространством, временем и массой, когда тела движутся со скоростями близкими к скорости света.

Как понимали пространство и время до Эйнштейна? Пространство – это пустота, в которой существует все остальное. Время – это хронологическая последовательность событий в этой пустоте.

В начале и Эйнштейн рассматривал пространство и время по отдельности. На самом деле все намного сложнее. Теория Эйнштейна утверждает, что пространство – это физический «объект». Он может изменяться от точки к точке, растягиваться, искривляться.

Основные постулаты СТО:

1.  Принцип относительности. Все инерциальные системы отсчета равноправны. Во всех инерциальных системах отсчета не только механические, но и другие явления природы протекают одинаково.

2.  Принцип постоянства скорости света (порождает принцип причинности). Во всех инерциальных системах отсчета скорость света в вакууме одинакова и равна м/с.

Преобразования Лоренца и следствия из них.

При переходе из одной ИСО в другую координаты и время изменяются в соответствии с преобразованиями Лоренца.

Из преобразований Лоренца следует:

1.  Сокращение длин движущихся отрезков ,

2.  Замедление хода движущихся часов ,

3.  Относительность одновременности ,

4.  Релятивистский закон сложения скоростей

. .

5.  Предельный характер скорости света (порождает принцип причинности).

Инварианты преобразований Лоренца.

Инварианты – это величины, которые не изменяются при переходе из одной ИСО в другую ИСО.

1.  Скорость света в вакууме м/с.

2.  Преподаватель математики Эйнштейна в Цюрихском политехникуме Минковский объединил понятия пространства и времени в единый пространственно-временной континуум. Всякое событие характеризуется четырьмя координатами: х, y, z, ct. В этом пространстве событие изобразится точкой, которую принято называть мировой точкой. Всякой частице в четырехмерном пространстве соответствует линия, которая называется мировой линией ( для покоящейся частицы она имеет вид прямой линии, параллельной оси t). Интервалом между событиями называется величина

При переходе из одной ИСО в другую изменяются длины отрезков, изменяются интервалы времени, а пространственно-временной интервал не изменяется (инвариантен относительно преобразований Лоренца).

.

Ds2>0 – временеподобный интервал ( Dl<cDt )

Для событий разделенных временеподобным интервалом не существует СО, в которой они происходят одновременно, зато имеется СО, в которой они происходят в одной и той же точке пространства (Dl2=0). Следовательно, события разделенные временеподобным интервалом могут быть связаны причинно-следственной связью (образование и распад элементарных частиц ).

Ds2<0 – пространственноподобный интервал ( Dl>cDt )

События, разделенные таким интервалом, ни в какой СО не могут быть пространственно совмещенными, но для них всегда можно найти СО, в которой они происходят одновременно (Dt2=0).

Возьмем мировую точку О некоторого события за начало отсчета времени и координат. На рисунке представлена плоскость {x, t} в четырехмерном пространстве (y=0=z). Движение частицы со скоростью с вдоль оси х изобразится линиями х=±ct. Мировые линии всех частиц, проходящих через мировую точку О, будут лежать внутри светового конуса.

Для любой точки А, лежащей в верней части светового конуса (абсолютного будущего), DsОА – временеподобный ( во всех системах событие А происходит после О). Для любой точки В, лежащей в нижней части конуса, DsОВ –тоже временеподобный, однако во всех системах событие В происходит перед О.

Для любого события C и D, мировая точка которых лежит в абсолютно удаленных областях, интервалы DsОС и DsОD являются пространственно подобными, и следовательно, события О и С и О и D происходят в разных точках пространства. Понятие одновременности для этих событий относительно.

 

Релятивистское выражение для импульса и энергии.

Уравнения Ньютона и законы сохранения, полученные в классической механике, оказываются инвариантными по отношению к преобразованиям Галилея, но не к преобразованиям Лоренца. Необходимо найти такие выражение для импульса и энергии, чтобы ЗС были инвариантны по отношению к преобразованиям Лоренца при всех скоростях

, .

Из приведенных выражений видно, что в СТО возникает дополнительная (кроме кинетической и потенциальной) энергия, называемая энергией покоя

E = mc2

Из выражений для релятивистской энергии и импульса вытекает, что

Полученная величина является релятивистским инвариантом ( вектор энергии-импульса, {Е/с, рx, py, pz.}). Заметим, что энергия и импульс сами по себе инвариантами не являются, т. к. зависят от скорости и изменяются при переходе от одной системы к другой.

Отметим, что в релятивистской механике масса и энергия непосредственно связаны друг с другом: всякой изменение массы сопровождается изменением энергии покоя.

