Федеральное агентство по образованию

ГОУ ВПО

«Уральский государственный горный университет»

УТВЕРЖДАЮ Председатель Методической комиссии

Института геологии и геофизики

__________________

«_____» _______________ 2008 г.

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ

ОПД. Ф.06 – Теория функций комплексного переменного

Закреплена за кафедрой: математики.

Учебный план специальности подготовки дипломированных специалистов 230401(073000) – «Прикладная математика (ПМ)».

Часов по РУП: общая - 108 ч., обязат. , ауд. зан. -72 ч., самостоятельная работа студентов – 36 ч.

Виды контроля в семестрах: экзамен в 4 семестре.

Программу составила:

, доцент кафедры математики.

Рабочая программа дисциплины ОПД. Ф.06 – «Теория функций комплексного переменного» составлена на основании:

а) государственного образовательного стандарта ВПО направления подготовки дипломированных специалистов 230– «Прикладная математика» (рег. номер 322 тех/ дс от 01.01.2001) ;

б) учебного плана специальности 230401(073000) – «Прикладная математика (ПМ)» (утв. 20.10.2000 г.).

Рабочая программа одобрена на заседании кафедры математики.

Протокол № 21 от 01.01.01 г.

Зав. кафедрой МТ ______________ проф.

1.  ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ ДИСЦИПЛИНЫ

Теория аналитических функций комплексного переменного доставляет инженерам и исследователям много полезных математических моделей. Многие математические теоремы упрощаются, если рассматривать действительные переменные как частный случай комплексных переменных. Комплексные переменные употребляют для описания двумерных векторов в физике; аналитические функции комплексного переменного описывают двумерные скалярные и векторные поля.

ТРЕБОВАНИЯ К УРОВНЮ ОСВОЕНИЯ СОДЕРЖАНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ

В результате изучения дисциплины студент должен иметь представление:

- о комплексных числах в алгебраической, тригонометрической, показательной формах;

- о функции комплексного переменного и её связи с действительными функциями;

- о геометрическом смысле функций комплексного переменного;

- о преобразовании кривых при помощи ФКП;

- об элементарных функциях комплексного переменного;

- о пределе и непрерывности ФКП;

- о производной ФКП и условиях дифференцируемости ФКП;

- о геометрическом смысле производной ФКП;

- о конформных отображениях;

- об интегрировании ФКП;

- о числовых и степенных рядах в комплексной плоскости;

- о рядах Лорана и особых точках;

- о вычетах ФКП;

- о нахождении интегралов с помощью вычетов;

-о преобразовании Лапласа;

- об оригиналах и изображениях комплексной функции;

- о свойствах преобразования Лапласа;

- о дифференцировании оригинала и изображения;

- об интегрировании оригинала и изображения;

- о теореме запаздывания и функции запаздывания;

- об изображении функций, заданных графиком;

- о методах отыскания оригинала по известному изображению;

- о решении задачи Коши для обыкновенных линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами операционным способом;

- о решении систем линейных дифференциальных уравнений операционным методом;

- о решении интегральных и интегро-дифференциальных уравнений операционным методом.

Студент должен знать и уметь:

- знать понятие функции комплексного переменного и её связь с действительными функциями, обратные тригонометрические функции;;

- знать элементарные функции комплексного переменного: степенную функцию, дробно-рациональную функцию, тригонометрические, гиперболические, логарифмические функции;

- знать условия Коши-Римана дифференцирования функции комплексного переменного;

- знать геометрический смысл производной функции комплексного переменного;

- уметь интегрировать функции комплексного переменного;

- знать числовые, степенные ряды ФКП;

- знать о разложении элементарных функций комплексного переменного в степенные ряды;

- знать ряды Лорана и о разложении функций комплексного переменного в ряд Лорана;

- знать теоремы о вычетах и использование вычетов при вычислении интегралов;

- знать о преобразовании Лапласа, понятие оригинала и изображения;

- знать основные теоремы операционного исчисления;

- уметь находить оригиналы и изображения с помощью таблиц оригиналов и изображений;

- уметь решать дифференциальные уравнения и системы дифференциальных уравнений операционными методами;

- уметь решать интегральные и интегро-дифференциальные уравнения операционными методами.

Студент должен иметь навыки:

- выполнения действий с комплексными числами;

- представления комплексных чисел в алгебраической, тригонометрической, показательной формах;

- выполнения действий с функциями комплексного переменного;

- дифференцирования ФКП;

- интегрирования ФКП;

- разложения в степенные ряды, ряды Тейлора и ряды Лорана функций комплексного переменного;

- нахождения вычетов функций комплексного переменного в особых точках;

- применения вычетов для вычисления интегралов от комплексных и действительных функций;

- нахождения оригиналов и изображений в преобразовании Лапласа с помощью таблиц и теорем;

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

- решения дифференциальных систем и дифференциальных уравнений операционными методами;

- решения интегральных и интегро-дифференциальных уравнений операционными методами.

