Реферат Приемы устного счета

Реферат

Приемы устного счета

Выполнила учитель математики

М О У "Средняя общеобразовательная школа №3"

Ленинградская область

г. Луга

2уч. г.

План

1)  Место и значение устного счета в развитии учащихся.

2)  Общие приемы устного счета.

3)  Специальные приемы.

4)  Устный счет с использованием алгебраических преобразований.

5)  Индусский способ умножения чисел.

6)  Когда преобразования не уступают вычислениям на МК.

7)  Организация и методика проведения устных вычислений.

8)  Приложения:

1.Разработки к урокам в мультимедийном классе:

"Хочу все знать"

"Почему мы так говорим"

"Как люди научились считать".

2.Творческие работы учащихся.

«Когда на какое-нибудь определенное

действие человек затрачивает наименьшее

количество движений, то это грация».

Предисловие

Кроме неоспоримо практического значения, искусство устного счета на определенной ступени своего совершенства становится эстетическим явлением. Именно эту идею передает известная картина -Бельского «Устный счет».

Народ, создавший «Махабхарату» и «Рамаяну», эти шедевры художественной фантазии, обладал и чрезвычайно высокой вычислительной культурой, точнее, культурой устного счета, известного у древних индийцев под поэтическим названием «воздушного счета». Можно посвятить неискушенных учеников в индийскую тайну быстрого умножения и показать ее красоту на простом примере, вроде следующего.

Допустим, надо умножить 96 на 92. Дополнения до ста – соответственно 4 и 8. Отнимем от первого сомножителя дополнение второго (96-8=88) или от второго сомножителя дополнение первого (92-4=88). И в том, и в другом случае получаем 88. Это первые цифры искомого произведения. Перемножаем дополнения (4·8=3– это последние цифры произведения. Итак, 96·92=8832. На схеме это выглядит так:

|

________

88  32

Если постараться делать то же и впредь, то можно воспитать таких приверженцев устного счета, которые в 11-ом классе будут ради собственного удовольствия легко брать в уме определенные интегралы. А это уже подходит под чеховское определение грации¹.

1

УСВОЕНИЕ ЗАКОНОВ ДЕЙСТВИЙ ПРИ УСТНОМ СЧЕТЕ.

РАЗВИТИЕ СМЕКАЛКИ ПРИ УСТНЫХ ВЫЧИСЛЕНИЯХ.

Польза устных вычислений огромна. Считаю, что сознательное усвоение законов арифметических действий – это первая и ощутительная устных вычислений.

При устных вычислениях развиваются такие ценные качества человека, как внимание, сосредоточенность, выдержка, смекалка, самостоятельность. Любое вычисление устно можно выполнить очень многими способами. Пусть, например, нам надо умножить 28 на 4. Это умножение можно выполнить так:

А) 28 х 4 = (20 + 8) х 4 = 80 + 32 = 112;

Б) 28 х 4 = (25 + 3) х 4 = 100 + 12 = 112:

В) 28 х 4 = (30 – 2) х 4 = 120 – 8 = 112;

Г) 28 х 4 = 28 х 2 х 2 = 56 х 2 = 112.

Существуют и иные способы выполнения умножения 28 на 4, кроме перечисленных нами.

Из только что разобранного примера умножения 28 на 4 я убедилась, что можно широко применить инициативу в выборе для выполнения, данного вам действия. Таким образом, устный счет открывает широкие возможности для развития творческой инициативы учащихся.

При устном счете (иногда) надо держать «в уме» сами числа, над которыми производится действие, надо держать «в уме» некоторые промежуточные результаты, надо помнить некоторое количество наиболее эффективных приемов устного счета. Следовательно, устный счет содействует тренировке памяти. При устных вычислениях всем учащемся в классе приходится работать самостоятельно и активно, чтобы не отстать от товарищей.

Следует, наконец, остановиться на вопросе о быстроте подсчета при устных вычислениях. Конечно, устно, как правило, можно подсчитать быстрее, экономией с точки зрения затраченного времени и затраченных умственных сил. Но быстрота получения ответа при устных вычисления не является ценным. Я считаю, что если гнаться только за быстротой счета, то устные вычисления из средства превращаются в самоцель. При устных вычислениях значительно важнее экономики времени то, как выполнено данное действие, в чем проявилась творческая инициатива учащегося.

Как видно из сказанного выше, устные вычисления приносят огромную пользу математическому развитию учащегося.

В то время как письменные вычисления основаны на определенных приемах действий, однообразны и шаблоны, в устных вычислениях нет готового шаблона и приема вычислений очень разнообразны, что также способствует развитию целого ряда чрезвычайно полезных качеств человека.

2

ОБЩИЕ ПРИЕМЫ УСТНОГО СЧЕТА

Приемов устного счета очень много, но все эти приемы можно объединить в две группы: общие приемы устного счета и специальные приемы устного счета. Общие приемы устного счета могут быть применены к любым числам. Они вытекают из десятичного состава числа и основаны на применении законов и свойств арифметических действий.

Допустим, нам надо сложить числа: 28, 47, 32 и 13.

Общий прием такого сложения будет заключаться в следующем:

А) Пользуясь десятичным составом числа, разложим каждое слагаемое на разряды – на десятки и единицы:

28 = 20 + 8; 32 = 30 + 2;

47 = 40 + 7; 13 = 10 + 3;

Б) Воспользуюсь сочетательным и переместительным свойствами:

20 + 30 + 8 + 2 + 40 + 10 + 7 + 3 (применяю закон переместительности);

(20 + 30) + (8 + 2) + (40 + 10) + (7 + 3) (применяю закон сочетательности);

50 + 10 + 50 + 10 (выполняю сложение каждой группы слагаемых);

50 + 50 +10 + 10 (применяю закон переместительности);

100 + 10 + 10 = 120 (выполняю сложение).

Пусть надо умножить 128 на 4 .

А) Разложу множимое на разряды – на сотни, десятки и единицы: 128 = 100 + 20 + 8.

Б) Пользуясь распределительным законом умножения, умножу 100 х 4; 20 х 4 и 8 х 4 и полученные произведения 400, 80 и 32 сложим и получим: 480 + 20 + 12 = 512.

Необходимо много упражняться, чтобы постепенно овладевать общими приемами устного счета. Овладев этими приемами, ученики будут знать законы и свойства арифметических действий и, что особенно важно, будете применять эти законы и свойства арифметических действий осмысленно.

Но, кроме общих приемов устного счета, имеются особые или специальные приемы, которые применимы только к некоторым числам и некоторым действиям.

3

СПЕЦИАЛЬНЫЕ ПРИЕМЫ УСТНОГО СЧЕТА.

ПРИЕМЫ ОКРУГЛЕНИЯ.

Прием округления – очень эффективный и часто употребляемый прем устного счета. Этот прием можно использовать во всех четырех арифметических действиях.

Начну со сложения. Надо сложить: 399 + 473.

Если добавить к 399 единицу, т. е. округлим первое слагаемое до 400, то, как известно, от увеличения одного из слагаемых на несколько единиц сумма увеличится на столько же единиц, поэтому, сложив 400 и 473, я получу не истинную сумму чисел 399 и 473, а на единицу больше. Поэтому от 873 надо отнять единицу, и я получу истинную сумму слагаемых 399 и 473, т. е. 872.

Можно выполнить это сложение с округлением одного из слагаемых в уме без всякой записи промежуточных результатов: 399 + 473 = 872.

Можно записать промежуточные результаты:

399 + 473 = 399 + 1 + 473 – 1 = 400 + 472 = 872.

Из последней записи можно сделать вывод: округление одного из слагаемых можно сделать за счет другого слагаемого. Действительно, если одно из слагаемых увеличить на несколько единиц, а другое слагаемое уменьшить на столько же единиц, то величина суммы не изменится:

399 + 1 + (473 – 1) = (399 + 1) + 472 = 400 + 472 = 872.

Разумеется, понятно, что округление слагаемых можно применять и в случае сложения более чем двух слагаемых.

Например:

384 + 132 + 224 = 384 + 132 + 220 + 16 +8 = (384 + 16) + (132 + 8) + 200 = 400 + 200 + 140 = 740.

Здесь первое и второе слагаемое я округлила за счет третьего. При сложении я использовала закон сочетательности (замена нескольких слагаемых их суммой) и закон переместительности.

Округлением слагаемых можно пользоваться не только при сложении целых чисел, но и при сложении дробей, как обыкновенных, так и десятичных:

13 + 9 = ( 13 + ) + (9 – ) = 14 + (9 – ) = 23 ;

47,97 + 11, 38 = (47, 97 + 2, 03) + (11, 38 – 2, 03) = 50 + 9, 35 = 59, 35.

Можно округление применить к нескольким слагаемым сразу, и притом не за счет какого-либо из слагаемых:

597 + 196 + 299 = 600 + 200 + 300 – (3 + 4 + 1) = 1100 – 8 = 1092.

Рассмотрим теперь на примерах применение приема округления при вычитании:

56 – 38 = [(56 + 4) – 38] – 4 = (60 – 38) – 4 = 22 – 4 = 18.

4

Если уменьшаемое увеличить на несколько единиц, то остаток или разность, увеличится на столько же единиц. Поэтому, увеличив (округлив) 56 на 4, я должна из разности (она заключена в квадратные скобки) вычесть эти единицы:

72 – 15 = [(72 – 2) – 15] + 2 = (70 – 15) + 2 = 55 + 2 = 57.

Если уменьшаемое на несколько единиц уменьшить, то остаток, или разность, уменьшится на столько же единиц. Я уменьшила (округлила) уменьшаемое на 2, поэтому остаток (обозначен в квадратных скобках) я увеличила на 2 единицы:

752 – 298 = [752 – (298 + 2)] + 2 = (752 –300) + 2 = 452 + 2 = 454.

Если вычитаемое увеличить на несколько единиц, то остаток, или разность, уменьшится на столько же единиц.

Я увеличила (округлила) вычитаемое на 2, поэтому, чтобы остаток не уменьшился на 2, к нему прибавили 2:

93 – 22 = [93 – (22 –2)] – 2 = (93 –20) – 2 = 73 – 2 = 71.

Если вычитаемое уменьшится на несколько единиц, остаток, или разность, увеличится на столько же единиц.

Я уменьшила (округлила) вычитаемое на 2, поэтому остаток (в квадратной скобке) надо уменьшить на 2:

498 – 298 = 500 – 300 = 200.

572 – 352 = 570 – 350 = 220.

Если уменьшаемое и вычитаемое одновременно увеличить (или уменьшить) на одно и то же число единиц, остаток, или разность, остается без изменений.

Выполнить устно то или иное действие можно различными способами. Так, в рассмотренном выше примере на вычитание, 93 – 22, результат можно получить проще (учитывая данные в примере числа) путем разложения, вычитаемого на разряды:

93 – 20 – 2 = 73 – 2 = 71.

То же можно сказать и о вычитании чисел:

498 – 298.

Здесь числа таковы, что удобней вычитаемое разложить на два слагаемых: 200 и 98 и их «скинуть» по очереди с 498:

498 – 200 – 98 = 298 – 98 = 200.

Последний пример показывает нам, что вычитание удобно производить, когда единицы (или единицы и десятки ) уменьшаемого и вычитаемого одинаковы. Это можно использовать следующим образом: иногда полезно уравнять единицы (или единицы и десятки) уменьшаемого и вычитаемого:

471 – 176 = 476 – 176 – 5 = 300 – 5 = 295;

393 – 255 = 395 – 255 – 2 = 140 – 2 = 138;

577 – 372 = 577 –377 + 5 = 200 + 5 = 205;

859 – 625 = 859 – 629 + 4 = 230 + 4 = 234;

Легко убедиться, что выполнение вычитания путем разложения, вычитаемого на разряды и затем «сбрасывание» их с соответствующих разрядов уменьшаемого в только что рассмотренных четырех примерах будет не менее эффективным.

Перейдем к умножению:

5

35 х 18 = 35 х 20 – 35 х 2 = 700 – 70 = 630.

Я умножила 35 на 20, а не на 18, следовательно, взяла два «лишних» раза, поэтому из произведения (оно взято в скобку) надо вычесть 35 х 2.

Прием очень эффективный, если множимое «удобное» для умножение, а множитель близок к полному числу десятков или полному числу сотен.

К примеру, рассмотрев округление множимого:

198 х 3 = (200 – 2) х 3 = 600 – 6 = 594.

Я умножила на 3 не 198, а 200, следовательно, я взяли «лишних» 2 единицы 3 раза. Это произведение 2 х 3 надо «сбросить» с 600.

Прием округления множимого удобен, если оно близко к полным десяткам или сотням и если множитель – однозначное число (или число, выражающее круглые десятки или круглые сотни):

79 х 30 = (80 – 1) х 30 = 2400 – 30 = 2370.

Округление множимого или множителя не обязательно должно производиться путем их множителя их увеличения на несколько единиц, как это имело место в рассмотренных двух примерах на умножение путем округления сомножителей:

32 х 21 = 32 х (20 + 1) = (32 х 20) + (32 х 1) = 640 + 32 = 672.

Я взяла 32 двадцать раз и затем прибавляем 32, взятое еще один раз. Умножение в данном случае можно назвать умножением путем округления множителя, но можно его назвать умножением путем разложения множителя на два слагаемых, удобных для выполнения умножения.

203 х 16 = (200 + 3) х 16 = 3200 + 48 = 3248.

И здесь прием округления множимого привел к разложении. Его на два слагаемых, удобных для умножения 16.

Рассмотрим применение округление при делении:

596 : 4 = 600 : 4 – 4 : 4 = 150 – 1 = 150.

Я округлила делимое, увеличив на 4, следовательно, разделить не 596 на, а число большее на 4 единицы, иначе говоря, в частном у нас одна «лишняя» единица, получаемая от деления 4 на 4.

808 : 8 = (800 + 8) : 8 = 800 : 8 + 8 : 8 = 200 + 1 = 201.

Здесь округление делимого произведено за счет уменьшения его до круглых сотен. Округление в данном примере равносильно делению путем разложения делимого на разряды.

308 : 28 = (280 + 28) : 28 = 10 + 1 = 11.

В данном примере делимое «округлено», или разложении на два слагаемых так, что деление их на 28 стало удобным для выполнения устно.

Очень эффективен прием одновременного увеличения делимого и делителя:

225 : 75 = (225 х 2) : (75 х 2) = 450 : 150 = 3;

440 : 55 = 880 : 110 = 8.

Если делимое и делитель одновременно увеличить (или уменьшить) в одно и то же число раз, то величина частного не изменится.

6

ПРИЕМЫ ПЕРЕСТАНОВКИ.

Одним из приемов устного счета является прием перестановки слагаемых или перестановки сомножителей.

Пусть надо выполнить сложение чисел:

389 + 567 + 111.

Сложение этих чисел в порядке их написания довольно затруднено, и вы, вероятно, начнете писать слагаемые в столбик и выполнять сложение письменно.

Между тем достаточно написать слагаемые в том порядке, в каком их удобнее сложить (пользуясь переместительным свойством суммы: от перемены мест слагаемых сумма не изменяется), и вычисление легко выполнить устно:

389 + 111 + 567 = 500 + 567 = 1067.

Вот еще несколько примеров такого сложения:

358 + 788 + 142 + 312 = (358 + 142) + (788 + 312) = 500 + 1100 = 1600;

6 + 7 + 2 = (6 + 2) + 7 = 9 + 7 = 16;

13,23 + 0, 75 + 4,77 + 1,25 = (13,23 + 4,77) + (0,75 + 1,25) = 18 + 2 = 20.

Кроме переместительного свойства суммы, я использовала также сочетательного свойства (сумма не изменится, если слагаемых соединить в группы, произвести сложение по группам, а затем сложить полученные результаты).

Пользуясь переместительным и сочетательным свойствами суммы можно выполнить устно сложение довольно сложных чисел:

2357 + 1998 + 3055 = (2357 + 43) + (1998 + 2) + 3010 = 2400 + 2000 + 3010 = 7410.

Здесь я взяла от третьего слагаемого 43 + 2 для округления первых двух слагаемых. Затем, использовав переместительное и сочетательное свойства суммы, выполнили сложение устно.

Не меньший эффект дает переместительное свойство произведения (от перемены мест сомножителей произведение не изменяется).

Рассмотрим несколько примеров:

4 х 53 х 25 = 25 х 4 х 53 = 100 х 53 = 53 х 100 = 5300;

3 х 124 = 124 х 3 = 300 + 72 = 372;

5 х 37 = 37 х 5 = 30 х 5 + 7 х 5 = 150 + 35 = 185;

4 х 8 х 13 х 5 х 125 х 25 = (4 х 25) х (8 х 125) х (13 х 5) = 100 х 1000 х 65 = 6 500 000.

При решении этих приемов я использовала следующие свойства действия умножения: при умножении нескольких сомножителей можно переместить места сомножителей, соединить их в отдельные группы, произвести умножение сомножителей по группам и затем перемножить полученные произведения.

Здесь будет уместным заметить об одной очень распространенной ошибке при выполнении умножения произведения нескольких чисел на какое-либо число. Пусть произведение 2 х 8 х 17 х 25 надо умножить на 5.

7

Учащиеся часто начинают умножать на 5 каждый из сомножителей данного произведений. Это грубая ошибка. Надо на 5 умножить один из сомножителей данного произведения:

(2 х 8 х 17 х 25) х 5 = 2 х 8 х 17 х 25 х 5.

Использовав переместительное и сочетательное свойства произведения, выполним вычисление устно:

2 х 8 х 17 х 25 х 5 = 2 х 5 х 17 х 25 х 8 = (2 х 5) х (25 х 8) х 17 = 10 х 200 х 17 = 34 000.

Рассмотрим еще пример:

2 х 17,05 умножить на 4.

Получив для вычисления такой «неудобный» с токи зрения учащихся пример, они иногда начинают для умножения первый сомножитель превращать в неправильную дробь и умножать его на 4, а второй сомножитель «в столбик» умножать на 4. Это, повторяем, грубая ошибка. Нужно только один из сомножитель умножать на 4. В данном примере выгодней умножить на 4 первый из сомножителей:

2 х 17,05 х 4 = 2 х 4 х 17,05 = 10 х 17,05 = 17,05 х 10 = 170,5.

Приведу еще один пример: 730 – 644 = 6 + 50 + 30 = 86.

Я вычитаю, последовательно дополняю до 650, затем до 700 и, наконец, до 730. Последовательные дополнения выписаны: 6 + 50 + 30. Конечно, при устном счете можно эти дополнения не писать, а только произносить: «шесть, пятьдесят, тридцать». Затем в уме же сложить числа либо в порядке их произведения, либо, воспользовавшись перестановкой слагаемых, сложить 50 воспользовавшись перестановкой слагаемых, сложить 50 и 30 и затем прибавить 6 к 80.

ПРИЕМЫ УМНОЖЕНИЯ НА 5, 50 и 500.

3,6 х 5 = 1,8 х 10 = 18;

85 х 5 = 42,5 х 10 = 425;

1248 х 5 = 6240;

7,5 х 5 = 3,75 х 10 = 37,5.

826 х 50 = 413 х 100 = 41 300;

7,2 х 50 = 3,6 х 100 = 360;

7,35 х 50 = 3,675 х 100 = 367,5.

2,51 х 500 = 1,255 х 1000 = 1255;

48,3 х 50 = 24,15 х 100 = 2415;

128,5 х 5 = 64,25 х 10 = 642,5;

49,2 х 50 = 24,6 х 100 = 2460, или 49,2 х 50 = 492 х 5 = 2460.

8

ПРИЕМ УМНОЖЕНИЯ НА 25, 250 и 2500.

84 х 25 = (84 : 4) х 100 = 2100;

424 : 4 = (400 + 24) : 4 = 100 + 6 = 106;

74 х 2500 = 74 : 4 х 10 000 = 18,5 х 10 000 = 185 000;

23,4 х 25 = 23,4 : 4 х 100 = 5,85 х 100 = 585;

51,4 х 250 = 51,4 : 4 х 1000 = 12,85 х 1000 = 12 850.

ПРИЕМ УМНОЖЕНИЯ НА 125.

56 х 125 = 56 : 8 х 1000 = 7000;

128 х 125 = 128 : 8 х 1000 = 16 000;

896 х 125 = 112 х 1000 = 112 000;

72 х 1250 = 72 : 8 х 10 000 = 90 000;

95,2 х 125 = 95,2 : 8 х 1000 = 11,9 х 1000 = 11 900;

30,48 х 1250 = 30,48 : 8 х 10 000 = 3,81 х 10 000 = 38 00;

224 х 125 = 224 : 8 х 1000 = 28 000.

Деление 224 на 8 легче всего выполнить путем последовательного деления на 2, еще раз на 2 и еще на 2 и еще раз на 2.

Применяя прием последовательного умножения, можно без особого труда находить произведение чисел на 175 = 25 х 7; 375 = 125 х 3; 625 = 125 х 5; 875 = 125 х 7.

ПРИЕМ ДЕЛЕНИЯ НА 5, 50, 25, 250, 125.

5740 : 5 = 5740 : 10 х 2 = 574 х 2 = 1148;

3475 : 5 = 3475 : 10 х 2 = 347,5 х 2 = 695;

37 400 : 50 = 37 400 : 100 х 2 = 374 х 2 = 748;

7,4 : 5 = 7,4 : 10 х 2 = 0,74 х 2 = 1,48;

23,5 : 50 = 23,5 : 100 х 2 = 0,235 х 2 = 0,470;

83,5 : 500 = 83,5 : 1000 х 2 = 0,0835 х 2 = 0,1670;

5400 : 25 = 5400 : 100 х 4 = 54 х 4 = 216;

4725 : 25 = 4725 : 100 х 4 = 47,25 х 4 = 189;

17,25 : 25 = 17,25 : 100 х 4 = 0,1725 х 4 = 0, 6900;

74,5 : 250 = 74,5 : 1000 х 4 = 0,0745 х 4 = 0,2980;

42,5 : 125 = 42,5 : 1000 х 8 = 0,0425 х 8 = 0,3400;

42 200 : 1250 = 42 200 : 10 000 х 8 = 4,22 х 8 = 33,76;

ПРИЕМ УМНОЖЕНИЯ НА 15.

24 х 15 = 24 х 10 + = 240 + 120 = 360;

9

37 х 15 = 370 + 185 = 555;

234 х 15 = 2340 + 1170 = 3510;

12,4 х 15 = 124 + 62 = 186;

2,04 х 15 = 20,4 + 10,2 = 30,6;

ПРИЕМ УМНОЖЕНИЯ НА 9 и 99.

25 х 9 = 25 х 10 – 25 х 1 = 250 – 25 = 225;

128 х 9 = 1280 – 128 = 1152;

320 х 9 = 3200 – 320 = 2880.

5 х 99 = 500 – 5 = 495;

8 х 99 = 800 – 8 = 792;

252 х 9 = 2520 – 252 = 2268;

28 х 9 = 280 – 28 = 252;

66 х 99 = 6600 – 66 = 6534;

999 х 12 = 12 х 999 = 12 х 1000 – 12 = 12 000 – 12 = 11 988;

ПРИЕМЫ УМНОЖЕНИЯ НА 11.

Умножение на 11 аналогично умножению на 9, только здесь мы будем число сначала умножать на 10 и затем прибавлять еще один, одиннадцатый раз это же число.

87 х 11 = 87 х 10 + 87 х 1 = 870 + 87 = 957;

232 х 11 = 232 х 10 + 232 = 2321 + 232 = 2552;

; или

54

+ + + +

321 х 111 = 32100 + 3210 + 321 = 35 631;

2,4 х 11 = 24 + 2,4 = 26,4;

0,34 х 11 = 3,4 + 0,34 = 3,74, или: 3,(7)4; произведение будет иметь сотые доли.

53 х 1,1 = (530 + 53) : 10 = 583 : 10 = 58,3.

4,2 х 11 = (42 + 4,2) : 10 = 46,2 : 10 = 4,62;

4,2 х 1,1 = (420 + 42) : 100 = 462 : 100 = 4,62.

13 х 33 = (13 х 3) х 11 = 39 х 11 = 429;

24 х 22 = (24 х 2) х 11 = 48 х 11 = 528;

9 х 55 = (9 х 5) х 11 = 45 х 11 = 495;

10

ПРИЕМ ВОЗВЕДЕНИЯ В КВАДРАТ ДВУЗНАЧНЫХ ЧИСЕЛ.

85² = (64 + 8) · 100 + 25 = 7225;

47² = (47 + 7) · 40 + 7² = 2160 + 49 = 2209.

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ФОРМУЛ СОКРАЩЕННОГО УИНОЖЕНИЯ ДЛЯ УСТНОГО СЧЕТА. ИЗВЛЕЧЕНИЕ КОРНЕЙ ИЗ ЧИСЕЛ.

72² = (70 + 2)² = 4900 + 280 + 4 = 5184;

59² = (60 – 1)² = 3600 – 120 + 1 = 3481;

47 х 53 = (50 – 3)(50 + 3) = 2500 – 9 = 2491;

Как видно из разобранных примеров, особенно эффективна формула разности квадратов. Правда, она применима в случаях умножения чисел, отличающихся от какого-либо целого числа десятков (сотен) на одно и то же число в ту же и другую сторону.

В рассматриваемом примере 47 на 3 меньше 50, а 53 на 3 больше 50. Эту формулу можно использовать в обратном порядке для нахождения разности квадратов двух чисел:

128² – 127² = (128 + 127)(128 – 127) = 255 х 1 = 255.

