О ПОСТРОЕНИИ ПРОСТЕЙШИХ ИМИТАЦИОННЫХ МОДЕЛЕЙ «ЧЕРНОГО ЯЩИКА»

Рассматривается задача построения имитационной модели реального объекта с неизвестной внутренней структурой по измерениям его входа и выхода. Получено решение этой задачи в классе простейших моделей при простейших прямых измерениях входа и выхода объекта в гильбертовых пространствах.

Пусть пространство n-мерных векторов, компонентами которых являются действительные числа; и - банаховы пространства m-мерных и n-мерных вектор-функций и , определенных на конечном отрезке .

Пусть имеется реальный объект, внутренняя структура которого неизвестна,- «черный ящик». Через обозначим момент возникновения объекта. Объект будем рассматривать на конечном отрезке времени . Через обозначим m-мерный вектор параметров, характеризующих внешние воздействия на объект в момент времени , , а через– n-мерный вектор параметров, характеризующих реакцию объекта на внешние воздействия в момент времени t, .

Вектор-функции и назовем входом и выходом объекта соответственно. Будем считать, что , а , где и – некоторые подмножества из и соответственно.

Поскольку объект реальный, то зависит только от предыстории изменения входных воздействий, т. е. от при , следовательно, , где при каждом или почти каждом , а - оператор сужения вектор-функции на отрезок .

Определение 1. Соответствие назовем -моделью рассматриваемого объекта («черного ящика»), если:

1) - непрерывный оператор;

2) , где при каждом или почти при каждом ;

3) выполняется неравенство , где - норма в , -фиксированный момент времени , -заданное неотрицательное число, .

Поставим задачу: построить -модель «черного ящика», если известны и на отрезке .Иначе говоря, нужно построить оператор B, удовлетворяющий условиям определения 1, по известным y и z , где

и - (1)

измерения входа и выхода соответственно.

Пусть , а , где - гильбертово пространство m-мерных вектор-функций с квадратично суммируемыми на компонентами, со скалярным произведением и нормой . Здесь - символ транспонирования.

Лемма 1. Пусть - элементы гильбертова пространства со скалярным произведением и нормой , а , .

Функция достигает минимума на при тех и только при тех , которые являются решениями линейной алгебраической системы

, .

Лемма 2. Пусть , где и - нормированные пространства, а - положительное действительное число. И пусть существует такое ,что .Неравенство разрешимо относительно в области тогда и только тогда, когда .

Определение 2. Бесконечную систему элементов в нормированном пространстве назовем полной, если для любого и любого най-

дется такое целое и такой набор действительных чисел , что

.

Будем строить -модель в виде

, , (2)

где , , - постоянные -матрицы.

Задача построения -модели (2) состоит в том, чтобы по известным y и z найти такие N и , при которых

, где - норма в пространстве , а , .

Теорема 1. Пусть система функций

полна в . Тогда по измерениям (1) для любого можно построить -модель «черного ящика» вида (2), где N – такой номер, что , а элементы матриц являются решениями линейной алгебраической системы

, (3)

, , .

Доказательство. Введем обозначения: - j-тая компонента вектор-функции , , а - норма в пространстве . В силу условий теоремы для

найдутся такие и , что . Возьмем , тогда

. Таким образом нужное найдено. Теперь докажем, что если удовлетворяет системе (3), то при них достигается . Действительно задача нахождения точки этого минимума сводится к последовательности задач нахождения точек при . В силу леммы 1 приходим к выводу, что исходный минимум достигается при , удовлетворяющим системе (3). Теорема доказана.

Замечание 1. Если система функций линейно независима, то система (3) имеет единственное решение, а если – нет, то система (3) имеет бесчисленное множество решений.

Теорему 1 иллюстрирует

Пример 1. Пусть , , , , , ,

, ,

, , , .

Будем строить -модель в виде

,, где , , , , .

Система функций имеет вид

.

Эта система полна в , так

как – ее подсистема.

Возьмем N=0 , тогда

,
причем этот минимум достигается в единственной точке , так как система функций линейно независима на отрезке .

Таким образом, -модель для этого примера при имеет вид

, .

Далее будем строить -модель в виде

, (4)

где - постоянные -матрицы, , , , .

Задача построения -модели (4) состоит в том, чтобы по известным y и z найти такие N и , при которых

, где - норма в пространстве , а , .

Теорема 2. Если , а , то для любого можно построить -модель «черного ящика» в виде (4) по измерениям его входа и выхода вида (1). При этом N находится из условия ,а компоненты и искомых находятся из линейной алгебраической системы

(5)

где - скалярное произведение в пространстве .

Доказательство. Очевидно, задача будет решена, если найдется такое N, что

, тогда это N и те , при которых достигается этот минимум, дают решение задачи.

Докажем, что такое N найдется. Рассмотрим бесконечную систему функций на отрезке . Как известно, эта система функций полна в , т. е. для любого и любого найдутся такой номер и такие числа , что . Рассмотрим далее на отрезке бесконечную систему функций , где -компоненты вектор-функции . Очевидно, что и эта система функций полна в , так как - ее подсистема. Следовательно, для , найдутся такой номер и такие , что , где - норма в пространстве .

Возьмем , тогда

Таким образом мы нашли нужное N.

Теперь докажем, что если удовлетворяет системе (5), то при них достигается . Действительно, задача нахождения точки этого минимума сводится к последовательности задач нахождения точек при .

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

Ссылка на лемму 1 завершает доказательство этой теоремы.

Замечание 2. Из доказательства леммы 1 следует, что если система функций линейно независима, то линейнаяалгебраическая система (5) имеет единственное решение , а если нет, то система (5) имеет бесконечное число решений.

Замечание 3. Чем меньше , тем точнее -модель описывает поведение «черного ящика». Но для практического использования можно рекомендовать .

Теорему 2 иллюстрирует

Пример 2. Пусть , , , , , ,

, ,,

, , .

Будем строить -модель в виде

, ,

где , , , .

Возьмем,тогда , причем этот минимум достигается в единственной точке , так как система функций линейно независима на отрезке .Таким образом,-модель объекта для этого примера при имеет вид

, .

Пусть далее , а , где - пространство n-мерных вектор-функций с абсолютно непрерывными на компонентами и производной из . Введем в скалярное произведение и норму , тогда оно становится гильбертовым пространством.

Далее будем строить -модель «черного ящика» в виде

, (6)

где , , - постоянные -матрицы, .

По аналогии с предыдущим будем искать N, при котором , и , при которых , где

Теорема 3. Пусть система функций

полна в . Тогда по измерениям (1) для любого можно построить -модель «черного ящика» вида (6), где N – такой номер, что , а компоненты вектора и элементы матриц являются решениями линейной алгебраической системы

(*)

Доказательство этой теоремы аналогично доказательству теоремы 1.

Эту теорему иллюстрирует

Пример 3. Пусть , , ,,,, , , ,

, , .

Будем строить -модель в виде

, ,

где , , , .

Система функций имеет вид .

Эта система полна в , так как - ее подсистема.

Возьмем , тогда

,
причем этот минимум достигается в единственной точке , так как система функций линейно независима на . Таким образом - модель объекта в этом примере при имеет вид

, .

Далее будем строить - модель «черного ящика» в виде

, , (7)

где , , - постоянные - матрицы, , .

Тогда задача построения этой модели состоит в том, чтобы по известным y и z из (1) найти такие N и , при которых

, где , , , а – норма в . Пусть - компоненты вектор-функции , .

Теорема 4. Если , а , то для любого можно построить -модель «черного ящика» вида (7) по измерениям его входа и выхода (1). При этом N находится из условия , а компоненты и искомых находятся из линейной алгебраической системы

(8)

где - скалярное произведение в .

Доказательство. Система функций полна в , поэтому для любого и любого найдется такой номер и такие числа , что, следовательно, при , и выполнено неравенство

где - норма в . Отсюда следует полнота системы в .

Далее система функций тоже полна в , так как – ее подсистема. Следовательно, для , найдутся такой номер и такие , что

.

Возьмем , тогда

Таким образом, нужное N найдено.

Теперь докажем, что если удовлетворяет системе (8), то при них достигается . Действительно, задача нахождения точки этого минимума сводится к последовательности задач нахождения точек при .

Ссылка на лемму 1 завершает доказательство этой теоремы.

Замечание 4. Если система функций линейно независима, то система (8) имеет единственное решение , а если нет, то система (8) имеет бесконечное число решений.

Теорему 4 иллюстрирует

Пример 4. Пусть , , , , , , ,,, , , .

Будем строить -модель объекта в виде

,, где , , , , .

Возьмем , тогда

причем этот минимум достигается в единственной точке , так как система функций линейно независима на отрезке .

Таким образом, -модель объекта для этого примера при имеет вид

, .

Замечание 5. Предложенные -модели «черного ящика» естественно называть имитационными, так как они, вообще говоря, не отражают внутреннюю структуру объекта и его физические свойства.

Из теоремы 1 вытекает следующий алгоритм построения имитационной - модели объекта по измерениям его входа и выхода (1):

Алгоритм № 1.

1. Проверить условие полноты системы в пространстве .Если это условие выполняется, то перейти к пункту 2.Если – нет, то закончить вычисления и выдать ответ: теорема 1 не применима.

2.Положить .

3.Решить линейную алгебраическую систему (3) относительно .

4.Проверить неравенство . Если оно выполняется, то перейти к пункту 5.Если – нет, то положить и перейти к пункту 3.

5. Закончить вычисления и записать - модель в виде (2), где - найденные в пункте 3 значения элементов матриц .

Из теоремы 2 вытекает

Алгоритм № 2.

1.Положить .

2.Решить линейную алгебраическую систему (5) относительно .

3.Проверить неравенство . Если оно выполняется, то перейти к пункту 4. Если – нет, то положить и перейти к пункту 2.

4. Закончить вычисления и записать - модель объекта в виде (4), где вычислены в пункте 2.

Из теоремы 3 вытекает

Алгоритм № 3.

1.Проверить условие полноты системы в пространстве .Если это условие выполняется, то перейти к пункту 2. Если – нет, то закончить вычисления и выдать ответ: теорема 3 неприменима.

2.Положить .

3.Решить линейную алгебраическую систему (*) относительно .

4.Проверить неравенство .Если это неравенство выполняется, то перейти к пункту 5.Если – нет, то положить и перейти к пункту 3.

5. Закончить вычисления и записать - модель в виде (6), где вычислены в пункте 3.

Из теоремы 4 вытекает

Алгоритм № 4.

1.Положить .

2.Решить линейную алгебраическую систему (8) относительно .

3.Проверить неравенство . Если неравенство выполняется, то перейти к пункту 4.Если – нет, то положить и перейти к пункту 2.

4.Закончить вычисления и записать - модель в виде (7), где вычислены в пункте 2.

Пример 5. Рассмотрим электрическую цепь, состоящую из последовательно соединенных емкости С и активного сопротивления . Обозначим через ток в цепи, а через - напряжение на зажимах цепи. Математическая модель этой цепи, составленная согласно законам электротехники имеет вид

(10)

где .

Пусть . А измерения входа и выхода имеют вид

(11)

Положим и построим имтационную - модель этой цепи вида (2) согласно алгоритму 1:

1. Отметим, что ,

следовательно система полна в пространстве .

2.Положим .

3.Решим линейную алгебраическую систему (3) относительно - получим .

4.Проверим неравенство . Имеем . Неравенство не выполняется, поэтому полагаем и переходим к пункту 3. Получаем и . Неравенство выполняется.

Таким образом получаем имитационную - модель вида

Далее аналогично построим имитационную - модель вида (6).Получаем

А математическая модель, полученная согласно законам электротехники имеет вид

Замечание 6. Изложенные здесь результаты опубликованы в [1] и продолжают исследования работ [2] и [3].Они подтверждают гипотезу о существовании имитационных моделей в классе простейших операторов вход–выход, описывающих поведение «черного ящика».

 

CCCCcc
 

J
 

JjJJJJ
 

J
 
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. , Еще раз о построении простейших имитацион-

ных моделей «черного ящика».// Вестник ПГТУ. Функционально-дифференциаль-

ные уравнения (спец. выпуск).-2002.-С.161-171.

2. , Имитационное моделировние реальных объектов и параметрическая идентификация функциональных систем //Вестник ПГТУ. Математика и прикладная математика. 1996 , №1. С. 17 – 22.

3. Построение простейших имитационных моделей «черного ящика» //Вестник ПГТУ. Функционально-дифференциальные уравнения (спец. выпуск). 1997, №4. С. 96 – 102.