Элективный курс по физике «Многообразный мир движения» (стр. 2 )

F₁ = GМm/r²,

Сила тяготения точки и маленького шарика в полости, равна:

F₁ = Gm₁m/s ²,

Где m₁ - масса маленького шарика, а s –расстояние между центром полости и материальной точкой.

Из рисунка видно F =F₁ - F₂, и по теореме косинусов F = √ F₁² + F₂² -2F₁F₂cоs b.

Расстояние s и косинус β можно найти по теоремам косинусов и синусов.

F = 5,7 мН.

2.  На каком расстоянии от поверхности Земли ускорение силы тяжести равно 1 м/с²?

3.  Определить ускорение силы тяжести на высоте 20 км над Землей, принимая ускорение силы тяжести на поверхности Земли 9,81 м/с², а радиус Земли 6400км.

4.  На экваторе некоторой планеты тела весят вдвое меньше, чем на полюсе. Плотность вещества 3000 кг/м ᶾ. Определите период обращения планеты вокруг собственной оси.

5.  Каково ускорение свободного падения на высоте, равной радиусу Земли?

Занятие 9 Законы Кеплера.

Физика XVII века фактически состояла из двух разделов – механики и оптики, для которых общей областью применения была астрономия. Чтобы удовлетворить нужды астрономии, Иоганн Кеплер написал фундаментальный труд, состоящий из 11 глав, шесть из которых посвящены оптике и пять – астрономии. После принятия гелиоцентрической системы, Кеплер опубликовал первые два эмпирических закона движения планет, а в 1618г. – третий. В школьном курсе физики законам Кеплера отводится мало времени, но они заслуживают внимания.

Решение задач:

1.  Спутник движется вокруг Земли по круговой орбите радиуса R= 3Rз, где Rз - радиус Земли, равный 6400км. В результате кратковременного действия тормозного устройства скорость спутника уменьшилась так, что он начинает двигаться по эллиптической орбите, касающейся поверхности Земли. Через какое время после этого спутник приземлится?

 

Решение: После торможения спутник движется по эллиптической орбите, большая полуось которой α =(R +RЗ)/2. Если применить законы Кеплера к движению спутника по круговой и эллиптической орбитам, получим (Т/Т0)2 = (α/R)3. Период обращения спутника по круговой орбите находим из условия 4π2R/Т02 = GМЗ/R2. Но GМЗ =gRЗ2. Используя эти соотношения, находим период обращения спутника по эллиптической орбите:

Т = 2π/Rз(R3/g)1/2((R +RЗ)/2R)3/2.

С момента торможения до посадки спутник пройдет половину эллиптической орбиты. Поэтому t=Т/2 =7150с. Около двух часов.

2.  На какое максимальное расстояние от Солнца удаляется комета Галлея? Период обращения ее вокруг Солнца 76 лет, минимальное расстояние, на котором она проходит от Солнца 0,9 108 км. Радиус орбиты Земли 1,5 108 км.

3.  Спутник, запущенный на круговую орбиту высотой 500 км над поверхностью Земли, тормозится в верхних слоях атмосферы. На какой высоте окажется спутник через месяц, если угловое ускорение спутника 3 10-13рад/с2.

4.  Известно, что в настоящее время Луна удаляется от земли со скоростью 3,3 см/год. Найти угловое ускорение Луны. Среднее расстояние Луны от Земли 3,84 105км, угловая скорость вращения Луны вокруг Земли 2,56 10-6рад/сек.

5.  Ракета запущена с поверхности Земли вертикально вверх с первой космической скоростью и возвращается на Землю недалеко от места старта. Сколько времени она находилась в полете?

Занятие 10 Закон Гука.

По мнению современников, характер у английского ученого, современника Ньютона, Роберта Гука был непростой, но у него был редкий изобретательский талант (ему предписывают около ста изобретений) и гениальная интуиция, которая позволила ему установить основные динамические законы, управляющие солнечной системой. Однако он не мог их систематически изложить из-за непостоянства характера и недостаточных математических знаний. Зависимость силы упругости от деформации Роберт Гук установил экспериментально. Закон Гука справедлив для упругой деформации растяжения и сжатия.