Конечно, в целом ряде случаев этими формулами можно пользоваться для устных вычислений с дробными числами:

( 4)² = (4 + )² = 16 + 1 + = 17 ;

(7,3)² = (7 + 0,3)² = 49 + 4,2 + 0,09 = 53,29;

10 х 9 = (10 + )(10 – ) = 100 – = 99,96;

9,3 х 8,7 = (9 + 0,3)(9 – 0,3) = 81 – 0,09 = 80,91;

53,6² – 53,4² = (53,6 + 53,4)(53,6 – 53,4) = 107 х 0,2 = 21,4.

Полезно учесть следующее: (a + )² = a² + a + ) = a(a + 1) + .

Отсюда: (2)² = 2 · 3 + = 6;

(7)² = 7 · 8 + = 56.

Хорошо известно правило: «Чтобы извлечь корень n-й степени из произведения нескольких чисел надо извлечь корень n-й степени из каждого сомножителя отдельно и полученные числа перемножить». Необходимо строго пользоваться эти правилом, если под радикалом данные буквенные сомножители: ³a³b= ab2. Если же под радикалом стоят числовые сомножители, то тут ошибки допускаются чаще. Так, в примере 3учащиеся пытаются сначала перемножить по радикалом числа 27 и 8, а затем задают учителю недоуменный вопрос: «А ведь мы же не умеем извлекать кубического корня из чисел». Между тем легко извлечь кубический корень отдельно из каждого сомножителя: 3= 3·2 = 6.

11

Пусть требуется вычислить . И здесь не редко учащимся поступают так: перемножают подкоренные числа из полученного большего числа, извлекают квадратный корень. Конечно, это нерационально.

Стоящий под радикалом числа надо представить в виде произведения чисел, из которых легко устно извлечь корень = = = 10 · 3 · 3 = 90.

Можно в уме произвести всю операцию разложения чисел на множители, рассуждая примерно так:

«50 умноженное на 2-100, корень из 100 – 10, остается 34, корень из 34 будет 32 или 9. ответ 90».

Вот более сложный пример:

3 · · = 6 = 6 = 6= 6 6= 6 6.

Представьте себе, что получилось бы, если бы вы попытались перемножить подрадикальные числа после приведения всех радикалов к общему показателю корны.

Надо запомнить раз и навсегда, что во всех случаях полезней иметь в в идее произведения составляющих их сомножителей. В таком виде видна «структура» числа и легче сообразить, каков будет общий знаменатель при действиях с дробными числами, виднее, что можно «взять за радикал» при действиях с иррациональными числами.

К этой полезной мысли мы неоднократно будем возвращаться ниже. Сейчас же закончим вопрос об извлечении квадратного корня из чисел, пользуясь разложением числа на такие сомножители, из которых легко устно извлечь квадратный корень.

ПРИМЕРЫ: = = 9 · 100 = 90;

= = 2 · 16 = 32.

В данном случае, чтобы сообразить, на какие же сомножители разложить число 1024, чтобы из них было легко извлечь квадратные корни, я поступлю так: по признаку делимости на 4 видим, что число делится на 4, делим, частное будем 256. это квадрат 16.

= = 7 х 0,01 = 0,07;

= = 0,5 · 3 · 4 = 6;

= = 15 · 0,01 = 0,15;

= = 5 · 17 = 85.

В последнем примере, пользуясь признаком делимости на 5, я делила число на 5 и еще раз на 5, пока не получаем число 289, корень из которого легко извлекается в уме.

Если припомнить способ возведения в квадрат двузначного числа, оканчивающего на 5, то корень квадратный из числа 7225, но можно еще проще: первая цифра корня квадратного 8, а вторая 5.

12

Проверю: (64 + 8) · 100 + 25 = 7225.

= = = 17;

= = = 0,7 · 0,3 = 0,21.

Из разработанных примеров видно, сколь разнообразны приемы и сколь большая возможность вычисления устно.

ПРИЕМЫ ДОПОЛНЕНИЯ ЧИСЕЛ ПРИ СЛОЖЕНИИ. ПРИЕМ ПОСТЕПЕННОГО «СБРАСЫВАНИЯ» ЧИСЕЛ ПРИ ВЫЧИТАНИИ.

ТАБЛИЦА УМНОЖЕНИЯ ПРИ ПОМОЩИ ПАЛЬЦЕВ РУК.

ПРИЕМ УМНОЖЕНИЯ НА 75.

УМНОЖЕНИЕ И ДЕЛЕНИЕ СМЕШАННОГО ЧИСЛА ПУТЕМ РАЗЛОЖЕНИЯ ЕГО НА СЛАГАЕМЫЕ.

СЛОЖЕНИЕ И ВЫЧИТАНИЕ СИММЕТРИЧНЫХ ЧИСЕЛ.

ПРИМЕРЫ: 8 + х = 10; какое число надо добавить к 8, чтобы получить 10?

16 + х = 20; 564 + х = 600; х + 356 = 400;

86 + х = 100; х + 238 = 300; 877 + х = 900;

х + 63 = 100; 677 + х = 700; 444 + х = 500.

Умение дополнить число до «круглых десятков», «круглых сотен» широко применяется при устном сложении.

277 + 324 = 277 + 23 + 301 = 601.

Я округлила слагаемое 277 до круглых сотен, до трехсот, взяв для этой цели 23 от второго слагаемого. Можно легко выполнить это сложение, если уметь быстро найти дополнение.

147 + 137 + 153 = 147 + 153 + 137 = (147 + 153) + 137 = 300 + 137 = 437.

Конечно, подробная запись и подробные пояснения сделаны с целью уяснения всей операции. Приобретя навык устных вычислений, вы станете все делать в уме: «147 да 53, будет 200, да 100-30, да 100-400, да 37, итого 437». Вот и все, что вы примерно скажете себе, подсчитывая сумму.

(12+ 7) + (9+ 10).

Чтобы приспособить к сумме нескольких чисел сумму, надо последовательно сложить все слагаемые этих сумм:

12+7+ 9+10.

Для выполнения сложения устно надо переставить последнее слагаемое на второе место слева (переместительный закон), соединить попарно два первых слагаемых и два последних слагаемых (закон сочетательности):

(12+ 10) + (7+ 9).

13

Так как в обеих скобках дробь второго слагаемого дополняет дробь первого слагаемого до полной единицы, то сложение легко выполняет устно: 23 + 17 = 40.

И здесь 23 дополняется семью до 30 и затем к 30 прибавляется 10.

12,96 + 7,25 = 12,96 + 0,04 + 7,21 = 13 + 7, 21 = 20,21.

Из рассмотренных выше примеров на сложение обыкновенных и десятичных дробей можно увидеть, что прием дополнения числа до полных единиц очень полезно применять при действиях над целыми и дробными числами.

Конечно, что такое деление смешанных чисел значительно проще. Очень прост прием устного счета на сложение и вычитание некоторых симметричных чисел.

222 + 333 = 555;

606 + 303 = 909;

232 + 535 = 767;

777 + 333 = 444;

= 505;

868 – 232 = 636;

И сложение, и вычитание во всех приведенных случаях легко выполняются устно, причем действие можно выполнить в порядке написания компонентов действия (и ответа), т. е. начиная с высших разрядов.

ПРИМЕРЫ:

238 + 521 = 759;

425 + 604 = 929;

974 – 253 = 721;

651 – 331 = 320;

542 + 364 = 906;

627 + 233 = 860;

777 + 123 = 900;

606 – 363 = 243;

505 – 141 = 364;

303 – 252 = 51.

78 + 26 = 78 – 4 + 30 = 74 + 30 = 104;

375 + 88 = 375 – 12 + 100 = 363 + 100 = 463;

22 + 11 + 55 = 88;

333 + 222 + 444 = 999;

555 + 444 – 777 = 222;

19 х 4 х 17 х 25;

17 х 19 х 25 х 4;

17 х 19 х 100;

17 х 20 – 17 = 340 – 17 = 323.

14

УСТНЫЙ СЧЕТ ПРИ ДЕЙСТВИЯХ

С ОБЫКНОВЕННЫМИ ДРОБЯМИ

Например: (130, деленное на 13, даст 10 и остается , следовательно, имеем смешанное число 10); из легко исключить целое, равно как и из , , , . Таким образом, из 26 неправильных дробей не наберется и 10, из которых затруднительно выделить устно целое число.

В примерах даны смешанные числа, которые надо обратить в неправильные дроби; большинство примеров можно выполнить устно.

Смешанное число 83(наиболее «трудное» среди данных в примере чисел) вы легко обратите в неправильную дробь устно:

83= = .

