МОДЕЛИРОВАНИЕ УПРАВЛЕНИЯ ПОТОКОМ

ЗАГРЯЗНЕННЫХ ПОДЗЕМНЫХ ВОД

,

Актуальность проблемы защиты подземных вод от загрязнений со временем лишь возрастает. В насыщенных водой пластах возможны естественные фильтрационные потоки, которые способны переносить загрязнения на большие расстояния, в результате чего образуются крупные ареалы загрязнений. Поэтому проводят мероприятия по их локализации и ликвидации. Одним из способов защиты подземных вод является воздействие на поток через скважины, в частности, создание в потоке гидродинамических барьеров, препятствующих продвижению загрязнений, путем закачки в пласт или откачки из пласта воды [1].

Местоположение загрязнений, зоны захвата жидкости скважиной (либо течения от скважины) и эффективность таких барьеров можно определить, используя численное моделирование процесса. Если реальная гидродинамическая обстановка в достаточной мере допускает схематизацию и описание сравнительно небольшим числом расчетных параметров, то зоны захвата и области, защищенные гидродинамическими барьерами, удается определить аналитически. Такие исследования в ряде модельных ситуаций позволяют провести детальный анализ течения.

При одной из распространенных схематизаций процесса фильтрации считается, что скважины расположены в однородном и изотропном пласте единичной мощности, где существует естественный поток загрязненных подземных вод, жидкость однородна и несжимаема, справедлив закон Дарси, фильтрация двумерна, а скважины имитируются точечными источниками и стоками. В описанных условиях поток потенциален, и для его исследования могут быть применены методы комплексного анализа.

Наиболее простой пример подобного рода – определение зоны течения от точечного источника (либо к точечному стоку) в набегающем потоке (см., например, [2]). В работе [3] задача исследовалась для системы источник-сток в потоке, в статье [4] – для системы двух, трех и четырех стоков в потоке, причем варианты течения с прорывом потока между стоками не рассматривались. Аналитическое решение для зоны захвата двух произвольно расположенных стоков представлено в работе [5]. В недавней статье [1] в связи с активным развитием технологий локальной очистки подземных вод дан анализ течения при размещении в потоке пар источников и стоков. При этом основное внимание обращено на определение таких параметров системы, как отношение доли жидкости, поступающей из источника в сток, к полному расходу источника, и ширина защищенной зоны. Формы границ этих зон не определялись.

Применение методов комплексного анализа для исследования упомянутого выше круга задач обычно наталкивается на трудность решения уравнений неизвестных границ зоны течения от источника (либо зоны захвата стока). Подобные методы эффективны, если эти уравнения удается представить в явном виде и получить их решение аналитически либо путем стандартной численной процедуры, что позволяет проанализировать особенности течений. Именно такой подход развит в работах [6 – 8]. Обзор их результатов дан ниже. При этом существенно используется информация, которую дают уравнения для определения точек нулевой скорости в потоке [9, 10]. Наряду с моделированием воздействия на поток систем источников и стоков изучается воздействие посредством дренажных галерей и нагнетательной скважины с заданным на них постоянным давлением. Для всех рассмотренных течений определено положение границ, отделяющих загрязнённый поток от не загрязненного.

1. Три источника в потоке [6]. Пусть на прямой, перпендикулярной направлению скорости v потока, и­меется три источника расхода q, каждый на расстоянии L один от другого, причем второй из них расположен в начале координат x, y. Комплексный потенциал течения z=x+iy имеет вид

. (1)

Далее используются обозначения Q=q/2pvL, z¢ = z/L, W(z)/(vL)= F+iY, а штрих над z опускается. Пусть Q* – критическое значение расхода, при котором точка нулевой скорости, расположенная в области течения, оказывается на ее границе. Течение может осуществляться по двум схемам.