Решение задач:

1.  К пружине, коэффициент жесткости которой равен 0.3 кН/м, подвешена гиря массой 0,6 кг. Найти удлинение пружины в случае подъема гири с постоянным ускорением 0,2 м/с2. Как изменится деформация пружины в случае опускания гири с тем же по модулю ускорением?

Решение: Тело движется вверх с ускорением. На гирю действуют сила тяжести mg и сила упругости Fупр, возникающая вследствие удлинения пружины.

Х

Fупр

mg

Для проекций сил на ось Х по второму закону Ньютона Fупр –mg =mα. По закону Гука Fупр = k∆x, где∆x– удлинение пружины. Тогда k∆x - mg =mα и ∆x=m (g+α)/k, ∆x =0,02 м. При движении гири вниз с ускорением пружина сжата на ∆x1 большее нуля, и получаем уравнение

mg - k∆x1 = mα; ∆x1 = m(g-α)/k; ∆x1 = 0,192 м.

2.  Найти удлинение буксирного троса с жесткостью 100кН/м при буксировке автомобиля массой 2т с ускорением 0,5м/с2. Трением пренебречь.

3.  На подставке лежит тело, подвешенное к потолку с помощью пружины. В начальный момент пружина не растянута. Подставку начинают опускать вниз с ускорением 0,5м/с2. Через какое время тело оторвется от подставки? Жесткость пружины 40Н/м, масса г.

4.  На сколько переместится конец нити (точка А), перекинутой через неподвижный невесомый блок, если к концу нити приложить силу 20Н? Жесткости пружин равны 30Н/м и 40Н/м. Нить нерастяжима.

k1

 

А

K2

F

5.  При помощи пружинного динамометра груз массой 10кг движется с ускорением 5м/с2 по горизонтальной поверхности стола. Коэффициент трения груза о стол равен 0,1. Найдите удлинение пружины, если ее жесткость 2000Н. Занятие 11 Вес и невесомость.

Вес – очень знакомое слово. Однако очень часто, к сожалению, смешивают понятия «сила тяжести» и «вес тела», а в быту вес отождествляют с массой. Непосредственные предшественники Ньютона (Декарт и Гюйгенс) путали понятия массы и веса. Первое четкое различие между весом и массой мы находим в предисловии к работе Джована Баттисты Бальяни «О естественном движении тел»:

«…в то время как вес ведет себя как действующее начало, вещество ведет себя как пассивное начало, и поэтому тяжелые тела движутся в зависимости от отношения их веса к их веществу. Природа тяжелых тел такова, что их вес связан с веществом: каков вес, а значит, и его способность к действию, таково количество и вещества». Отсюда видно, что Бальяни было ясно не только понятие массы, но и ее пропорциональность весу.

Вес – это сила. Он ничем не отличается от любой другой силы, если не считать двух особенностей: вес направлен вертикально и действует постоянно, его невозможно устранить. Вес – это не что иное, как одно из проявлений силы упругости. Если тело лежит на опоре, то вследствие притяжения к Земле оно давит на опору. По этой же причине подвешенное тело растягивает подвес. Вес тела обладает особенностями, существенно отличающими его от силы тяжести. Во-первых, вес тела определяется всей совокупностью действующих на тело сил, а не только силой тяжести (так, вес тела в жидкости или воздухе меньше, чем в вакууме, из-за появления выталкивающей силы) Во - вторых, вес тела, как мы увидим при решении задач, существенно зависит от ускорения, с которым движется опора (подвес). А при свободном падении наступает невесомость.

Решение задач:

1.  Найти вес автомобиля, движущегося в верхней точке выпуклого моста, радиус кривизны которого 800м, если автомобиль движется со скоростью 72км/ч. А его масса 1200кг.

