СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ
Задача 1
Геометрические характеристики симметричной плоской фигуры (поперечного сечения балки)
Для сечения с вертикальной осью симметрии, составленного из трех элементов – двутавра 22А, швеллера 22 и листа 
:
1) определить положение центра тяжести сечения С
2) вычислить моменты инерции и моменты сопротивления сечения относительно главных осей U и V.
Решение
Поскольку предполагается, что плоская фигура представляет собой поперечное сечение балки с продольной осью Х, то вертикальную и горизонтальную оси сечения обозначим OY и OZ. Рассматривается частный случай сечения из трех составляющих элементов c вертикальной осью симметрии OY. Ось OZ совпадает с нижней границей сечения. Горизонтальные координаты 
обозначенных центров тяжести 
элементов равны нулю; вертикальные 
указаны на чертеже и определены по размерам элементов и данным сортамента.
Результаты вычисления представлены в таблице.
Элемент |
(cm2) |
(cm) |
(cm) |
(cm3) |
(cm3) |
(cm) |
(cm) |
Швеллер 22 | 26.7 | 15.2 | 0 | 406 | 0 | 0 | 4.4 |
Лист 27´1 | 1.6 | ||||||
Двутавр 22А | –4.9 | ||||||
S | 86.5 | – | – | 940 | 0 | – | – |
(cm4) |
(cm4) |
(cm4) |
(cm4) |
(cm4) |
(cm4) |
151 | 2110 | 0 | |||
2 | 1640 | 0 | |||
206 | 2790 | 0 | |||
– | – | – |
Расстояния между центрами тяжести элементов 
и всей фигуры С по горизонтали и вертикали:
Моменты инерции элементов относительно собственных центральных осей, проходящих через точки , для швеллера и двутавра определены по сортаменту, а для листа – по формулам:
Моменты сопротивления относительно главных осей:
Задача 2
Внутренние усилия и перемещения при продольной деформации
Для стержня, изображенного на рисунке, дано: 
, 
, 
, 
.
1. Построить эпюру изменения продольных сил 
по длине стержня;
2. Подобрать из условия прочности площади поперечных сечений F учстков стержня при заданном их соотношении по длине;
3. Построить эпюру изменения продольных перемещений u по длине.
Решение
1. Опорную реакцию 
определим из суммы проекций всех внешних сил на ось OX:
откуда 
Стержень имеет три участка, и продольные силы 
, постоянные для каждого из них, определяются методом сечений как сумма внешних сил, дейстующих слева от произвольногосечения исследуемого участка
1-й: 
2-й: 
3-й: 
Эпюра изменения продольных сил 
изображена на рисунке. Значения 
определяют сжатие, а 
– растяжение участка.
По оси абсцисс отложена относительная (безразмерная) координата x/l.
2. Нормальные напряжения 
, постоянные по площади сечений стержня на всех участках, должны удовлетворять условию прочности:
.
При необходимости подбора сечения условия прочности преобразуем к виду 
и получим с учетом указанных на схеме соотношений площадей:
, откуда 
, откуда 
Прочность стержня обеспечена при выборе максимальной из трех полученных площадей, т. е. . Проверяем выполнение условий прочности на участках:
Прочность обеспечена.
3. Перемещения стержня u(x) относительно неподвижной опоры определяем для трех нагружаемых внешними силами сечений. Каждое из перемещений равно сумме абсолютных удлинений 
участков стержня, расположенных между опорой и исследуемым сечением. Абсолютное удлинение вычисляем по закону Гука 
, где 
– длины участков стержня, 
– площади, найденные из условия прочности.
Получим:
:
(опорное сечение)
:
:
:
Изменение перемещений между рассматриваемыми точками подчиняется линейному закону. Растягиваемому участку () соответствует рост, а сжатому (
) – уменьшение перемещений.
Задача 4
Внутренние усилия и перемещения при поперечном изгибе статически определимой балки
Дано: 
; 
; 
; 
; 
; 
; .
1. Определить реакции опор и построить эпюры поперечных сил 
и изгибающих моментов 
.
2. Подобрать из условия прочности прямоугольное сечение при установленном соотношении сторон и построить эпюры изменения по высоте сечения нормальных и касательных напряжений.
3. Определить по уравнению изогнутой оси вертикальные перемещения и построить эпюру их изменения по длине балки.