Пример. Образование и распад элементарных частиц. Дефект масс.

В классической механике Ньютона не существует частиц с нулевой массой ( под действием любой силы такое тело приобретало бы бесконечно большое ускорение). Согласно релятивистским выражениям для энергии и импульса существование частицы с нулевой массой возможно, если она движется со скоростью света.

Пример. Фотон, нейтрино.

Общая теория относительности (ОТО).

В общей теории относительности Эйнштейн расширяет принцип относительности, распространяя его на неинерциальные системы отсчета (НИСО).

Началась ОТО с принципа эквивалентности (сильного). Никакой эксперимент – ни механический, ни какой-либо другой – не дает возможность отличить инертную массу от гравитационной. (Пример: человек в лифте, движущемся в космическом пространстве с ускорением равным ускорению свободного падения так же чувствует себя, как в поле тяготения Земли). Следовательно, силы инерции, вызываемые ускорением, нельзя отличить от гравитационных сил.

С понятием пространства тесно связана геометрия. Самой древней геометрией является геометрия Евклида (геометрия на плоскости). В основе геометрии Евклида лежат 5 аксиом, которые определяют такие понятия как Точка, прямая, плоскость и их взаимное расположение. Пятая аксиома евклида гласит: предположим, что имеется прямая линия и точка вне ее. Тогда через эту точку можно провести одну и только одну прямую параллельную данной прямой.

Немецкий математик Карл Гаусс заметил, что при переносе геометрии Евклида на искривленную поверхность (например, поверхность сферы) пятая аксиома перестает быть справедливой. В этом случае нет ни одной прямой параллельной данной. И сумма внутренних углов треугольника на такой поверхности больше 180о. Ученик Гаусса Георг Риман обобщил геометрию Гаусса на три и более измерений и придумал способ выполнения расчетов и предсказания результатов. Так возникла новая геометрия – геометрия Гаусса-Римана. Идеи Римана развили математики Риччи и Кристоффель. Вершиной их трудов стал очень красивый, но весьма абстрактный раздел математики – тензорное исчисление. Именно его использовал Эйнштейн при создании общей теории относительности.

Тензорное исчисление позволяло выразить принцип эквивалентности и принцип ковариантности математически.

Принцип ковариантности: законы физики не должны зависеть от системы координат.

Эйнштейн написал уравнения ОТО. Что же это за уравнения? В самом общем виде их можно записать так:

.

Эти уравнения позволяли определить насколько и как именно искривлено пространство около данной массы.

Эйнштейн объединил искривленное пространство, тяготение и время в одну последовательную непротиворечивую теорию.

Экспериментальное подтверждение ОТО.

1. С помощью ОТО Эйнштейн рассчитал орбиту Меркурия. Результаты расчетов показали, что должно наблюдаться незначительное смещение орбиты в направлении большой полуоси (прецессия). Это явление было известно задолго до создания ОТО и механика Ньютона не могла это явление объяснить. Угол поворота орбиты, предсказанный эйнштейном и измеренный совпали с точность до погрешности результата. Это был триумф ОТО.

2. Из СТО следовала взаимосвязь энергии массы . Луч света обладает энергией. Тогда на луч света, проходящий вблизи планеты гравитационное поле планеты (например, Солнца) должно действовать с силой. В гравитационном поле луч света получает ускорение и искривляется. Искривление лучей света вблизи поверхности Солнца к этому времени астрономы уже наблюдали. Эйнштейн об этом просто не знал. Дальнейшие эксперименты подтвердили правильность этого вывода.

3. Из уравнений ОТО следует расширение Вселенной, которое было подтверждено экспериментально (красное смещение).

Решения своих уравнений Эйнштейн не нашел. Он только показал, что при они сводятся к уравнениям Ньютона. То есть классическая механика является частным случаем ОТО.

В годах немецкий астроном Карл Шварцшильд решил уравнение Эйнштейна для сферического распределения масс. Из его решений следовало, что при очень большой плотности материи пространство искривляется так сильно, что становится похожим на воронку. А куда ведет этот тоннель? Может быть в другую Вселенную? Расчеты показали, что для прохождения по тоннелю нужны скорости большие скорости света. А ОТО не разрешает двигаться со скоростями большими скорости света.

Во времена Эйнштейна были известны два поля: гравитационное и электромагнитное. Он пытался построить единую теорию поля, из которой получались бы все известные к тому времени уравнения. Сделать ему это не удалось. Может быть для этого нужна новая математика? (Ньютон создал механику после рождения дифференциального исчисления. Эйнштейн создал ОТО после создания тензорного исчисления).