Решение:

F

 

У α

Fт

Вес движущегося автомобиля равен по модулю силе упругости моста, действующей на транспорт. В уравнение второго закона Ньютона войдет именно эта сила упругости. В проекции на ось ОУ это уравнение имеет вид:

- F + mg = mα,

Или F = m(g – α).

Так как α = V²/R, то Р=F, Р=m(g-V²/R). Видно, что в верхней точке моста вес тела меньше силы тяжести.

Р=1200кг(9,8Н/кг – 400м²/с²/800м)=11160Н=11,16кН.

2.  Космический корабль совершает мягкую посадку на Луну (gл=1,6м/с²), двигаясь замедленно в вертикальном направлении (относительно Луны) с постоянным ускорением 8,4м/с². Сколько весит космонавт массой 70кг, находящийся в этом корабле?

3.  С какой скоростью должен автомобиль проходить середину выпуклого моста радиусом 40м, чтобы пассажир на мгновение оказался в состоянии невесомости?

4.  На экваторе некоторой планеты тела весят в два раза меньше, чем на полюсе. Плотность вещества планеты 3000кг/мᶾ. Определите период обращения планеты вокруг собственной оси.

5 . Найти среднюю плотность планеты, у которой на экваторе пружинные весы показывают вес тела на 10% меньше, чем на полюсе. Сутки на планете составляют 24 часа.

Занятие 12 О силе трения

Силы трения, как и силы упругости, имеют электромагнитную природу. Главная же особенность сил трения, отличающая их от гравитационных сил и сил упругости, состоит в том, что они зависят от скорости движения тел относительно друг друга. При малых относительных скоростях движения тел сила трения скольжения мало отличается от максимальной силы трения покоя. Силы трения действуют между всеми без исключения телами, и с ними приходится считаться. Очень часто в трении видят только помеху, не позволяющую создавать и сохранять неизменными движения тел. Но в тоже время без существования трения невозможно было бы движение тел по поверхности земли. Используя трение колес о землю или о рельсы, автомобили и поезда приходят в движение. Поэтому в технике решают задачу не только о том, как уменьшить трение там, где оно мешает движению, но и как его увеличить там, где оно помогает создать или передать движение. Например, тепловозы и электровозы делают возможно более тяжелыми. Сцепления в автомобиле передают движения от двигателя к колесам с помощью сил трения, которые должны быть большими. Чтобы добиться этого, диски сцепления прижимают друг к другу сильными пружинами. Этим создают большую силу нормального давления и добиваются значительного увеличения сил трения покоя, передающих движение от одной части машины к другой. Также поступают, когда силы трения используют для соединения деталей в различных механизмах. Для этого детали впрессовывают друг в друга. При этом возникают упругие силы, создающие большое нормальное давление на поверхность впрессованной детали. За счет этого в месте соединения развиваются необходимые большие силы трения. Такие же силы трения удерживают на месте любую туго завинченную гайку. При решении задач используют уравнение Fтр = µN как дополнительное, выражающее особые свойства сил трения скольжения.

Решение задач:

1.  Автомобиль массой 1200 кг движется по горизонтальной дороге и совершает поворот по закруглению дороги радиусом 50 м. Какая скорость должна быть у автомобиля, чтобы его не занесло, если коэффициент трения между поверхностями колес и дороги равен 0,2?

Решение:

По второму закону Ньютона mα = ∑F. На автомобиль действует лишь сила трения.

mV2/R = µN; V2 = µNR/m, а так как тело движется по горизонтальной дороге, то сила реакции опоры равна силе тяжести: N = mg.

V2 = µmgR/m; V2 = µgR; V= √ µgR.

V = √; V = 10 м/с.

2.  Упряжка собак при движении саней по снегу может действовать с максимальной силой 0,5 кН. Какой массы сани с грузом может перемещать упряжка, двигаясь равномерно, если коэффициент трения равен 0,1?

