Тема: «Невырожденные матрицы»

Тема: «НЕВЫРОЖДЕННЫЕ МАТРИЦЫ»

Обратная матрица. Матрица А-1 наз. обратной для матрицы А , если А-1 А = Е

Теорема. Для того, чтобы квадратная матрица А имела обратную, необходимо и достаточно, чтобы она была невырожденной, т. е. detA 0.

Элемент обратной матрицы ( А-1)i j равен алгебраическому дополнению Aj i матрицы А, деленному на det A : ( A-1)i j = Aj i / det A (индексы поменяли места) или A-1 = (detA)-1 ||Aij||T

Пример: Построить матрицу обратную к данной

Находим определитель данной матрицы: detA = 52.

Составим присоединённую (союзную) матрицу. Для этого вычислим все алгебраические дополнения матрицы A:

A11 = (–1)1+1 = 14; A12 = (–1)1+2 = –6; A13 = (–1)1+3 = –4;

A21 = (–1)2+1 = 4; A22 = (–1)2+2 = 2; A23 = (–1)2+3 = 10;

A31 = (–1)3+1 = –2; A32 = (–1)3+2 = –14; A33 = (–1)3+3 = 8.

Составим из них присоединённую матрицу и транспонируем её .

Обратная матрица определяется формулой A–1 = (detA)–1||Aij||T или .

Сделаем проверку. Вычислим произведение

А–1А = =

= =

= . В ответе получили единичную матрицу, значит обратная матрица найдена верно.

Нахождение ранга матрицы.

Наивысший порядок миноров матрицы, отличных от нуля, называется ее рангом (обозначение: rang A), а любой минор матрицы, отличный от нуля и имеющий порядок r = rang A, называется ее базисным минором.

Для нахождения ранга матрицы, кроме определения используются методы окаймляющих миноров и Гаусса.

Метод окаймляющих миноров заключается в следующем: выделяют из матрицы минор М k-ого порядка, отличный от нуля. Далее рассматривают миноры (k+1) - ого порядка, которые содержат в себе (окаймляют) минор М. Если все они равны нулю, то ранг матрицы равен k, в противном случае среди окаймляющих миноров найдется ненулевой минор порядка (k+1), и вся процедура повторяется.

Пример 1. Найти ранг матрицы А методом окаймляющих миноров: .

Решение: Выделяем минор 2-ого порядка, отличный от нуля: . Среди миноров 3-его порядка, окаймляющие М2, имеются ненулевые, например .

Однако, оба минора 4-ого порядка, окаймляющие , равны нулю:

.

Поэтому rang А = 3, а в качестве базисного минора можно взять .

Пример 2. А = B = rgA = 1, rgB = 2

Ранг матрицы не меняется при выполнении элементарных преобразований: сложении строк, предварительно умноженных на постоянное число. Для определения rgA удобно представить матрицу в треугольной форме. Тогда линейно зависимые строки станут нулевыми или пропорциональными друг другу

А = rgA = 2