Мы умножили 83 на 11 описанным выше способом: расставили цифры числа 83 и в среду поставили их сумму, но так как 8 + 3 = 11, то левую цифру увеличили на единицу. К 913 прибавить 7 не представляет никакого труда.

Например, легко сократить, прибегнув к последовательному делению (в уме) числителя и знаменателя дроби на 2, еще раз на 2 и. д.

легко сократить в уме сначала на 10, а затем на 7. Из легко исключите целое.

То же самое надо сказать и о примерах на приведение дробей к общему знаменателю, а следовательно, и о примерах на сложение и вычитание дробей, так как в последнем случае вся трудность сводится к приведению к общему знаменателю. Большую часть примеров и задач на простые дроби, приведенных в сборнике, легко можно выполнить устно.

Вот еще наиболее сложный пример из них на сложение и вычитание дробей:

121- (5+ 8 + 16 - 9).

Две дроби из четырех, указанных в скобках, легко заменить их суммой, не прибегая даже к их написанию (полуписьменное вычисление). Это дроби 5 и

15

16 Дробь в уме заменяется , и тогда легко подсчитать в уме сумму указанных двух дробей: 5 + 16 = 21 = 22.

Запись я привела лишь для того, чтобы показать, как произведена устно операция.

Но можно и не прибегать к сложению этих двух дробей, а сразу сложение и вычитание всех дробей написанных в скобке.

5 + 8 + 16- 9 = 20 + + + - .

Я устно выполнила действия сложения и вычитания целых чисел, а дроби выписали, попутно разложив их знаменатели на множители.

Советую при всех обстоятельствах не переписывать ни одного числа, ни одной дроби, не сделав «по дороге2 того или иного действия.

Разлагая знаменатели дроби на множители, я в данном случае не разлагала их на простые множители, так как ясно видно было из последнего знамена, что нам нужен будет для наименьшего общего кратного множитель 8.

20= 20 = 20 = 20 = 20 = 21.

Умножение числителя каждой дроби на дополнительный для дроби множитель без особого труда в данном примере можно выполнить в уме. Умножение 11 на 70 и 3 на 15 легко выполнимо в уме, а умножение 7 на 56 или 56 на 7, а также 35 на 7 лучше всего произвести, умножая на 7 разряды множимого:

56 · 7 = (56 + 6) · 7 = 350 + 42 = 392,

35 · 7 = (30 + 5) · 7 = 210 + 35 = 245.

Теперь перейдем к выполнению действия сложения и вычитания чисел, стоящих в числителе. Вычитаем 45 из 245, остается 200. Слагаемое 392 полезно округлить до 400, получим:

770 + 400 + 200 – 8 = 1370 – 8 = 1362.

В результате сложения и вычитания дробей в скобке получили: 20.

Легко убедиться, что данная дробь сократима, ее можно сократить на 3 и на 2, следовательно, на 6.

Число 1362 можно разделить на 6, выполняя действие в уме: представим в уме 1362 в виде слагаемых, кратных 6 – это 1200, 120 и 42, и каждое из них легко разделим в уме на 6, получим 200, 20 и 7 или 227. Сокращение на 6 знаменателя дроби на представляет никакого затруднений, так как он написан в виде отдельных сомножителей.

Получим:

20 = 20 = 21.

16

Теперь перейдем к последнему действию:

121 - 21 = 100 + ( - ).

Разложим знаменатели дробей на множители:

200 = 10 · 4 · 5.

140 = 10 · 7 · 2.

Общий наименьший знаменатель будет: 10 · 4 · 7 · 5.

100 + ( - ) = 100 + = 100 + .

Умножение 123 на 7 можно выполнить поразрядно (100 + 20 + 3) · 7 или (120 + 3) · 7. Теперь знаменатель можно представить в виде одного числа, перемножив составляющие его сомножителя: пять на семь тридцать пять, умножим на 2 – семьдесят, еще раз на 2 – сто сорок и умножая на 2 – семьдесят, еще раз 2 – сто сорок и умножая на 10 – одна тысяча четыреста.

Чтобы вычесть из 861 число 870, в уменьшаемом на хватает 9, надо занять их 100 единицу и раздробить ее в тысяча четырехсотые доли. Эти недостающие 9 единиц я возьму из , получим 99. В ответе имеем несократимую дробь.

Если опустить все пояснения, которые преследовали цель сделать понятными операции, то все решение примера примет такой вид:

121 - (5 + 8 + 16 - 9) = 99.

1)  5 + 8 + 16 - 9 = 20 = 20 = 20 = 20 = 20 = 21.

2)  121 - 21 = 100 + = 100 + = 99.

УСТНЫЙ СЧЕТ ПРИ ДЕЙСТВИЯХ С ДЕСЯТИЧНЫМИ ДРОБЯМИ.

Все сказанное в отношении обыкновенных дробей еще в большей мере относится к дробям десятичным. Их преобразования, действия над ними, вычисление процентов (все три задачи на вычисление процентов) в очень многих случаях выполнимы устно.

Такие операции над десятичными дробями, как уменьшение или увеличение в 10, 100, 1000 и т. д. раз, приведение десятичных дробей к одному знаменателю, раздробление десятичных дробей к одному знаменателю, раздробление и превращение именованных метрических мер, - все это можно и должно выполнять устно.

Сложение и вычитание десятичных дробей можно выполнить устно во

17

всех тех случаях, когда удобно произвести действие устно над числами,

выражающими числители этих десятичных дробей. Все приемы устного счета, которые применимы для выполнения действий с целыми числами, целиком и полностью применимы здесь. Так, если удобно при сложении чисел 35 и 98 округлить второе слагаемое до 100 и из 135 вычесть 2, то не менее удобно этот же прием употребить при сложении 0,35 и 0,98. Ясно, что, складывая 35 сотых с 98 сотыми, я в сумме должна получить сотые. Сложив числители – 35 и 98, я получила 135. Как уже сказанное, что в сумме я получила сотые доли, т. е. , или 1,35. Как видно из разобранного примера, при выполнении устно действий над десятичными дробями, удобней и выгодней, произнося знаменатель десятичной дроби, представлять его в уме написанным. При производстве действий устно над десятичными дробями надо их в уме обращать в обыкновенные дроби. получив же результат, произнести его и записать в виде дроби десятичной. В разобранном примере это будет выглядеть так: 0,35 + 0,98 = 1,35.

«35 сотых да 98 сотых будет 135 сотых, или 1,35»

Еще пример: 0,456 – 0,357.

Вычту из 456 число 356, получим 100, затем еще вычтем единицу, получим 99. Я вычитала тысячные доли, следовательно, в ответе я буду иметь 0,999.

3,27 – 2,98.

Округлив вычитаемое до 3,00 и вычтем из 3,27, получив 0,27 да еще прибавить 0,02, окончательный ответ: 0,29.

Могут быть и более сложные случаи.

1,25 – 0,75.

Из 25 сотых нельзя вычесть 75. Но 1,25 есть 125 сотых и из них легко вычесть 75 сотых путем дополнения вычитаемого до величины уменьшаемого. Получим 50 сотых, или 0,50.

0,3 – 0,03.

И здесь можно легко произвести вычитание устно, приведя в уме дроби к одному знаменателю.

Из 30 сотых вычитаем 3 сотых, получим 0,27.

7,31 – 4,005.

Из 7 целых вычитаем 4 целых, получаем в остатке 3 целых; из 310 тысячных вычитаем 5 тысячных, получаем 305 тысячных, а всего 3,305.

ИНДУССКИЙ СПОСОБ УМНОЖЕНИЯ ЧИСЕЛ

Полезно учащимся познакомиться еще с некоторыми приемами полуписьменного ведения вычислений. Возьму два двузначных числа, у которых число десятков одинаково, а сумма единиц обоих сомножителей равна 10. например, числа 72 и 78. В общем виде эти числа можно записать так: 10a + b и 10a + c, где b + c = 10.

Перемножим эти числа в общем виде:

18

(10a + b)(10a + c) = 100a2 + 10a · b + 10a · c + bc = 100a2 + 10a (b + c) + bc = 100a2 + 10a · 10 + bc = 100a (a + 1) + bc.

Отсюда ясно виден прием умножения таких двузначных чисел: надо умножить число десятков сомножителя на число, большое на единицу, это будут сотни ответа, и приписать произведение, полученное от умножения единиц обоих сомножителей: · 8) + 2 · 8 = 5616.

Примеры:

94 х 96 = 9024;

5,2 х 5,8 = 30,16;

24 х -,26 = 6,24;

117 х 113 = · 12) + 21 = 13221,

491 х 499 = · 50) +

155 х 155 = · 16) + 25 = 24025,

805 х 805 = · 81) + 648025.