3.  На соревнованиях лошадей тяжелоупряжных пород одна из них перевезла груз массой 20 т, двигаясь равномерно при коэффициенте трения 0,02. Найти силу тяги лошади. Движение считать равномерным.

4.  Деревянный брусок массой 5 кг тянут равномерно по деревянной доске, расположенной горизонтально, с помощью пружины с жесткостью 100 Н/м. Коэффициент трения равен 0,3. Найти удлинение пружины.

5.  Два деревянных бруска массой по 0,5 кг каждый лежат на деревянной доске.

А

Какую силу нужно приложить в точке А к нижнему бруску, чтобы вытащить его из под верхнего? Коэффициент трения на обеих поверхностях нижнего бруска равен 0,3. Занятие 13 Динамика тела, движущегося прямолинейно.

В динамике Аристотеля движущееся тело непрерывно находится под действием некоторой силы и скорость его прямо пропорциональна приложенной силе и обратно пропорциональна сопротивлению среды. Понятие силы как причины движения ввел еще Кеплер, но он измерял ее скоростью. У Галилея сила была эквивалентна весу, зато в отличие от Кеплера он измерял силу вызванным ускорением. У Ньютона, пожалуй, не было столь ясного представления, как у Галилея. Его определение гласит:

«…приложенная сила есть действие, производимое над телом, чтобы изменить его состояние покоя или равномерного прямолинейного движения».

Ньютон сформулировал основные законы движения, которые являются основой динамики.

Решение задач:

1.  Груз массой 20кг поднимают вверх с помощью веревки так, что в течении первого промежутка времени 2с его скорость меняется от 2м/с до 6м/с. В последующий промежуток времени 1с скорость уменьшается до значения 2м/с. Найдите модуль сил, с которыми веревка действовала на груз в эти промежутки времени, считая эти силы постоянными.

Решение

F α

Х

В течение первого промежутка времени на тело действуют две силы: сила тяжести и сила натяжения нити. Согласно 2 закона Ньютона

mα=Т₁+F в проекции на ось оу, Т₁=Т₁, F= - mg.

Отсюда Т₁=m(g+α₁).

Для нахождения силы определить проекцию ускорения с помощью формулы скорости: α₁=(V₁ - V₀)/Δt₁

α₁= 2м/с².

Определим модуль силы Т

Т₁=m(g + (V₁ - V₀)/Δt₁)

Т₁=236 Н

Аналогично Т₂=116 Н

2.  Какую массу балласта надо сбросить с равномерно опускающегося аэростата, чтобы он начал равномерно подниматься с той же скоростью? Масса аэростата с балластом 1200кг, подъемная сила аэростата постоянна и равна 8000 Н. Силу сопротивления воздуха считать одинаковой при подъеме и спуске.

3.  Через сколько секунд тело, брошенное вертикально вверх со скоростью 44,8м/с, упало на землю, если сила сопротивления воздуха не зависела от скорости и составляла в среднем 1/7 силы тяжести,

4.  Санки массой 5кг тянули в течение 5с горизонтально с силой 20Н. Коэффициент трения 0,3. Какое расстояние пройдут сани до полной остановки?

5.  Динамометр вместе с прикрепленным к нему грузом сначала поднимают вертикально вверх, затем опускают. В обоих случаях движение происходит с ускорением, равным 6м/с². Чему равна масса груза, если разность показаний динамометра оказалась равной 29,4 Н?

Занятие 14 Динамика тела, движущегося прямолинейно (если тело движется по наклонной плоскости или под действием силы, приложенной под углом к горизонту)

Решение задач:

1.  По канатной железной дороге с уклоном α=30⁰ к горизонту спускается вагонетка массой 500 кг. Найти силу натяжения каната при торможении вагонетки в конце спуска, если скорость вагонетки перед торможением 2 м/с, а время торможения 5 с. Коэффициент трения колес вагонетки о дорогу 0,01.