Схема 1. Пусть Q³Q*. Тогда поток от источников имеет единую границу G, отделяющую его от набегающего потока, что тем самым создает гидродинамический барьер для загрязнений. Уравнение границы G имеет вид . Связь между x и y на G, вытекающая из него и формулы (1), является алгебраическим уравнением третьей степени

. (2)

Уравнение (2) при фиксированном y в диапазоне 0 ≤y <3πQ может иметь три действительных корня и помимо линии Г описывает также другие линии тока, на которых значение функции тока кратно величине πQ. Определив по заданному y соответствующие значения x, можно построить границу G барьера, а также границы зон течения от первого и третьего источников. Приравняв к нулю комплексно-сопряженную скорость течения dW/dz, получим уравнение

, (3)

которому удовлетворяют координаты трех точек нулевой скорости течения (точка N1 расположена на оси x, точки N2 и N3 – в потоке симметрично относительно этой оси). При Q=Q* точка N2 лежит на кривой G, и системе (2), (3) удовлетворяют координаты x1, y1 и x2, y2 точек N1 и N2.

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

При y¹0 эта система сводится к одному трансцендентному уравнению, из которого находится значение критического расхода Q*=0.395.

Схема 2. Пусть Q<Q*. Тогда между соседними источниками прорываются струи загрязненной жидкости, и прежде единая область течения от источников разделяется ими на три отдельные области. Уравнение границы G1 области течения от источника в начале координат имеет вид . Это вновь приводит к уравнению (2), которое следует решать в диапазоне 0< y<pQ. Пусть G2 – граница области течения от источника с координатами 0, 1, а a – ширина струи загрязненной жидкости в бесконечно удаленной точке. Тогда на ближайшей к оси x нижней ветви кривой G2 . Таким образом, эта кривая описывается уравнением (2) с заменой в нем под знаком котангенса величины y на . Точка N2 лежит на кривой G2, следовательно,

.

При определении координат кривой G2 в диапазоне y0<y<3pQ+a величину y0 можно найти из условия, что для y=y0 соответствующие два значения x равны между собой. Сказанное выше позволяет построить границы искомых барьеров при произвольном параметре Q. На рис. 1 изображены границы барьеров 1 – 3 при значениях Q = 0.5, 0.395, 0.3 соответственно.


Рис. 1. Границы барьеров для потока в случае трех источников

В случае батареи из 2n+1 источников (n=2, 3,...) расхода q, расположенных аналогично описанному выше, также можно получить явное уравнение границы G барьера для потока загрязнений при Q=Q* – перед первым прорывом барьера. Для этого сначала с помощью комплексного потенциала течения находятся уравнение границы при нефиксированном расходе Q и уравнение для определения 2n+1 точек нулевой скорости (оба – алгебраические степени 2n+1). Решение последнего уравнения при заданном Q дает координаты x2, y2 точки N2. Далее находится значение Q*<0.395, при котором эта точка лежит на границе Г, и оба уравнения удовлетворяются. Например, при n =2, 3, 4 соответственно Q*= 0.369, 0.357, 0.349. Следует отметить, что при n®¥ критический расход стремится к значению Q*=1/p.

Аналогичным образом анализ течения можно провести и для батареи 2n источников (n=1, 2, 3,...). Рассмотрим более детально случай n=2.

2. Четыре источника в потоке [6]. Пусть в потоке имеется четыре источника, ориентированные аналогично схеме с тремя источниками, а начало координат совпадает с точкой симметрии системы. Нормируя величину z на L/2, а W – на vL/2 и сохранив смысл величины Q, получим комплексный потенциал течения .

Уравнение dW/dz=0 при достаточно больших значениях Q имеет два вещественных корня, которые соответствуют двум точкам нулевой скорости N1 и N2 на оси x. При Q = Q1*= 0.412 эти точки сливаются, так что Q1* соответствует критическому расходу перед первым прорывом барьера загрязнениями. Уравнение границы барьера G до прорыва имеет вид Y= –8pQ. Ему отвечает алгебраическое уравнение четвертой степени относительно абсциссы x при заданной ординате y. Можно убедиться, что точка нулевой скорости N3 находится при этом внутри области течения от источников, ограниченной кривой Г. При Q < Q* возникает струйка загрязненной жидкости шириной a, разделяющая область потока от источников на две, точки N1 и N2 симметрично отходят от оси x. При этом явный вид F(x,y,a,Q)=0 уравнения границы G известен. При критическом значении параметра Q2*<Q1* координаты x1, y1 и x3, y3 точек N1 и N3 удовлетворяют уравнению кривой G. Для определения шести неизвестных xi, yi (i=1, 3), a, Q* служит система уравнений

F(xi, yi, a, Q*)=0, =0.