Решение
1. Реакции 
левой шарнирно неподвижной и правой 
шарнирно подвижной опор определяем из уравнений равновесия:
(Сумма проекций на ось OX)
(Сумма проекций на ось OY)
(Сумма моментов относительно точки B)
Откуда:
Балка состоит из двух участков, для каждого из которых внутренние поперечные силы и изгибающие моменты в сечениях определяем из условий равновесия частей балки, расположенных слева от исследуемого сечения (метод сечений). этом случае все внешние силы и реакции, действующие слева от сечения и направленные вверх, определяют положительную величину , моменты от внешних сил, действующих слева от сечения и направленные по часовой стрелке, определяют положительный в вертикальной плоскости изгибающий момент .
Левый участок: 
Правый участок: 
2. Подбор размеров поперечного сечения определяется условием прочности при изгибе:
,
где 
– осевой момент сопротивления площади поперечного сечения.
Для прямоугольника
,
а при заданном отношении 
.
Подставляя в условие прочности с последующим преобразованием, определяем:
Принимая 
, находим 
.
Момент инерции:
Для сечения с принятыми размерами
Изменение 
и 
по высоте опасных сечений определяется по формулам:
Статический момент 
определяется для площади сечения, расположенной выше исследуемой точки с координатой y.
Для верхней половины сечения 
, откуда при 
, что свидетельствует о малом влиянии касательных напряжений на прочность балки.
Эпюры 
для сечения 
и для сечения 
показаны на следующем рисунке
3. Расчет вертикальных перемещений балки основан на интегрировании дифференциального уравнения 
Используем следующее соглашение:
Граничные условия: 
; 
Дважды интегрируем дифференциальное уравнение:
Из граничных условий находим постоянные интегрирования:
График вертикальных перемещений балки показан на следующем рисунке.
Задача 6
Внутренние усилия и перемещения в статически определимой плоской раме
Дано:
,; 
; 
; 
; .
1. Определить реакции опор и построить эпюры изменения продольных сил и изгибающих моментов.
2. Из условия прочности по нормальным напряжениям от изгиба подобрать сплошное круглое сечение и вычислить максимальные касательные напряжения от изгиба и нормальные от продольной деформации.
3. Определить горизонтальные перемещения шарнирно опертой рамы с помощью интеграла Мора и изобразить деформированное состояние рамы.
Решение
1. Пронумеруем участки и обозначим на них координатные оси 
, а на опорах А, В – реакции 
.
Определим реакции из уравнений равновесия:
(Сумма проекций внешних сил и реакций на ось 
)
(Сумма проекций внешних сил и реакций на ось 
)
(Сумма проекций моментов относительно точки А)
Откуда после подстановки исходных данных, получаем:
Внутренние силы ( – продольную, – поперечную, – изгибающий момент) в поперечных сечениях участка рамы определяем методом сечений.
1-й участок: 
2-й участок: 
3-й участок: 
Эпюры изменения внутренних сил показаны на рисунках (положительные координаты отложены с наружной стороны от контура рамы).
Продольные силы :
Поперечные силы :
Изгибающие моменты :
2. По эпюре изгибающих моментов 
. Влиянием напряжений от продольных сил по сравнению с влиянием нормальных напряжений от изгиба можно пренебречь. Условие прочности имеет вид
.
Для круглого сечения
,
откуда находим диаметр сечения:
Для диаметра, округляемого в большую сторону (d = 240 мм), 
.
Для сечения полученного диаметра наибольшие касательные напряжения от изгиба
Наибольшие напряжения от продольной деформации:
,
что подтверждает справедливость пренебрежения этими напряжениями при определении диаметра сечения по сравнению с 
.
3.
Для определения горизонтального перемещения рамы в точке А используем согласно условию интеграл Мора:
,
в котором для трех участков рамы 
– изгибающие моменты от внешней нагрузки, 
– изгибающие моменты в сечениях вспомогательной системы, нагружаемой в точке А горизонтальной единичной силой.
Определяем опорные реакции из уравнений равновесия рамы:
Опорные реакции:
После определения опорных реакций определяем моменты 
участков рамы, аналогичных рассмотренным при определении:
1-й участок:
2-й участок:
3-й участок:
Подставляем и в интегралы Мора:
.
Для стального стержня с подобранным сечением
Окончательно получаем:
Задача 8
Расчет неразрезной балки по уравнению трех моментов
Дано:
; 
; 
; 
; .
