Вопросы для экзамена

Вопросы для экзамена.

1. Понятие матрицы. Виды матриц. Транспонирование матри_

цы. Равенство матриц. Алгебраические операции над матрицами:

умножение на число, сложение и умножение матриц.

2. Определители 2_го, 3_го и n_го порядков (определения и их

свойства). Теорема Лапласа о разложении определителя по элемен_

там строки или столбца.

3. Квадратная матрица и ее определитель. Особенная и неосо_

бенная квадратные матрицы. Присоединенная матрица. Матрица,

обратная данной, и алгоритм ее вычисления.

4. Понятие минора k3го порядка. Ранг матрицы (определение).

Вычисление ранга матрицы с помощью элементарных преобразова_

ний. Пример.

5. Линейная независимость столбцов (строк) матрицы. Теорема

о ранге матрицы.

6. Векторы. Операции над векторами (сложение, вычитание,

умножение на число). n_мерный вектор. Понятие о векторном про_

странстве и его базисе.

7. Система п линейных уравнений с п переменными (общий вид)

и матричная форма ее записи. Решение системы (определение). Сов_

местные и несовместные, определенные и неопределенные системы

линейных уравнений.

8. Решение системы n линейных уравнений с п переменными ме_

тодом Гаусса.

9. Решение систем п линейных уравнений с п переменными

с помощью обратной матрицы (вывод формулы Х = А –1В).

10. Теорема и формулы Крамера решения системы п линейных

уравнений с п переменными (без вывода).

11. Понятие функции. Способы задания функций. Область опре_

деления. Четные и нечетные, ограниченные и монотонные функции.

Примеры.

12. Уравнение линии на плоскости. Точка пересечения двух ли_

ний. Основные виды уравнений прямой на плоскости (одно из них

вывести).

13. Общее уравнение прямой на плоскости, его исследование.

Условия параллельности и перпендикулярности прямых.

14. Предел последовательности при n   и предел функции

при x   . Признаки существования предела (с доказательством

теоремы о пределе промежуточной функции).

15. Определение предела функции в точке. Основные теоремы

о пределах (одну из них доказать).

16. Бесконечно малые величины (определение). Свойства беско_

нечно малых величин (одно из них доказать). Бесконечно большие

величины, их связь с бесконечно малыми.

17. Второй замечательный предел, число е. Понятие о натураль_

ных логарифмах.

18. Непрерывность функции в точке и на промежутке. Свойства

функций, непрерывных на отрезке. Точки разрыва. Примеры.

19. Производная и ее геометрический смысл. Уравнение каса_

тельной к плоской кривой в заданной точке.

20. Дифференцируемость функций одной переменной. Связь

между дифференцируемостью и непрерывностью функции (дока_

зать теорему).

21. Основные правила дифференцирования функций одной пе_

ременной (одно из правил доказать).

22. Формулы производных основных элементарных функций

(одну из формул вывести). Производная сложной функции.

23. Достаточные признаки монотонности функции (один из при_

знаков доказать).

24. Определение экстремума функции одной переменной. Необ_

ходимый признак экстремума (доказать).

25. Достаточные признаки существования экстремума (доказать

одну из теорем).

26. Понятие асимптоты графика функции. Горизонтальные, на_

клонные и вертикальные асимптоты. Примеры.

27. Общая схема исследования функций и построения их графи_

ков. Пример.

28. Функции нескольких переменных. Примеры. Частные про_

изводные (определение). Экстремум функции нескольких перемен_

ных и его необходимые условия.

29. Понятие об эмпирических формулах и методе наименьших

квадратов. Подбор параметров линейной функции (вывод системы

нормальных уравнений).

30. Дифференциал функции и его геометрический смысл. Инва_

риантность формы дифференциала первого порядка.

31. Понятие первообразной функции. Неопределенный интег_

рал и его свойства (одно из свойств доказать).

32. Метод замены переменной в неопределенном интеграле и

особенности его применения при вычислении определенного интег_

рала.

33. Метод интегрирования по частям для случаев неопределен_

ного и определенного интегралов (вывести формулу). Примеры.

34. Определенный интеграл как предел интегральной суммы.

Свойства определенного интеграла.

35. Теорема о производной определенного интеграла по пере_

менному верхнему пределу. Формула Ньютона–Лейбница.

36. Несобственные интегралы с бесконечными пределами интег_

рирования. Интеграл Пуассона (без доказательства).

37. Вычисление площадей плоских фигур с помощью определен_

ного интеграла. Примеры.

38 Понятие о дифференциальном уравнении. Общее и частное

решения. Задача Коши. Задача о построении математической моде_

ли демографического процесса.

39. Простейшие дифференциальные уравнения первого порядка

(разрешенные относительно производной, с разделяющимися пере_

менными) и их решение. Примеры.

40. Однородные и линейные дифференциальные уравнения

первого порядка и их решение. Примеры.

41. Определение числового ряда. Сходимость числового ряда.

Необходимый признак сходимости рядов (доказать). Примеры.

42. Гармонический ряд и его расходимость (доказать).

43. Признаки сравнения и Даламбера сходимости знакоположи_

тельных рядов. Примеры.

44. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница сходимости

знакочередующихся рядов. Абсолютная и условная сходимость ря_

дов.

45. Условия разложения функций в степенной ряд. Ряд Маклоре_

на. Разложение в ряд Маклорена функции у = еx (вывод). Интервал

сходимости полученного ряда.

46. Разложение в ряд Маклорена функции y = ln (1 + x) (вывод).

Интервал сходимости полученного ряда.

47. Разложение в ряд Маклорена функции у = (1 + х)n (вывод).

Интервал сходимости полученного ряда.__