Локально-аналитический метод рядов Тейлора в расчетах интегральных векторов и матриц в механике деформируемого твердого тела

УДК 539.3

ЛОКАЛЬНО-АНАЛИТИЧЕСКИЙ МЕТОД РЯДОВ ТЕЙЛОРА В РАСЧЕТАХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ ВЕКТОРОВ И МАТРИЦ В МЕХАНИКЕ ДЕФОРМИРУЕМОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА

Московский государственный технический университет
им. , Москва, Россия

Рассматриваются задачи механики деформируемого твердого тела, описываемые системами дифференциальных уравнений. Независимо от многомерности или нелинейности таких задач они обычно различными приемами приводятся к краевым, начальным или начально-краевым квазилинейным задачам. Среди алгоритмов решения таких задач ориентируемся на алгоритмы, приводящие, в конце концов, к квазилинейным начальным задачам для исходной или преобразованной системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Тогда для избранного алгоритма решения исходных задач механики необходимо вычислять различные интегральные характеристики систем обыкновенных дифференциальных уравнений в исходной форме записи или блочной в виде векторов или матриц.

Обычно расчет различных интегральных характеристик проводится с помощью численных методов решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Их запись даже для простейших задач механики принципиально отличается от обычной для теории дифференциальных уравнений введением чаще всего векторной функции параметров задачи. В известных методах выделяются две формы записи систем дифференциальных уравнений: нелинейная векторная и линейная векторно-матричная форма

, (1)

. (2)

Здесь – вектор размерности , – квадратная матрица порядка , вектор описывает нагружение деформируемого элемента, а – векторная функция параметров задачи. Их конкретный вид определяется типом рассчитываемого деформируемого элемента [1]. В первом случае необходимо в процессе использования численного метода решения системы дифференциальных уравнений вычислять векторы производных искомых переменных по вектору правых частей уравнения. Во втором – для расчета этих векторов приходится использовать матричные и векторные функции правых частей систем дифференциальных уравнений. Для большинства же моделей деформируемых элементов система уравнений, описывающая их напряженно-деформированное состояние, намного сложнее уравнений (1), (2) и включает в себя три типа линейных или нелинейных соотношений: дифференциальные уравнения равновесия, дифференциальные и алгебраические геометрические соотношения и физические дифференциальные или алгебраические соотношения [1]. Во всех случаях при использовании общепринятых численных методов решения систем (1) или (2) считается, что для них выполнены условия теоремы существования и единственности решения задачи Коши для правой части уравнения (1) или (2).

Кардинально изменим подход к интегрированию систем (1) или (2) и попытаемся избавиться от двузначности форм систем дифференциальных уравнений, сведя ее только к форме (1), а эту форму использовать для получения аналитического решения системы хотя бы в локальном смысле. Для этого привлечем неизвестную в теории решения систем дифференциальных уравнений форму представления правых частей уравнений (1), (2): представление непрерывных функций с помощью решетчатых [2]. Заменим исходную функцию правых частей (1), (2) ее избранным решетчатым аналогом на периоде решения исходной системы дифференциальных уравнений , где b-a – интервал искомого решения систем (1) или (2), N – заданное число периодов решетчатого аналога исходных функций правых частей систем (1) или (2). В отличие от полиномиального решетчатого метода откажемся также от каких-либо тождественных преобразований систем (1), (2). Тогда на любом фиксированном периоде решетчатой функции ее можно дифференцировать произвольное число раз. Это резко упрощает использование ряда Тейлора для решения систем дифференциальных уравнений. В итоге приращение искомого решения систем дифференциальных уравнений на любом к-ом периоде использования решетчатого аналога исходных непрерывных функций определяется формулой

.

Здесь для явного метода М – заранее заданное удерживаемое число членов ряда Тейлора, – значение решетчатого аналога правых частей (1) или (2) в начале периода использования этого аналога. – значение аргумента х в начале периода.

Предлагаемый метод решения систем дифференциальных уравнений был тестирован на широкой базе систем дифференциальных уравнений, взятых из известных уравнений математической физики, прикладной математики, механики деформируемого твердого тела. Приводятся некоторые иллюстрации, наглядно показывающие возможность решения этих систем на уровне машинного нуля.

Литература

1. Прочность, устойчивость, колебания. Справочник в 3 т. – М.: Машиностроение, 1968.

2. Динамика систем управления ракет с бортовыми цифровыми вычислительными машинами. Под ред. и – М.: Машиностроение, 1972. – 231 с.