Как заметно, что этот приме умножения применим и при умножении трехзначных чисел и дробей, следует лишь сообразить, где должна стоять запятая в произведение.

Во втором примере я имею десятые доли в каждом из сомножителей, следовательно, результат будет иметь сотые доли.

Можно, наконец, применить этот приме при умножении смешанных чисел, дробная часть которых записана в виде обыкновенной дроби:

6 х 6 = 42.

Можно даже самому легко доказать правильность равенства:

(a + )(a + ) = a(a + 1) + , если + = 1.

Конечно, неудобство этого приема умножения заключается в необходимости иметь в своем распоряжении не любые двузначные числа, а особенные: десятки обоих чисел должны быть одинаковыми, а единицы одного сомножителя должны является дополнением до 10 к единицам другого сомножителя. Это сильно ограничивает возможность применения этого приема умножения двузначных чисел.

Можно, конечно, найти выход из положения, применяя, допустим, такой прием:

53 х 58 = 53 х 57 + = 3021 + 53 = 3074.

Однако существует, примем полуписьменного умножения двузначных чисел, с так называемый индусский способ (способ «молния»).

Пусть требуется умножить 37 на 48.

От умножения единиц сомножителей я получила 56, причем 6 – это единицы произведения, а 5 десятков надо прибавить к десяткам произведения, которые получается: 3 х 8 + 4 = 7 = 52 (десятка), да еще 5 десятков, будет 57 десятков, 7 десятков я пишу в произведение, а 5 сотен должна буду прибавить к сотням, полученным от умножения 3 х 4. Итак, в произведении 6 единиц, 7 десятков и 17 сотен, т. е. 1776.

19

Вычисление располагается так:

Сначала выполняется умножение в правом столбике ↨87, будет 56, 6 пишем, а 5 десятков запоминаем.

3 7

| |

| Х |

4  8

_______

1  7 7 6

Затем производим умножение по диагоналям. Х

3х8 = 24, да 4 х 7 = 28, всего 52, да еще 5 десятков в уме, получаем 57 десятков пишем, а 5 сотен держим в уме, наконец умножаем в левом столбике 3 на 4, получаем 12 сотен, да 5 сотен в уме итого 17 сотен. Ответ 1776.

Этот общий примем полуписьменного умножения двухзначных чисел очень эффективен, и может быть вам рекомендован для практического использования. Можно этот приме распространить и на умножение трехзначных чисел, но практически такое умножение принесет мало пользы.

ИНТЕРЕСНЫЕ ЧИСЛА.

В самом начале я указывала, что помимо общих правил устного счета, имеют специальные приемы устного счета, пригодные только для определенных чисел. Среди этих специальных приемов имеются такие, изучение которых настолько сложно, а употребление настолько редко, что нет смысла запомнить эти приемы. Однако познакомиться с некоторыми из них будет интересно. На странице 10 я познакомила Вас с число 999, умножение на которое можно произвести в уме; конечно, советую пользоваться общим приемом умножения числа на х 999 = 57 000 – 57).

Познакомимся еще с рядом таких чисел.

А) Умножение трехзначного числа на 1001:

749 х 1001 = 749 х (1000 + 1) = 749 000 + 749 = 749 749.

Таким образом, чтобы умножить любое трехзначное число на 1001, достаточно написать это трехзначное число дважды подряд.

20

Так, 578 х 1001 = 578 578;

901 х 1001 = 901 901.

Б) Умножение двузначного числа на 10101:

87 х 10101 = 87 · (10000 + 100 + 1) = 870000 + 8700 + 87 = 878 787.

Чтобы умножить любое двузначное число на 10101, надо написать это число три раза подряд.

Так: 62 х 10101 =

32 х 10101 = 323232.

В) Квадрат числа 11 равен 121, квадрат числа 111 равен 12321; 11112 = 1234321. подметим закон составления квадратов чисел вида 11, 111, 1111 и т. п. Такой порядок написания квадратов чисел, составленных при помощи одних единиц, вытекает из написания промежуточных сомножителей (отступая влево на один знак) при умножении числа само на себя.

Г)

1 х 9 + 2 = 11

12 х 9 + 3 = 111

123 х 9 + 4 = 1111

1234 х 9 + 5 = 11111

12345 х 9 + 6 = 111111

123456 х 9 + 7 = 1111111

1 234 567 х 9 + 8 =

12 345 678 х 9 + 9 =

Правильность этих равенств можно проверить непосредственно умножением.

Д) Укажите правило составления следующих произведений:

1 х 8 + 1

12 х 8 + 2

123 х 8 + 3

1234 х 4 + 4

12 345 х 8 + 5

123 456 х 8 + 6

1 234 567 х 8 + 7

12 345 678 х 8 + 8

123 456 789 х 8 + 9

УСТНЫЙ СЧЕТ ПРИ РЕШЕНИИ ПРИМЕРОВ И ЗАДАЧ

ПО АЛГЕБРЕ.

Я старалась, возможно, подробнее показать, что в любом разделе арифметики можно и должны пользоваться широко устным счетом.

21

Перейду к алгебре, где так же можно пользоваться приемами устного счета для выполнения упражнений. Свою мысль я поясню на ряде примеров, заимствованных из самых разнообразных отделов программы алгебры.

1) Вычисление числового значения алгебраического выражения.

А) (yz + y2 + ) при x = 2,5;

Y = 0,4;

Z = 0,2.

Можно сделать подстановку числовых значений отдельных буквенных сомножителей сразу, не производя никаких действий или преобразований.

(0,4 · 0,2 + 0,42 + ) = 5(0,08 + 0,16 + 12,5) = 5 · 12,74 = 6,37 · 10 = 63,7.

Как видно, все вычисления произведены в уме с записью лишь данных чисел и получаемых результатов. В 4 десятых две десятые содержат 2 раза, 2,5, умноженное на 2 дало в результате 5.

Умножение 4 десятых на 2 десятых дало 8 сотых; 4 десятых, умноженные на себя, дали 16 сотых; вместо деления 2,5 на 0,2 выполнено умножение на 5. 2, умноженное на 5, дает 10, да еще 5 раз взята половина. Итого 12,5. Сложение внутри скобок легко выполнимо в уме. Умножение 12,74 на 5 произведено уже известным способом.

Б) (a2 – b2 – c2 + 2ab) : при a = 8,6;

b =

c = 3

Здесь до подстановки в алгебраическое выражение числовых значений отдельных значений букв полезно предварительно произвести упрощение данного алгебраического выражения:

[a2 – (b – c)2] : = (a – b + c) (a + b – c) : = = (a + b + c) (a – b + c).

Умножать полученные трехчлены по правилу умножения многочленов явно нецелесообразно, так как я получила в произведении девятичлен, очень сложный для подстановки в него числовых значений букв и для арифметического подсчета. Можно умножить данные трехчлены, представив их как сумму и разность двух количеств: [(a + c) + b] [(a + c) - b]. Но и это нецелесообразно, так как в итоге получим четырехчлен.

Лучше подставить в трехчлен числовые значения:

22

(8,6 + 3 + ) (8,6 + 3 - ).

Сложив устно дроби 8,6 и 3

(8 + 3 = 11 = 11),

Получив в скобках сумму и разность двух количеств, которую можно представить на основании известной алгебраической формулы, на основании известной алгебраической формулы в виде разности квадратов этих чисел:

(11 + ) (11 - ) = (11)2 – 3 = 142 - 3 = 139.

Умножение 11 само на себя можно произвести так же устно по формуле квадрата суммы двух чисел с записью чисел:

(11 + )2 = 121 + + = 121 +20= 141 = 142.

Умножение 11 само на себя произвели по известному нам правилу умножения на 11. Умножение 11 · 14 · 2 ·2 = 196. Умножение 15 на 15 произвела так: 15 · (10 + 5) = 150 +75 = 225. Сложение 120 + 196 произведено по разрядам.

Исключение целого из не составляет труда. Вычитание 225 из 316 произведено дополнением вычитаемого до величины уменьшаемого.

Весьма сложные вычисления можно было полностью произвести в уме с записью лишь чисел и промежуточных результатов.

2) Преобразование и действия над одночленами и многочленами.

.

Ясно, что действия сложения или вычитания коэффициентов можно выполнить устно.

Б) (-0,3ab) + (-0,2a2) + (+1,4b) + (-5a2) + (-2,3ab) + (-b) = -0,3ab – 0,2a2 + 1,4b – 5a2 – 2,3ab – b = - 2,6ab – 5,2a2 + 0,4b.

