Уникальный розыгрыш Пьера Ферма –

тривиальный алгоритм и элементарное доказательство

Напишем «Великую Теорему Ферма» в виде :

диофантово уравнение Lk = mk + nk для натуральных k, L,m, n

имеет решения только для k < 3 .

Не теряя общности положим , что взаимно просты пара (n k)

и тройка (n < L > m).

Тогда :

nk = ( L – m ) ( Lk-1 + Lk-2m +… + mk-1 ) = …

… = (L - m) { (L - m) [ Lk-2 + 2Lk-3m +… + (k-1)mk-2 ] + кmk-2 } =>

( L – m ) и Sk≡ ( Lk-1 + Lk-2m +… + mk-1 ) взаимно просты,

так что имеем n ≡ n1n2 : n1< n2 ; L - m = n1k и Sk = n2 k, -

и после вставки m = L-n1k достаточно решать алгебраическое

диофантово уравнение Sk = n2 k с одним неизвестным L

степени k -1 для всех допустимых пар n1< n2 .

Для k = 2 это - древний способ вычисления пифагоровых троек,

а при k = 3 имеем 3L2 - 3L n13 + n16 - n23 = 0 , т. е. корни уравнения :

L1 + L2 = n13 и L1L2 = (n16 - n23)/3 , - могли бы быть целыми,

но только оба.

И правота ВТФ-3 очевидна, поскольку ( как и для любых k )

наибольшее в тройке (n<L>m) единственно, а кратный корень для L

исключён взаимной простотой с n1 и n2.

Для k = 4 имеем 4L3 - 6L2n14 + 4Ln18 - n112 - n24 = 0 , так что

если только L1 - натуральное число, то

L1+L2+L3 = -1.5 n14 => ( L2+L3) < 0 ;

L1L2 L3 = - (n112 + n24 )/4 => L2L3 < 0 и невозможно :

L1(L2 + L3) + L3L2 = n18 .

Поэтому, практически очевидно, что Пьер Ферма «продемонстрировал» частное доказательство для k = 4 - намного большим текстом, чем «извещение

о ‘ВТФ’» по соседству с ним, - лишь иллюстрируя изобретённый «метод спуска»

и добавляя пикантности своему розыгрышу, - после обнаружения индукционной базы для общего доказательства открытым им «поистине удивительным» способом :

если для k > 2 верно, что диофантово алгебраическое уравнение не может иметь

ровно один натуральный корень, то это верно и для многочлена (от L) степени k+1, т. к. индукционный переход имеет место после деления этого многочлена на (L – L*),

где L* - любой неподходящий корень.

* * *

----

Аннотация: Удивительно простой алгоритм сводит уравнение ВТФ

к алгебраическому с одним неизвестным, что делает ВТФ для

кубов и биквадратов очевидной благодаря формулам Франсуа Виета

- предшественника Пьера Ферма, возможно, независимо увидевшего

эту «школьную теорему».

Далее же элементарно служит - открытый безусловно им «поистине

удивительный» - метод математической индукции.