3.СОДЕРЖАНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ (тематический план)

НАИМЕНОВАНИЕ РАЗДЕЛА И ТЕМЫ

Обязат.

ауд.

занятий

ч.

ЛИТЕРАТУРА

(страницы)

ЛЕКЦИИ

1. Комплексные числа. Геометрическая иллюстрация. Алгебраическая, тригонометрическая, показательная форма комплексного числа. Действия над комплексными числами.

2 ч.

[1] стр. 10-15,

[2] стр. 4-11

2. Функции комплексного переменного. Плоскость комплексного переменного. Последовательности и пределы последовательностей комплексных чисел. Расширенная плоскость комплексного переменного.

2 ч.

[1] стр. 15-18,

[2] стр. 11-23

[3] стр. 367-370

3,4. Основные элементарные функции комплексного переменного. Степенная функция. Дробно-рациональная функция. Тригонометрические, гиперболические функции. Логарифмическая функция в комплексной области. Функция Жуковского. Обратные тригонометрические функции комплексного переменного.

4 ч.

[1] стр. 23-40,

[2] стр. 23-26

5,6. Дифференцирование функций комплексного переменного. Производная и дифференциал. Условия Коши-Римана. Аналитические функции. Связь между аналитическими и гармоническими функциями. Геометрический смысл производной функции комплексного переменного. Понятие конформного отображения.

4 ч.

[1] стр. 26-35,

[2] стр. 370-390

7. Интегрирование функций комплексного переменного. Интеграл от функции комплексного переменного и его свойства. Теорема Коши для односвязной области. Теорема Коши для многосвязной области.

2 ч.

[1] стр. 40-48,

[2] стр. 36-42

[3] стр. 391-396

8. Неопределенный ин6теграл. Формула Ньютона-Лейбница. Интегральная формула Коши и её следствия.

2 ч.

[1] стр. 49-53,

[2] стр.4236-52

[3] стр. 396-400

9. Ряды. Числовые ряды. Критерий сходимости Коши. Признаки сравнения, Даламбера, Коши. Свойства рядов. Функциональные ряды.

2 ч.

[2] стр. 52-58.

10. Степенные ряды. Теорема Абеля. Разложение элементарных функций в комплексной области в степенные ряды. Ряды Тейлора. Представление аналитических функций рядами. Теорема единственности.

2 ч.

[1] стр. 61-68,

[2] стр.59-67

[3] стр. 400-403

11. Ряды Лорана. Свойства рядов Лорана. Примеры на разложение функций в ряд Лорана.

2 ч.

[1] стр. 61-68,

[2] стр.59-67

[3] стр. 400-403

12. Изолированные особые точки и теория вычетов. Теоремы о вычетах. Применение вычетов при вычислении интегралов от комплексных и действительных функций.

2 ч.

[1] стр. 78-86,

[2] стр.76-90

[3] стр. 409-425

13-14. Операционное исчисление. Основные понятия Преобразование Лапласа. Свойство линейности. Теорема подобия. Дифференцирование оригинала. Дифференцирование изображения.

4 ч.

[1] стр. 460-472,

[2] стр.94-100

[3] стр. 431-436

[8] стр. 5-10

15-16. Интегрирование оригинала. Интегрирование изображения. Теорема запаздывания. Теорема умножения изображений. Теорема умножения оригиналов. Свертка оригиналов. Интеграл Дюамеля.

4 ч.

[1] стр. 472-480,

[2] стр.100-107

[3] стр. 436-446

[8] стр. 11-22

17. Применение операционного исчисления для решения обыкновенных дифференциальных уравнений. Вычисление оригиналов по известному изображению. Теорема разложения. Таблица оригиналов и изображений.

2 ч.

[1] стр. 480-490,

502-504

[2] стр.107-115

[3] стр. 447-450

[8] стр. 22-28

18. Обыкновенные дифференциальные уравнения и системы. Операторное уравнение. Расчет электрических контуров. Решение интегральных уравнений Вольтерра второго рода. Применение формулы Дюамеля для решения дифференциальных уравнений.

2 ч.

[1] стр. 505-514, [3] стр. 451-453

[8] стр. 29-44

4. ТЕМАТИКА ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ И ЛАБОРАТОРНЫХ РАБОТ

4. 1. Практические занятия

НАИМЕНОВАНИЕ РАЗДЕЛА И ТЕМЫ

Обязат.

ауд.

занятий

ЛИТЕРАТУРА

(страницы)

ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ

1. Комплексные числа. Алгебраическая, тригонометрическая, показательная формы комплексного числа. Действия над комплексными числами. Выдать типовой расчет № 1 на тему «Теория функций комплексного переменного» [7].

2 ч.