 

Решение: Ускорение вагонетки во время торможения α = V0/t и направлено вверх вдоль уклона дороги. В этом направлении на вагонетку действуют сила натяжения каната Т и сила трения Fтр =kN =kmg cosα. Составляющая силы тяжести mg sinα направлена вдоль уклона дороги вниз. Уравнение второго закона Ньютона для вагонетки:

Т + Fтр - mg sinα = mα;

отсюда Т = m(α + g sinα) - kmg cosα;

Т = 2,6 кН

2.  Какую силу нужно приложить для подъема вагонетки массой 500 кг по эстакаде с углом наклона 40⁰, если коэффициент сопротивления движению равен 0,05?

3.  На наклонную плоскость с углом α помещена плоская плита массой m2, а на нее брусок массой m1. Коэффициент трения между бруском и плитой k1. Определить при каких значениях коэффициента тренияk2 между плитой и плоскостью плита не будет двигаться, если известно, что брусок скользит по плите.

4.  За какое время первоначально покоившееся тело соскользнет с наклонной плоскости высотой 3 м, наклоненной под углом 30⁰ к горизонту, если при угле наклона плоскости к горизонту 10⁰ оно движется равномерно.

5.  Бруски А и В массами m1 и m2 находятся на столе. К бруску В приложена сила F, направленная под углом α к горизонту. Найти ускорения движения брусков, если коэффициенты трения брусков друг о друга и бруска о стол равны соответственно k1 и k2. Сила трения между поверхностями максимальна.

F

α

В

А ААаАА

Занятие 15 Динамика движения тела в вязкой среде.

Вся первая книга «Начал» Ньютона написана в предположении, что тела движутся в среде без сопротивления, под действием одних лишь приложенных сил. Для завершения учения о движении нужно исследовать, как это и делает Ньютон во второй книге, какие изменения испытывают законы движения, когда тела движутся в жидкости. Уаллис ввел предположение о том, что сопротивление жидкости движению тела пропорционально скорости этого тела. Однако Гюйгенс заметил, что с увеличением скорости тела возрастает масса перемещенной жидкости, так что сопротивление должно быть пропорционально квадрату скорости. Ньютон рассматривал оба эти случая. Он заметил, что движущееся в жидкости тело должно не только смещать жидкость, но и преодолевать ее вязкость; поэтому он считает сопротивление равным сумме двух членов; одного - пропорционального квадрату скорости и другого - пропорционального скорости. Результаты теории применимы к движению тел в среде с сопротивлением. Жидкое трение возникает между поверхностью твердого тела и окружающей его жидкой или газообразной средой, в которой оно движется. При медленном движении сила сопротивления пропорциональна скорости, а при быстром - квадрату скорости. Благодаря тому, что сила сопротивления растет с увеличением скорости, любое тело в вязкой среде при действии на него какой-либо постоянной силы, например силы тяжести. В конце концов тело начинает двигаться равномерно.

Решение задач:

1.  Стеклянный шарик, радиус которого 2мм, падает в растворе глицерина. Определите установившуюся скорость и начальное ускорение шарика. Плотность стекла 2530кг/м3, а плотность глицерина 1210кг/м3. Считать, что при движении шарика в растворе глицерина на него со стороны раствора действует сила сопротивления Fс=6πkRV (закон Стокса), где коэффициент k=0,0502 Па×с-вязкость раствора.

Решение:

Уравнение движения шарика, падающего в растворе глицерина, в проекциях на вертикальную ось имеет вид

mg-FА-Fс=mα, где 4/3πR3ρ – масса шарика, FА= 4/3πR3ρ0g-архимедова сила, действующая на шарик со стороны раствора.

Получаем 4/3πR3ρg-4/3πR3ρ0g-6πkRV=4/3πR3ρα.

Установившуюся скорость найдем из условия, что ускорение равно нулю:

Vу=2R2g(ρ-ρ0)/9k; Vу=23см/с.

Начальное ускорение получим из уравнения движения, полагая скорость равной нулю:

α0=g(ρ-ρ0)/ρ; α0=5.1м/с2×.

