Общие свойства монохроматических оптических пучков

Г. И. КОЗИН

Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ»

ОБЩИЕ СВОЙСТВА МОНОХРОМАТИЧЕСКИХ ОПТИЧЕСКИХ ПУЧКОВ

С использованием представления об угловых спектрах в разложении по плоским волнам получены все основные параметры монохроматических оптических пучков в общем виде, известные ранее по гауссовым пучкам. Введено понятие о масштабном угле пучка. Выявлена интерференционная сущность фазового набега в пучках, дополнительного к геометрическому набегу фазы.

Представления о свойствах излучаемых лазерами оптических пучках являются важной частью лазерной физики. Однако на сегодняшний день они сводятся к представлениям о гауссовых пучках. При анализе динамики генерации лазеров используется даже представление о плоских волнах. Во многих случаях они оправданы, но строго говоря справедливы только для неограниченного пространства. Реальное распределение поля в пучке всегда ограничено, в первую очередь, поперечными размерами активной среды излучающего лазера, а затем различными элементами на пути пучка. Тем не менее, по умолчанию считается, что излучение лазера обладает параметрами гауссовых пучков: перетяжкой с ее радиусом, границей между ближней и дальней зоной, расходимостью в дальней зоне. Эти по сути интуитивные представления хорошо бы подкрепить хотя бы качественным анализом
свойств световых пучков в общем случае. Этому и посвящена предлагаемая работа.

Для анализа основных свойств пучков целесообразно ограничить задачу условиями, характерными для излучения лазеров: высокой монохроматичностью и направленностью. Обычно среда распространения не содержит свободных электрических зарядов. Тогда для монохроматических электромагнитных волн самодостаточны два основных уравнения Максвелла. Два других выполняются автоматически. В оптическом диапазоне частот можно не учитывать магнитные свойства среды [1]. В этих условиях обычно исключают из рассмотрения магнитное поле, и для электрического получают волновое уравнение [2]:

. (1)

Неоднородность или неизотропность среды, как известно, приводят к оптическим явлениям, изменяющим параметры световых пучков и направления их распространения. Ясно, что они должны рассматриваться самостоятельно и не имеют прямого отношения к изначальным параметрам излучаемых пучков. То же относится и к поглощению или усилению света. Поэтому можно считать диэлектрическую проницаемость среды e скалярной вещественной величиной, определяющей показатель преломления и не зависящей от координат .

Любое решение однородного уравнения (1) может быть представлено суперпозицией его фундаментальных решений. Например, использование сферических волн в интеграле Кирхгофа–Френеля лежит в основе теории дифракции. На использовании плоских волн основана фурье-оптика. Поэтому каждую поперечную компоненту поля светового пучка с частотой w можно представить интегралом по телесным углам в пространстве волновых векторов с радиусом :

. (2)

Функция F при нормировке описывает безразмерное распределение комплексных амплитуд плоских волн, образующих пучок по радиальным q и азимутальным j углам относительно оси его распространения z, т. е. представляет собой двумерный угловой спектр пучка. Величина A – комплексная амплитуда поля в начале координат: . Для определенности будем рассматривать аксиально-симметричные пучки. Для них F – четная функция q и периодическая функция j с периодом , где n – целое число. Ее можно разложить в ряд Фурье и рассматривать функции вида: . В цилиндрических координатах , интегрируя (2) по j, получим:

, (3)

где – функция Бесселя порядка n.

Для примера рассмотрим пучки в цилиндрическом волноводе радиусом а с идеально отражающими стенками. Граничные условия на них приводят к необходимости образования стоячей волны в поперечном сечении и определяют для каждого n возможные дискретные значения kn = k sin θn радиальных составляющих . Распределение по q представляется d-функцией: . Для E-волн определяющим является условие равенства нулю z-компоненты электрического поля на стенках волновода. Из (3) нетрудно получить известное выражение для бесселевых пучков: Ez ~ (i)n exp (inψ) Jn (knρ) exp (iβn z) с константами распространения βn= k cos θn= = (k2 – kn2)1/2. Значения kn определяются корнями уравнения Jn(kn а)=0.

В свободном пространстве плоские волны могут распространяться в любом направлении. При преимущественном распространении энергии пучка вдоль z функция f имеет максимум при θ=0. При узкой направленности пучка ее можно характеризовать полушириной , имеющей смысл масштабного угла распределения плоских волн. В (4) можно принять: , , а верхний предел рассматривать как бесконечный.