[7] № 1, 4, 5

[9] № 1, 4, 5

[10] 1.1-1.23

[11] стр. 22 № 1-45

2, 3. Функции комплексного переменного. Нахождение значений функций. Предел и непрерывность функции комплексного переменного.

4 ч.

[6] 950-965

[7] задача № 2, 3, 4, 5

[10] 1.45-1.52

[11] стр. 61 № 1-20

4, 5. Дифференцирование функций комплексного переменного. Условия Коши-Римана. Аналитические функции. Восстановление аналитической функции по известной действительной или мнимой части.

4 ч.

[6] № 000-978

[7] № 6

[10] 2.1-2.23, 3.13.14

[11] стр. 66 № 1-14

6. Конформные отображения.

2 ч.

[6] № 000-988

[10] 3.25-3.37

7, 8. Интегрирование функций комплексного переменного. Интеграл по кривой и его свойства. Теорема Коши. Интегральная формула Коши.

4 ч.

[6] №

[7] № 8-9

[10] 4.9-4.15

[11] стр. 77

№ 1-12

стр. 84 № 1-14

9. Числовые ряды. Признаки сходимости. Степенные ряды. Нахождение области сходимости. Ряды Тейлора. Разложение элементарных функций в комплексной области в степенные ряды.

2 ч.

[6] №

[10] № 3.44-3.67

[11] стр. 92

№ 1-22

10. Ряды Лорана. Исследование на сходимость ряда. Лорана. Разложение функций в ряд Лорана по степеням в окрестности точек и

2 ч.

[6] №

[10] № 5.1-5.6

[9] № 8-10

[11] стр. 101

№ 1-20

11. Изолированные особые точки функции комплексного переменного. Вычеты функции комплексного переменного. Нахождение интегралов с помощью вычетов.

2 ч.

[6] №

[7] № 7

[9] № 11-15

[11] стр. 110

№ 1-22

стр. 124 № 1-22

12. Контрольная работа на тему «Теория функций комплексного переменного», Сдать типовой расчет №1.

2 ч.

13. Операционное исчисление. Оригинал и изображение. Теорема смещения. Дифференцирование оригинала и изображения. Интегрирование оригинала и изображения. Выдать типовой расчет по теме «Операционное исчисление».

2 ч.

[8] № 1.1.1-1.7.1

[6] №

[11] стр. 133

№ 1-14

14. Функция запаздывания. Теория запаздывания. Нахождение изображения функций, заданной графиком.

2 ч.

[8]№2.1.2.-2.2.14

[6] №

[11] стр. 140 № 1-30

15. Теорема умножения изображений (теоремы о свертке). Методы отыскания оригинала по известному изображению. Разложение правильной рациональной дроби на простейшие. Использование теоремы умножения изображений для нахождения оригинала.

2 ч.

[8]№3.1.1-3.2.6

[6] №

[11] стр. 151 № 1-17

стр. 163 № 1-16

16. Решение задачи Коши для обыкновенных линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами операционным методом. Общая формула обращения. Нахождение оригиналов с использованием вычетов.

2 ч.

[8]№ 4.1.2-5.1.2

[6] №

[11]стр.174

№ 1-17

17. Решение систем линейных дифференциальных уравнений операционным методом. Решение интегральных уравнений. Применение формулы Дюамеля для решения дифференциального уравнения.

2 ч.

[8]№ 6.1.1-6.3.1

[6] №

[11]стр.174

№ 11-18

18. Контрольная работа на тему Операционное исчисление». Сдать типовой расчет № 2.
УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ

5.1.  Рекомендуемая литература

5.1.1.  Основная литература

1.  , Б., . Методы теории функций комплексного переменного. М.: Наука, 1987.

2.  Соломенцев комплексного переменного и их применения. М.: Высшая школа, 1988.

3.  , . Высшая математика. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного. М.: Наука, 1989.

5.1.2.Дополнительная литература

4.  ,, Эльсгольц комплексного переменного. Операционное исчисление. Теорема устойчивости. М.: Наука, 1965.

5.  , , Макаренко комплексного переменного. Операционное исчисление. Теория устойчивости. М.: Наука, 1971.

6.  , , Кожевникова математика в упражнениях и задачах. Часть II. М.: Высшая школа, 1980.

7.  , Плотникова функций комплексного переменного. (Типовые расчеты). Екатеринбург, Изд-во УГГГА, 2003 .

8.  Плотникова исчисление. Екатеринбург, изд-во УГГГА, 1999.

9.  Чудесенко заданий по специальным курсам высшей математики (типовые расчеты). Учебное пособие для втузов. М.: Высшая школа, 1983.

10.  , Демидович задач по математике для втузов. Специальные разделы математического анализа. М.: Наука, 1981.

11.  , , Гусак функций комплексной переменной и операционное исчисление. Минск.: Тетра Системс, 2002.

МАТЕРИАЛЬНО-ТЕХНИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ

Компьютерный класс кафедры.