2.  Два шара одинакового размера, но разных масс 200г и 100г связаны нитью, длина которой много больше их радиусов. При помещении в жидкость эта система шаров тонет. Какая сила натяжения будет действовать на соединяющую шары нить при их установившемся падении в жидкости?

3.  Стальной и деревянный шарики одинакового объема падают в глицерине. Какой из них движется с большей скоростью при условии, что скорость тел установилась.

4.  Одновременно опустили в воду два одинаковых бруска: один - плашмя, другой - ребром. Какой из них упадет раньше? Объясните явление.

5.  Установившаяся скорость движения стального шарика, радиус которого 4мм, равна 0,38м/с. Определите вязкость раствора.

Занятие 16 Динамика движения системы тел.

Решение задач:

1.  К концам шнура, перекинутого через блок, подвешены грузы массами 50г и 75г. Пренебрегая трением и считая шнур и блок невесомыми, а шнур нерастяжимым, определить ускорения, с которыми будут двигаться грузы, силу натяжения шнура и показания динамометра, на котором висит блок.

Решение:

 

Х

 

Т₁ Т₂

 

Запишем уравнения движения грузов в проекции на ось Х:

- m₁α =-m₁g + Т; m₂α =Т - m₂g.

Решая эту систему, получаем

α =(m₁ - m₂)g/(m₁ +m₂); Т =2m₁m₂g/(m₁ +m₂).

α =1.96м/с²; Т =0.6Н; F =1.2Н, так как показание динамометра равно, очевидно, сумме сил натяжения нитей.

2.  Две гири массами 7кг и 11кг висят на концах нерастяжимой нити, которая перекинута через блок. Гири сначала находились на одной высоте. Через какое время после начала движения более легкая гиря окажется на 10см выше тяжелой?

3.  Два груза массами 0,2кг и 4кг соединены нитью и лежат на гладком столе (трением пренебречь). К первому грузу приложена сила 0,2Н, действующая вдоль направления нити, ко второму – в противоположном направлении сила 0,5Н. С каким ускорением будут двигаться грузы и какова сила натяжения соединяющей их нити?

4.  К грузу массой 7кг подвешен другой груз массой 5 кг. Какое натяжение будет испытывать верхний конец и середина веревки, если всю систему поднимать вертикально вверх, приложив к большему грузу силу 235Н? Масса веревки 4 кг.

5.  На концах веревки длиной 12м и массой 6кг укреплены два груза массами 2кг и 12кг. Веревка переброшена через неподвижный блок и начинает скользить по нему без трения. Какое натяжение испытывает середина веревки в тот момент, когда длина ее по одну сторону блока достигнет 8м? Занятие 17 Динамика вращательного движения тела.

Расчет сил, действующих на тело, движущееся по окружности, является, пожалуй, одним из наиболее трудных для усвоения. Трудности в проведении этого расчета возникают в тех случаях, когда центростремительное ускорение во вращательном движении и ускорение в прямолинейном движении рассматривают как две принципиальные различные физические величины, для каждой из которых существуют свои законы: одна может рассчитываться по « обычным» законам Ньютона, а для другой обязательно требуется введение «особых» сил. При таком неправильном противопоставлении законов и характеристик прямолинейного и вращательного движений становится недоступным решение задач, в которых нельзя ввести понятие центробежной силы как силы, действующей на связь. При решении задач на расчет вращательного движения прежде всего, следует помнить, что ускорение в прямолинейном движении и центростремительное ускорение по своей физической природе одинаковы. Одинаковость физической природы определяет и одинаковость законов, используемых для расчета этих величин. Для расчета центростремительных ускорений нет необходимости вводить какие-то «особые» силы, помимо сил, возникающих в результате взаимодействия тел.

Решение задач:

1.  Найти силу, прижимающую летчика к сиденью самолета в верхней и нижней точках петли Нестерова, если масса летчика 75кг, а радиус петли 200м, а скорость самолета при прохождении петли 360км/ч.