И здесь сложение, и вычитание десятичных дробей надо произвести в уме.

В) Проверить справедливость равенств:

abc = (ab) c = a (bc) – сочетальный закон

при a = 0, 5; b = 2; c = - 6.

(0,5 · 2) · (-6) = 0,5 · [2 · (-6)]; 1 · (-6) = 0,5 · (-12);

-6 = -6.

Г) Вычислить наиболее простым способом:

4 · 2 · (-28) · 125 = 125 ·8 (-28) = 1000 · (-28) = -28000.

Применяем переместительный и сочетательный законы умножения.

Я переставила сомножина первое место, заменила сомножиих произведением. Я знаю, что 125, взятое 8 раз, составляет 1000.

23

Можно было бы, конечно, умножить, комбинируя числа иным способом:

125 х 2 х 4 = 250 х 2 х 2 = 500 х 2 = 1000, или:

125 х 4 х 2 = 500 х 2 = 1000.

Д) Умножить многочлен на многочлен:

(1 – 0,3p + 0,02p2) · (1 – 0,4p) = 1 – 0,3p + 0,02p3 – 0,4p + 0,12p2 – 0,008p4 = 1 – 0,7p + 0,12p2 + 0,02p3 – 0,008p4.

Несмотря на то, что коэффициентами одночленов являются десятичные дроби, все действия над ними надо выполнить устно.

Е) Разделить многочлен на одночлен:

(: 5 a2 + 2a2x – 1,5х2.

Все три деления дроби на дробь (в коэффициентах)выполняю путем умножения делимого на дробь, обратную делителю. В уме производим сокращение дробей, а в ответах простые дроби обращаем в десятичные.

3)Сокращенное умножение и деление по формулам.

А) (.

Б) 199 · 201 = (200 – 1) · (200 + 1) = 2002 – 12 = 40 000 – 1 = 39 999.

В) 3282 – 1722 = (328 + 172) · (328 – 172) = 500 · 156 = 78 000.

Сложение 328 и 172 легко произвести так: 300 + 100 + (28 + 72) = 500.

Умножение 156 на 500 производим по известному нам приему умножения на 5:

156 х 500 = · 1000 = 78 000.

Деление 156 на 2 легко произвести так:

(140 + 16) : 2 = 70 + 8 = 78.

Г) (1.

В денном примере я предпочла произвести операции с обыкновенными дробями, а затем, ответ дать в десятичных дробях.

Д) (0,2y2 – 0,3y3) = 0,008y6 – 3 · 0,04y4 · 0,3y3 + 3 · 0,2y2 · 0,09y6 – 0,027y9 = 0,008y6 – 0,036y7 + 0,054y8 – 0,027y9.

Второй и третий члены вычислены не сразу, при первом написании лишь изображены сомножители, из которых эти члены должны составляться, да высчитан квадрат первого и квадрат второго члена. Такая запись сделала возможным устные вычисления всего примера.

Е) (.

4) Алгебраические дроби.

А) Сократить дроби: .

24

Все операции выполнены в уме с записью результатов.

Б) Упростить дробь и найти числовое значение выражения:

при a = -8; b =

.

Как видно, и здесь все выполнено в уме известными приемами устного счета.

В) Выполнить указанные действия:

[] : : =

Далее, следует сократить оба члена делимого (следовательно, сократить все делимое) и делитель на (p – q), = : =, а затем умножить на q (что равносильно делению на ).

= .

Умножение (p + q) на (p + q) , или возведение (p + q) в квадрат, проделано в уме, вычитание неполного квадрата суммы из полного квадрата суммы также легко провести в уме, даже не выписывая полностью уменьшаемое и вычитаемое, как это сделала я.

5) Уравнения.

А) .

.

Я думаю, что дальше все можно подсчитать в уме: да , это будет + y. Перенесу все члены с игреком направо. Там будет + 10y и - 2y, или 8у. Все свободные члены перенесем влево, будем иметь (считать в уме)

+15 +2 – 1 = 16.

Читаю равенство справа налево (а не слева направо):

8у = 16,

У = 2.

Б) .

Привожу все члены уравнения к общему знаменателю, а затем умножаем все эти члены на общий знаменатель. Получаю:

a3bx – a2b + b3 = a3 – ab +ab3x;

ab(a2 – b2)x = (a3 – b3) + ab (a – b).

25

В уме произведена группировка членов и вынесение общих множителей за скобку. Сокращу все члены уравнения на (a – b):

Ab(a +b)x = a2 + ab + b2 +ab.

Так как в правой части уравнения я имею развернутый квадрат суммы, то все члены уравнения можно сократить на (a + b), этот сомножитель имеется в левой части при иксе.

abx = a +b

x =

Я умножила все члены уравнения на выражение, содержащие неизвестное, поэтому, как известно, надо проверить пригодность полученного корня:

. Подстановка найденного корня в первоначальное (исходное) уравнение привела к тождеству, следовательно, x = есть корень данного уравнения. Замечу попутно, что, применяя производные пропорции при решении некоторых уравнений, можно значительно упростить их решение. Пример:

.

26

КОГДА ПРЕОБРАЗОВАНИЯ НЕ УСТУПАЮТ ВЫЧИСЛЕНИЯМ НА МК

Современного школьника не надо убеждать в способности микрокалькуляторов (МК) облегчить и ускорять процесс вычислений. Думаю, что настала пора показывать учащемся такие случаи, когда человек, вооруженный только умением выполнять тождественные преобразования, может оспорить с МК в скорости вычисления значений некоторых числовых выражений. В школьной математике традиционны упражнения на нахождение числовых выражений с предварительным их упрощением. Укажем типичные из таких упражнений в учебниках для V – VIII классов:

1) 31 · 82 + 125 · 48 + 31 · 43 – 125 · 67; 2)

3) 4) 5)

6) 7)

До недавнего времени такие упражнения в том, что без выполнения нужных преобразований достижение цели затруднено. Но с внедрением МК эта дидактическая нагрузка утрачена многими вычислительными упражнениями. Оказалось, что время, необходимое для непосредственных вычислений на МК, не превышает времени, требуемого для выполнения преобразований. Далеко не всех учеников привлекают приемы тождественных преобразований, а учитывая отсутствие разницы во времени исполнения, многие из них по чисто вычислительному пути. Кроме того, в некоторых вычислительных упражнениях подготовительные преобразования требуют довольно высокой степени искусственности, которую ранее ученики воспринимали как необходимую, но теперь для такого восприятия часто нет оснований.

Приведу пример. Известный прием для нахождения значения выражения сводиться к решению уравнения = a. Возводя в куб обе его части и выполнив очевидные упрощения, имеем () = a3 – 14, или -3a = a3 – 14, т. е. a3 + 3a – 14. Легко установить, что последнее уравнение имеет единственный корень a = 2. Значит, = 2.

Вопрос о рациональности пути решения вычислительного упражнения достаточно ясен: рационален тот путь, следуя которому ученик затрачивает для достижения цели минимальное время. Путь упрощающих преобразований, ранее бывшим для многих упражнений рациональным, при наличии МК может стать нерациональным.

Возможности курса алгебры позволяют предложить ученикам задания, поддерживающие навыки преобразований. Так, в теме «Квадратные уравнения» уместно применять преобразования подкоренных выражений при вычислении Приведем примеры:

27

1) 8х2 + 49х – 49 = 0; = = = = 63;

2) 5х2 – 101х + 20 = 0; = = = = 99;

3) 81х2 – 81х + 14 = 0; = = = = 45.

Решая приведенные уравнения, учащиеся, осознают нерациональность применения в данной ситуации МК. Безусловно, они должны быть подготовлены к возможности нахождения дискриминантов без МК. Такая подготовка достигается после сравнительно небольшой тренировки, которая может проходить, например, в виде состязания: устный счет против МК. Для состязания подбираются такие упражнения, в которых ученик, вычисляющий устно, не проигрывает тому, кто пользуется МК.

Надо заметить, что умение преобразовать подкоренные выражения пригодится ученику при решении многих задач. Рассмотрим типичную задачу, которая сводится к системе

Подстановка у = 360/х в первое уравнение приводит к биквадратному уравнению. После замены х2 = t получаем tt + 3602 = 0.

Ученики испытывают затруднения в решении этого квадратного уравнения: из-за больших коэффициентов трудно найти . Но не всякий МК помогает в этом случае. Так, МК – 35 не дает точного значения выражения . Уже при возведении в квадрат числа 1681 он дает ответ 2 825 760, ошибаясь на 1. В то же время легко достигают цели следующие преобразования:

= =

ОРГАНИЗАЦИЯ И МЕТОДИКА

ПРОВЕДЕНИЯ УСТНЫХ ВЫЧИСЛЕНИЙ

Остановимся на общих вопросах подготовки к проведению устных вычислений.