Для анализа общих свойств пучков в свободном пространстве достаточно рассмотреть пучок основной моды: n = 0, у которого f имеет единственный максимум в направлении преимущественного распространения энергии: θ = 0. При узкой направленности пучка функцию f можно характеризовать полушириной углового спектра , имеющей смысл масштабного угла распределения плоских волн. В (3) можно принять: , , верхний предел рассматривать как бесконечный, и получить:

, . (4)

В частности, для гауссова углового распределения из (4) следует известное выражение для гауссова пучка [3] с перетяжкой при z = 0 c радиусом где – длина волны света.

В общем случае f – комплексная величина. Однако, приняв ее вещественной из (4) можно видеть, что при продольной координате z = 0 величина вещественна при любой радиальной координате ρ. Это означает, что волновой фронт пучка здесь плоский. Отнеся знак к величине A, можно считать . Нетрудно также убедиться, что при вещественной f величина u при , рассматриваемая как функция комплексного переменного z, относится к тому же классу, что и диэлектрическая восприимчивость среды как функция комплексной частоты [1]. Отличие только в том, что u(z) аналитична не в верхней, а в нижней комплексной полуплоскости. Следовательно, для ее действительной и мнимой частей справедливы, например, соотношения Крамерса–Кронига с изменением знака. Функция – четная, положительная с максимумом при z = 0, а – нечетная с нулем при z = 0, отрицательная при . Простой анализ функции , проведенный в окрестности z = 0, с учетом указанных свойств и показывает, что амплитуда колебаний на оси пучка квадратично падает с ростом . Это означает, что пучок одинаково слабо расходится в обоих направлениях. Таким образом, выбор вещественной f является выбором центра координат в перетяжке пучка. Из (4) видно, что амплитуда в перетяжке существенно уменьшается, если ρ достигает такой величины w0, что на интервале от нуля до укладывается первая полуволна : . Соответственно, радиусом перетяжки можно считать величину . Отсюда видно, что в ближней от перетяжки зоне пучка масштабный угол играет роль угла дифракции на перетяжке: .

В дальней зоне при и , но из-за своих четностей , . Набегающая при этом фаза колебаний , дополнительная к геометрической , может рассматриваться как результат интерференции образующих пучок плоских волн. Она аналогична дополнительной фазе, появляющейся после прохождения пучком многолучевого интерферометра. Так как в дальней зоне доминирующей оказывается , а ее в (4) определяет , то радиус w пучка в дальней зоне можно оценить из условия, чтобы при осцилляции по функций и на интервале от нуля до оказались качественно квадратурными друг другу (аналогично и , в произведении которых частота осцилляций удваивается). Отсюда и можно считать, что . Пучок приобретает характер ограниченной сферической волны. Здесь масштабный угол играет роль угла расходимости пучка.

Границу z = p между дальней и ближней зоной можно определить из условия равенства и при ρ = 0. Для ступенчатой функции , равной постоянной величине на интервале от нуля до и равной нулю при , из (4) нетрудно получить . Ясно, что для гладкой функции эта величина будет несколько больше. Поэтому в общем случае можно приближенно считать . Нетрудно убедиться, что для гауссовой функции это равенство является точным. Отсюда получаем: , или через радиус перетяжки ­– величину, известную еще и как волновой параметр пучка.

В результате с использованием представления об угловых спектрах получены все основные параметры монохроматических оптических пучков в общем виде, известные ранее по гауссовым пучкам. Введено понятие о масштабном угле пучка, определяющем все его параметры и проявляющемся в виде угла дифракции на перетяжке и угла расходимости в дальней зоне пучка. Выявлена интерференционная сущность фазового набега в пучках, дополнительного к геометрическому набегу фазы.

Указанное представление может быть полезно и при решении других задач, например при рассмотрении распространения света волноводах. В цилиндрическом волноводе с идеально отражающими стенками граничные условия на них [1] приводят к образованию стоячих волн в поперечном сечении и определяют возможные дискретные собственные значения радиальных составляющих волнового вектора и соответствующие углы . Распределения по q представляются d-функциями: . Применив их в (3) нетрудно получить известное выражение для бесселевых пучков волн [1].

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. , М. Электродинамика сплошных сред. М.: Наука, 1992.

2. Борн. М., Основы оптики. М.: Наука, 1973.

3. Н. Гауссовы пучки и оптические резонаторы. // Труды ФИАН СССР. 1988. Т. 187. С. 3.