Величина a выражается через остальные неизвестные. Решение системы дает значение Q=0.363.

На рис. 2 изображены границы барьера перед его первым и вторым прорывами.

Рис. 2. Границы барьеров для потока в случае четырех источников

3. Источник и два стока в потоке [8]. Рассматривается фильтрационное течение, создаваемое естественным потоком со скоростью v, источником и двумя стоками, расположенными на прямой, перпендикулярной направлению потока. Расстояние между источником и стоками равно l, модули расхода источника и стока равны соответственно 2q и q.

При достаточно больших значениях q реализуется схема 1 течения, когда кривая G разделяет естественный поток и течение от источника. При этом G состоит из двух участков – G1 и G2, где G2 – участок, содержащий бесконечно удаленную точку. Схема 2 течения реализуется при достаточно малых значениях q, при этом загрязненный поток прорывается между парой источник-сток, так что течения от источника и к стоку оказываются гидродинамически несвязанными.

Комплексный потенциал течения имеет вид

. (4)

Далее производится нормирование величин, как и в случае трех источников в потоке. Координаты zi (i = 1, 2) точек нулевой скорости N1 и N2 в верхней полуплоскости из (4) определяются явно.

В случае схемы 1 точка N1 принадлежит G1, а точка N2 – G2. Это позволяет, используя выражения для функции тока, получить два уравнения:

для G1

, (5)

для G2

, (6)

где

.

Задав для определения координат линии G1 значения 0<y<y0, а для G2 – значения 1<y<Qg, по формулам (5), (6) можно построить линии G1 и G2. Если Q<2/p, то y0=1, а если Q ³2/p, то y0 определяется значением y, при котором два вещественных корня уравнения (5) сливаются в один (это соответствует максимуму на кривой G1).

Пусть Q=Q* – критическое значение безразмерного расхода, при котором схема 1 переходит в схему 2. В этом случае точка N2 лежит на G1, и из (3) следует трансцендентное уравнение для определения Q*. Его решением является величина Q*= 0.201. В случае схемы 2 для построения границы потока от источника используется уравнение (5), где y изменяется в пределах 0<y<2pQ.

На рис. 3 изображены границы G (1 – 6 соответственно для значений Q = 2, 1, 0.55, 0.3, 0.201, 0.18). Переход к размерным величинам показывает, что доля жидкости, поступающая из источника в сток, равна .

Рис. 3. Границы барьеров в случае источника и двух стоков

4. Галерея в потоке [7]. Пусть в потоке загрязнённых вод со скоростью v, направленной по оси абсцисс x, имеется прямолинейная галерея длиной L, расположенная на оси ординат y, с расходом q. Давление на ней постоянно, а её центр совпадает с началом координат.

Найдём положение границы G, разделяющей область течения от галереи и набегающий поток. Комплексный потенциал течения имеет вид [11]

. (7)

Далее координата z = x+iy нормируется на L/2, и вводится безразмерный параметр расхода Q =q/(pvL). Течение, создаваемое набегающим потоком и галереей, может осуществляться по двум схемам.

Схема 1 реализуется при достаточно больших значениях расхода, когда искомая граница не достигает галереи. В [6] получено уравнение этой границы в явном виде

, (8)

где Q ³1. Значение Q=1 является критическим для данной схемы. Граница G при этом имеет с галереей общую точку N, расположенную в начале координат, в которой скорость течения обращается в нуль. Касательная к границе G в точке N составляет с осью y угол, равный p/6.

Схема 2 реализуется при значениях Q<1, когда набегающий загрязнённый поток преодолевает барьер, создаваемый галереей, и прорывается через её центральную часть. Безразмерная скорость течения на этой части галереи претерпевает скачок, так что на ней проекция скорости v= v(x, y) на ось x в соответствии с представлением (7) имеет вид

, . (9)

Течение жидкости оказывается при этом разбитым на загрязнённый поток, с двух сторон обтекающий галерею, прорвавшийся через галерею поток и на два симметричных относительно оси потока от тех участков галереи, которые ещё создают барьер для загрязнений.