Перед составлением плана занятий устными вычислениями надо прежде выяснить, насколько учащиеся овладели устным счетом в объеме программы предыдущих лет обучения.

Готовясь к уроку нужно наметить установку устных вычислений и соответственно этому подобрать упражнения, соблюдая строгую последовательность в подборе материала. Например, если устные вычисления являются подготовкой к изучению новой темы «Переместительность и сочетательность произведения», подбираю упражнения на эти свойства для классных занятий.

Если же устные вычисления служат для повторения материала, который в сою очередь является подготовкой к теме урока, то ученикам необходимо дать соответствующее домашнее задание.

28

Если с помощью устных вычислений предполагается закрепить следствия из законов сложения или сведения об изменении частного при изменении данных, даю задание ученикам повторить этот материал.

Таким образом, и ученик должен готовиться к занятиям устными вычислениями.

Если устные вычисления имеют целью проверку или выработку навыков быстрого (беглого) счета, то соответствующие упражнения на основные и особые приемы устных вычислений даются в классе без предварительного повторения учащимися. Для устных вычислений полезно отводить на уроке 5-7 мин. ежедневно. В большинстве случаев продолжительность устных вычислений определений сам учитель, так как время, отводимое на устный счет, зависит от многих причин: активности и подготовки учащихся, характера материала и т. п.

Предпрофильное и профильное обучение в школе предполагает всестороннее развитие ученика на каждом уроке, взаимоинтеграцию различных предметов. Эффективность умственного развития, осуществляемого в процессе овладения новыми знаниями, навыками и умениями зависит от умения учителя связать познавательный опыт учащегося, полученный на других предметах с темой урока, включить ученика в самостоятельный поиск информации. Это помогает ребёнку осмысленно видеть окружающий мир, более успешно в нём ориентироваться.

Для активизации участия учащихся в организации устного счёта я использую ролевой метод. Попытка представить себя в роли другого человека заставляет ученика взглянуть на себя со стороны, стать активным помощником учителя в организации учебной деятельности.

Я предлагаю учащимся устный счёт в виде «Математического паноптикума». Вначале подбираю задание сама, затем ученики составляют упражнения сами на заданную тему, кодируют ответы в слово, которое несёт в себе интересную информацию не только о математике, но и о природе, окружающем нас мире животных и растений, о знаменательных событиях, учёных.

Такая работа развивает сообразительность и смекалку, несёт радость и удовлетворение от познания нового. Причём я даю возможность детям самим проводить устный счёт на уроке, интересную информацию используем во внеклассной работе.

Свои творческие работы ученики собирают в специальные папки - портфолио ученика. Создание портфолио, элективные курсы формируют у учащихся сознательный выбор профиля в дальнейшем обучении.

Урок:

«Хочу всё знать»

Тема: действия с десятичными дробями.

Прочитайте, какие виды медведей обитают в нашей стране.

+ 3==8+ =1

4+ =4= +2.4=7.6

1- =0==3.5

-3=+ =9 -0.6=3

+1.4=5 0.3+ =3

1.3+ =4 4.7- =2

0.8	0.88	2.7	0.9	3.6	3.7	5.2	0.05	9	0.94
б	л	й	н	ы	к	у	е	р	ч

На большей части нашей страны обитают бурые медведи. По своим повадкам бурый медведь – животное спокойное, нет в нём ни злобы, ни хитрости, он простоват и боязлив. Вот почему сказочники выбирают медведей для своих сказок. Узнайте название одной такой сказки.

- Возле леса на опушке

- Трое их живёт в избушке.

- Там три стула, и три кружки

- Три кровати, три подушки.

- Угадайте без подсказки,

- Как название этой сказки.

Х	5	6	7	9
14
15
16

Х	5	6	7	9
14	Д	Е	Р	Д
15	И	Е	М	Я
16	В	Т	Д	Д

Медведь – крупный зверь, питается он как растительной пищей, так и животной. Знаете ли вы, как называются такие животные?

1	Е
0.36	Я
0.8	Д
0.0117	Ы
117	Н
0.6	С
7	В

1.4*5=

0.5*1.2=

0.25*4=

0.3*1.2=

0.05*16=

1.17*100=

1.17*0.01=

1.25*0.8=

Зимой медведи спят в земляной берлоге, к спячке они готовятся, накапливают подкожный жир. Если медведю не удалось уснуть или его разбудили, то он превращается в опасного зверя. Такие медведи имеют особое название. Какое?

22	34	3	107	2
Т	А	У	Ш	Н

Решите примеры:

3.785+97.03+0.429+5.31=

31.405+2.097=

18.509+3.912=

2.45+0.312=

0.6335+0.246+0.7084=

Округлите ответы с точностью до целых, их замените буквами, и вы прочтёте название медведя.

Медведь – шатун – зверь – смертник, он никогда не доживает до весны, поэтому шатуна можно встретить только поздней осенью или ранней зимой.

Голод заставляет их бросаться на любую добычу и даже на людей. Медведи – шатуны могут подойти к костру, зайти в деревню и даже в город. Это очень опасный зверь.

Летом медведи сыты, встречи с человеком избегают. В лесу надо быть очень осторожным и не показываться зверям на глаза. Если же встреча с медведем неизбежна, то лучше дать знать о себе зверю заранее, а не в последний момент. Отпугивает медведя громкий крик.

Маленькие медвежата под руководством матери проходят целую школу. Она показывает им, какие корешки съедобные и как их выкапывать, где искать различные ягоды, как добывать из полусгнившего пня личинки и «яйца» из муравейника, как поймать рыбу, и учит многим охотничьим премудростям. В «школе» медвежата постигают, что надо избегать змей и колючих ежей, избегать человека, не связываться с волками и собаками.

Узнайте массу (в килограммах) взрослого медведя и массу (в граммах) новорожденного малыша.

Бурый медведь – самый крупный из лесных хищников. У него мощное тело, сильные лапы, короткий хвост. Медведя часто называют хозяином леса. Хотя медведи бывают неповоротливыми, их так часто называют люди, на самом деле они очень быстро бегают.

Узнайте, с какой скоростью бегает бурый медведь, и сравните со скоростью бегущего человека. Узнать скорость (в км/час) поможет вам удивительный квадрат.

15	15.6	7.4	16.6
14.4	15	6.8	16
7.6	8.2	0	9.2
18.4	19	10.8	20

Напишите:

1.  Наибольшее число из 1-го столбца.

2.  Наименьшее число из 2-го столбца.

3.  Наименьшее число из двух больших чисел 3-го столбца.

4.  Наибольшее число из двух меньших чисел 4-го столбца.

Сумма выбранных чисел и укажет вам скорость, с которой может бегать медведь (в км/час).

ПОЧЕМУ МЫ ТАК ГОВОРИМ

Известное выражение зашифровано примерами. Решите примеры, замените ответы буквами.

Прочитайте!

84 : 2- 30
60 : 2 – 28
93 : 3 + 40
40 : 2 + 3
60 + 6 · 6
3 · 16
4 · 17
6 · 13 -7
7 ·

Н А К В О И А

296

Объясните, в каких случаях употребляется выражение «Аника-воин».

Про Анику народом создана сказка. Убив в единоборстве своего противника, Аника начал хвастать, что он сильнее всех, что даже смерть перед ним бессильна. Услышала смерть речи хвастуна и внезапно предстала перед ним. Испугался Аника и стал вымаливать у костлявой смерти прощения за свою дерзость, Теперь кличка «Аника - воин» прилагается ко всякому задире и хвастуну, боевому лишь на словах.

Фразеологический оборот зашифрован уравнениями. Решите уравнения. Значения неизвестного замените буквами.

Прочитайте!

76 : х = 4
х : 42 = 2
х ··8 =96
4 · х =48
45 : х = 9
х : 8 = 3
х: 7 = 12
х · 9 = 9
18 – х = 9
6 – х = 6
х :12 = 7
42 : х 7
15 : х= 15
14 – х = 4
х: 9 = 9
19 · х= 0
х: 2 = 42

9	84	1	10	81	12	19	5	6	0	24
о	а	л	я	т	н	г	и	к	в	б

Ганнибал - полководец и правитель Карфагена, Когда Ганнибалу было 10 лет, он поклялся отцу в непримиримой вражде к Риму, превратившему Карфаген в свою колонию. Этой клятве он был верен всю жизнь.

Выражение «Ганнибалова клятва» обозначает решимость бороться до конца за свободу народа.

2006г.