Решение
1. Обозначим вертикальные реакции на опорах 
в соответствии с порядковым номером опоры. Степень статической неопределимости равна 2 (4 реакции минус 2 уравнения равновесия). Представляем балку в виде трех отдельных пролетов, нагружаемх действующей на них внешней нагрузкой и опорными моментами 
, учитывая, что опорные моменты на общих опорах для соседних пролетов равны и противоположно направлены.
В общем виде уравнение трех моментов имеет вид:
,
где 
– номер общей опоры, М – моменты, l – длины пролетов. q – углы поворотов на общих опорах, определяемые только внешней нагрузкой (
, если поворот опорного сечения происходит в направлении опорного момента).
Для левого и центрального пролетов общие уравнения принимают вид
Для центрального и правого пролетов:
Наружные опоры не нагружены, поэтому
Для центрального пролета:
.
Для правого пролета:
В итоге имеем систему уравнений:
После подстановки в уравнения исходных данных определяем опорные моменты:
2. Опорные реакции и внутренние усилия определяются правилами расчета статически определимых систем для каждого пролета, нагруженного внешней нагрузкой и опорными моментами, отдельно.
Левый пролет: 
Внутренние силы:
Центральный пролет: 
Правый пролет: 
3. Кривая, отложенная от прямолинейной оси балки соответствует изменению знаков на эпюре и определяет характер изменения изгиба балки между неподвижными опорами.
Размер сечения балки определяется условием
По сортаменту определяем, что прочность балки обеспечивается для двутаврового
Задача 10
Расчет напряжений и перемещений при сложной деформации
В точке А жестко защемленного стержня длиной l с поперечным сечением, из задачи 1 действует сила Р, параллельная продольной оси ОХ.
1. Сравнить напряжения в четырех наиболее удаленных от главных осей точках сечения.
2. Определить из условия прочности величину максимально допустимой силы 
.
3. Построить эпюру распределения напряжений по площади поперечного сечения для силы 
.
4. Найти полное перемещение незакрепленного конца стержня длиной 
.
Решение
1. Действующая на стержень сила Р является внецентренно растягивающей и, не проходя через центр сечения – точку С, вызывает его растяжение вдоль оси OХ и изгибы в вертикальной YOX и горизонтальной ZOX плоскостях. Эксцентриситеты 
– расстояния от точки приложения силы до главных осей – определяют изгибающие моменты в поперечных сечениях 
, 
, где 
, 
– координаты точки А.
Три внутренние силы в сечениях стержня: продольная 
, а также и 
, постоянные по всей длине l определяют в точках поперечных сечений переменные нормальные напряжения 
. На основании принципа независимости действия сил
или
,
где 
F – площадь и главные моменты инерции поперечного сечения; y, z – координаты исследуемых точек.
С учетом выражений, определяющих внутренние силы, получаем
Четыре наиболее удаленные от главных осей точки сечения
1 (нижняя правая): 
2 (нижняя левая): 
3 (верхняя правая): 
4 (верхняя левая): 
2. Сравнение полученных напряжений показывает, что опасной точкой является 2 и условие прочности для стержня имеет вид:
Определяем допустимую силу:
3. Для найденной грузоподъемности стержня:
Знаки напряжений в точках 1 и 2 разные. Линейный закон изменения напряжений по всей площади сечения позволяет найти точку сечения, в которой 
(точка 5). Аналогично определяем точку 6 на линии, соединяющей точки сечения 3 и 4. Линия 5-6, пересекающая сечение, вр всез точках которой называется нейтральной осью поперечного сечения. Проводим линии 2-0 и 3-0 параллельно 5-6 и так, чтобы прямая 0-0 была перпендикулярна 5-6. Откладывая от концов линии 0-0 
в одну и 
в другую сторону, получаем необходимую эпюру. В точках сечения, находящихся на прямых, параллельных 5-6 
.
(5-6 – нейтральная ось поперечного сечения)
4. Полное перемещение свободного торца стержня является геометрической суммой трех составляющих по направлениям продольной и двух главных осей. Продольное перемещение по оси Х связано с растяжением стержня и вычисляется по закону Гука:
Изгибные перемещения по направлениям осей y и z определяются моментами, создаваемыми на торце силой Р относительно гавных осей.
Вертикальное перемещение:
Горизонтальное перемещение:
Полное перемещение:
