Знания на уровне понятий, определений, формулировок

ПРИМЕРНЫЙ ПЕРЕЧЕНЬ ВОПРОСОВ

ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ПИСЬМЕННОГО ЭКЗАМЕНА ПО МАТЕМАТИКЕ

Для студентов специальностей 240100

Знания на уровне понятий, определений, формулировок

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Определители второго и третьего порядка, их свойства, вычисление разложением по элементам строки (столбца), по правилу треугольника. Матрицы, основные определения, действия над матрицами. Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса, по правилу Крамера, с помощью обратной матрицы. Комплексные числа. Алгебраическая, тригонометрическая и показательная формы записи, действия над ними.

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Векторы, основные определения, понятия, действия над ними. Линейные операции над векторами, заданными в координатной форме. Коллинеарность и компланарность векторов. Скалярное, векторное, смешанное произведения векторов, определения, свойства, геометрический смысл векторного и скалярного произведений. Уравнения прямой на плоскости: с угловым коэффициентом; через две точки; в отрезках, общее уравнение. Уравнение плоскости в векторной и координатной формах. Уравнение плоскости и прямой в пространстве. Расстояние от точки до плоскости. Условие параллельности и перпендикулярности векторов. Канонические уравнения кривых второго порядка: формулы, определения, чертеж.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ И ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЯ

Предел числовой последовательности. Предел функции, его геометрическая интерпретация, действия над пределами. Первый и второй замечательные пределы. Бесконечно малые величины, их свойства, эквивалентность. Раскрытие неопределенностей. Непрерывность функции в точке. Свойства. Точки разрыва, их классификация. Свойства функций, непрерывных на отрезке. Формулировка теоремы Коши и ее геометрический смысл. Производная функции, ее геометрический и механический смысл. Правила дифференцирования. Дифференциал, определение, геометрический смысл. Производные и дифференциалы второго порядка. Определения, вычисление. Правило Лопиталя. Применение производных к исследованию функций. Экстремум функции, необходимое и достаточные условия экстремума. Первообразная функции, неопределенный интеграл и его свойства. Таблица интегралов. Методы вычисления неопределенного интеграла (непосредственное интегрирование, подстановкой, по частям). Интегрирование рациональных дробей. Интегрирование выражений, содержащих тригонометрические функции. Универсальная тригонометрическая подстановка. Интегрирование иррациональностей. Определенный интеграл как предел интегральных сумм. Формула Ньютона-Лейбница. Свойства определенного интеграла Методы вычислений определенного интеграла (непосредственное, подстановкой, по частям). Приложения определенного интеграла: Вычисление площади плоской фигуры, объема тела вращения, длины кривой. Несобственные интегралы. Двойные интегралы, определение, вычисление. Замена переменных в двойном интеграле. Тройные интегралы, определение, вычисление. Замена переменных в тройном интеграле. Применение кратных интегралов к вычислению площадей, объемов. Криволинейные интегралы 1 и 2 рода. Определение, вычисление. Формула Грина.

ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ И ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ

Частные производные, геометрический смысл, вычисление. Дифференциал функции многих переменных. Производная по направлению и градиент, их вычисление.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Дифференциальные уравнения 1-го порядка, задача Коши. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Решение методом Бернулли и методом вариации произвольных постоянных. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка. Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка. Структура общего решения линейного неоднородного дифференциального уравнения. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами с правой частью специального вида. Метод неопределенных коэффициентов.

ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО

Комплексная плоскость. Модуль и аргумент комплексного числа. Главное значение аргумента. Геометрический смысл. Функция комплексного переменного.

56.  Производная функции комплексного переменного. Условия Коши-Римана.

Интегрирование функции комплексного переменного. Интегральная формула Коши. Изолированные особые точки, их классификация. Вычеты и формулы для их вычисления.

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

Классификация событий. Сумма, произведение событий, их свойства, графическое представление. Различные определения вероятности.

67.  Формулы сложения и умножения вероятностей событий.

68.  Схема Бернулли повторных испытаний. Формула Бернулли.

69.  Локальная и интегральная теоремы Лапласа.

70.  Закон распределения вероятностей дискретной случайной величины. Числовые характеристики.

Законы распределения: биномиальный, Пуассона, равномерный, показательный, нормальный. Числовые характеристики дискретных и непрерывных случайных величин. Статистическое распределение выборки. Полигон и гистограмма.

Теоремы с доказательствами, формулы с выводами

1. Нормальное уравнение плоскости в векторной и координатной формах. (вывод формул).

2. Общее уравнение плоскости, уравнение плоскости «в отрезках». (вывод формул).

3. Теоремы о пределах (вывод одной из них)

4. Первый замечательный предел. (вывод формулы).

5. Непрерывность функции в точке и на множестве, непрерывность элементарных функций. (Доказать непрерывность одной из них)

6. Производные элементарных функций (вывод одной из них).

7. Правила дифференцирования (вывод одного из них).

8. Теоремы Ролля, Лагранжа, Коши. (одна с доказательством).

9. Полный дифференциал функции нескольких переменных и его связь с частными производными.(вывод)

10. Производная по направлению. Градиент. (вывод формул).

11. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными (с выводом).

12. Однородные линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Общее решение (с доказательством).

13. Теорема сложения вероятностей (для любых событий, с доказательством).

14. Теорема умножения вероятностей (для любых событий, с доказательством).

15. Формула Бернулли (с выводом).