Пусть y>0. Из условия vx(-0, y) = 0 можно найти полуширину прорвавшегося через галерею потока при x = 0.

Граница G области для потока от галереи имеет два участка. Первый участок G1 начинается в точке с координатами (+0, y0), и его абсцисса неотрицательна. Второй участок G2 начинается в точке нулевой скорости течения N с координатами (-0, y0), причём при возрастании ординаты кривой её абсцисса меняет знак с минуса на плюс.

Формулы (7), (9) позволяют найти значения функции тока на границах G1 и G2. Выделив мнимую часть в выражении (7), получим уравнения линий Gj:

, (10)

где

, . (11)

Из (10), (11) следует, что в точке нулевой скорости граница G2 составляет с галереей угол p/4.

На рис. 4 изображены границы Г (линии 1 – 5), построенные по формулам (8), (10), (11) при значениях Q =2, 1.5, 1.05, 1, 0.8.

Рис. 4. Граница барьеров в случае галереи в потоке

5. Две галереи в потоке [7]. Пусть в потоке загрязнённых вод со скоростью v имеются две прямолинейные галереи, расположенные на оси ординат симметрично относительно оси абсцисс. Расстояние между ними равно aL, где 0<a<1. Галереи имеют одинаковые длины (1–a)(L/2) и одинаковые расходы – q/2. При a = 0 галереи сливаются в одну (такой вариант течения рассмотрен выше). Давление на них считается постоянным и одинаковым. Возможны различные схемы течения, создаваемого суперпозицией набегающего потока и потока от галерей.

Схема 1 реализуется при значениях Q ³ Q1, где Q1 – критическое значение расхода. В этом случае существует общая для обеих галерей граница барьера для загрязнённого потока. Когда расход становится меньшим Q1, происходит прорыв потока между галереями, граница G разделяется на две, симметричные относительно оси абсцисс. При дальнейшем снижении расхода до его второго критического значения Q2 острия границ барьеров достигают галерей. Таким образом, схема 2 течения реализуется при условии Q2 £Q<Q1. Случай Q< Q2 соответствует схеме 3, когда поток загрязнений прорывается струями через обе галереи.

Комплексный потенциал течения имеет вид [11]

. (12)

В условиях схемы 1 точки нулевой скорости располагаются на оси x, их абсциссы таковы:

.

При критическом значении Q = Q1 =1+a обе точки сливаются в одну, так что . Таким образом, схема 1 реализуется при условии Q ³1+a.

Уравнение границы G для набегающего потока имеет вид

. (13)

Из (12) и (13) следует явная зависимость абсциссы искомой границы от её ординаты

(14)

где

(15)

Согласно схеме 2 течения две точки нулевой скорости располагаются в потоке симметрично относительно оси x. Из уравнения dW/dz=0 определяются координаты (x1, y1) одной из таких точек при условии y>0:

, . (16)

В частности, при Q =Q2 =1– a имеем x1=0, , а это означает, что точка нулевой скорости оказывается на границе галереи. Таким образом, схема 2 реализуется при условии 1­– a £ Q <1+a, а критический расход при прорыве галереи потоком и ордината точки прорыва находятся без вычислений.

Значение функции тока на границе G, входящее в её уравнение, заранее неизвестно. Оно может быть найдено из условия того, что эта граница содержит точку нулевой скорости с координатами x1, y1. Тем самым определяется полуширина струи загрязнённой жидкости, разделяющей потоки от двух галерей, в бесконечно удалённой точке

. (17)

Граница барьера в данной схеме обладает характерной особенностью: на ней имеется точка минимума ординаты y=ym. Это значение может быть найдено из уравнения

. (18)

Полученные результаты позволяют представить в явном виде уравнение границы барьера, которая состоит из четырёх участков

(19)

Здесь

. (20)

На рис. 5 изображены границы барьеров для схем течения 1 и 2. Они построены с использованием формул (14) – (20). Кривые 1 – 4 соответствуют значениям a = 0.5, Q =2, 1.5, 1, 0.5.

Нагнетательная скважина в потоке [8]. Известно классическое решение задачи об источнике расхода q в потоке с проекциями vx = –v, vy = 0 [1]. Очевидно, точка нулевой скорости потока не может достигнуть источника. Но реальная скважина имеет радиус r (порядка 0.1 м), и представляет интерес получить решение задачи о форме границы G, разделяющей основной поток и поток от скважины, на которой задано постоянное давление. С этой целью используется выражение для комплексного потенциала

. (21)

При ReW(z) = 0, и условие на контуре скважины выполняется. При больших значениях формула (21) асимптотически стремится к известному выражению для случая источника в потоке [2]. На искомой линии тока Y= –q/2. Отсюда и из соотношения (21) следуют параметрические уравнения границы G

, , (22)

где Q = q/(4πvr), а координаты x, y нормированы на величину r. При t­=­0 x(0) = x0 = , y0 =0, при t=p x®¥, y=2pQ. Параметр t изменяется в пределах 0 £ t £ p, и при Q =1 x0 = –1. На рис. 6 показаны границы 1 – 5 для Q =3, 2.3, 1.7, 1.3, 1.

Видно, что при Q ®1 течение вблизи контура скважины существенно неодномерно.

Итак, найден критический расход скважины, при котором загрязненные воды достигают ее контура, и определено положение границы, разделяющей поток жидкости от скважины и набегающий загрязненный естественный поток, в зависимости от безразмерного параметра расхода скважины.

Рис. 5. Границы барьеров для двух галерей в потоке Рис. 6. Границы барьеров для скважины в потоке

Заключение. Методами теории функций комплексного переменного проведено моделирование воздействия на поток загрязненных подземных вод закачкой или откачкой жидкости через скважины и галереи. Для ряда случаев их расстановки аналитически определены конфигурации границ областей течения, защищенных от загрязненного потока, найдены значения критических безразмерных расходов, при которых происходят прорывы потока загрязнений между скважинами, а поток достигает галерей. Показана принципиальная разница между двумя картинами течения от скважины в потоке, когда скважина имитируется либо точечным источником, либо окружностью постоянного давления.

Список литературы

1.  Christ J. A., Goltz M. N., Huang J. Development and application of analytical model to aid design and implementation of in situ remediation technologies// J. of Contaminant Hydrology. – 1999. – V. 37. – P. 295–317.

2.  Физико-математические основы фильтрации воды. – М.: Мир, 1971.

3.  Da Costa J. A., Bennet R. R. The pattern of flow in the vicinity of a recharging and discharging pair of wells in an aquifer having areal parallel flow // Int. Association of Scientific Hydrology. IUGG General Assembly of Helsinki. Publication. – 1960. – No 52. – P. 524–536.

4.  Javandel I., Tsang C. F. Capture-zone type curves: a tool for aquifer cleanup // Ground Water. – 1986. – V. 24. – No 5. – P. 616–625.

5.  C. Shan. An analytical solution for the capture zone of two arbitraryly located wells //J. of Hydrology. – 1999. – V. 222. – P. 123–128.

6.  , Влияние скважин и галерей на поток подземных вод // Тр. Матем. центра им. . Т. 3. Краевые задачи и их приложения. – Казань: Изд-во «Унипресс», 1999. – С. 78–84.

7.  , Управление потоком подземных вод через галереи // Тр. Матем. центра им. . Т. 7. Краевые задачи аэрогидромеханики и их применения. Матер. межд. науч. конф., Казань, 21 – 24 нояб. 2000 г. – Казань: Изд-во «ДАС», 2000. – С. 196–202.

8.  , Управление потоком подземных вод через скважины // Тр. Матем. центра им. . Т. 14. Геометрические теории функций, краевые задачи и их приложения. Матер. межд. науч. конф., Казань, 18 – 24 марта 2002 г. – Казань: Казан. матем. об-во, 2002. – С. 254–259.

9.  Strack O. Groundwater Mechanics. – Prentice-Hall, Englewood Cliffs, NJ, 1989. – P. 227–240.

10.  Bakker M., Strack O. Capture zone delineation in two-demensional groundwater flow models // Water Resources Research. – 1996. – V. 32. – No 5. – P. 1309–1315.

11.  , Методы теории функций комплексного переменного. – М.: Наука, 1973. – 736 с.