ИКТ как средство развития пространственного мышления у студентов педвузов при изучении темы «Поверхности второго порядка»

ИКТ как средство развития пространственного мышления у студентов педвузов при изучении темы «Поверхности второго порядка»

В. Запольских, , // Международная научно-практическая конференция «Информатизация педагогического образования» / г. Екатеринбург, 2007.

Важной составляющей интеллекта является пространственное мышление, сформированность которого служит одним из необходимых условий успешности любого вида предметной деятельности выпускника современной школы. В свою очередь высокий уровень пространственного мышления затребован для решения профессиональных задач в таких становящихся массовыми специальностях, как визажист, дизайнер, конструктор, модельер и т. п.

Освоение студентами системы научных представлений и понятий о трехмерном пространстве взаимосвязано с уровнем сформированности их пространственного мышления, которое включ ает в себя ряд важных умений: выделять объекты в пространстве, создавать их ментальные образы и мысленно оперировать ими.

В фундаментальной работе по классификации и развитию пространственного мышления у школьников [3] выделяются три основных типа оперирования образами. К первому типу относятся изменение пространственного положения созданного образа, ко второму типу – изменение структуры мысленного образа, и к третьему типу – неоднократное изменение пространственного положения и структуры. Электронных учебных материалов по геометрии уровня высшего образования недостаточно, и они зачастую позволяют развивать только логическую составляющую мышления, и нередко содержат грубые математические ошибки. Представленные визуальные графические материалы зачастую являются бумажными аналогами, при этом не просматривается учет результатов психолого-педагогических исследований о возможностях компьютерных технологий в области визуализации. Поэтому сейчас актуально и важно уметь создавать компьютерные программы, рассчитанные на различные когнитивные стили обучения.

При изучении курса геометрии на математическом факультете педагогического вуза формирование понятий происходит с целенаправленным и комплексным применением различных средств наглядности. Например, при формировании понятия «однополостный гиперболоид» (с применением метода сечений) нужно по плоским кривым, получающимся в сечении, представить поверхность. По заранее подготовленным рисункам студенты успешно справляются с созданием статического трехмерного образа. Однако умственные действия по созданию более сложного образа – гиперболического параболоида, у ряда студентов вызывают затруднения, которые частично снимаются при работе с материальной имитационной моделью.

По результатам апробирования разработанной нами компьютерной программы «Поверхности второго порядка», нами были получены более высокие результаты, чем при работе со статической моделью. Представленный программный продукт является частью методического и дидактического обеспечения курса геометрии и относится к классу учебных моделирующих программ. Программа написана на базе Borland Delphi с использованием графической библиотеки OpenGL.

В процессе работы с программой у студента формируется первый и второй типы оперирования пространственными образами, т. е. студент, рассматривая и поворачивая поверхность в программе, может её представить себе и мысленно поворачивать.

Программа может быть использована: в качестве иллюстративного материала на лекции, как средство самообучения студента, индивидуализации обучения и развития его творческих способностей.

Применение программы преподавателем на лекции. Создание чертежей или рисунков на доске (в безкомпьютерном варианте) не отвечает требованиям точности, наглядности и быстроты при построении, однако использование электронных учебных программ позволяет значительно облегчить восприятие студентами темы и, следовательно, существенно упростить работу лектора, повысить продуктивность обучения. Представленная программа позволяет преподавателю продемонстрировать метод сечения поверхностей координатными и параллельными координатным плоскостями. При этом получающаяся в сечении поверхности кривая второго порядка может быть повернута на любой угол, тем самым можно добиться более наглядного изображения. Количество серий сечений и число секущих плоскостей в этих сериях можно варьировать с учетом индивидуальных особенностей обучаемых.

В случае низкого уровня развития пространственного мышления у студентов возможности программы позволяют строить не два-три сечения, а несколько и достаточно плотно расположенных друг к другу, что делает переход от сечений к поверхности более наглядным.

Применение программы в индивидуальной деятельности студента и в самообучении. Программа имеет встроенный «виртуальный альбом», позволяющий получать поверхность по ее каноническому уравнению и, наоборот, по предлагаемой поверхности записать уравнение. При самостоятельной работе с «виртуальным альбомом» студенты могут увидеть изменения в записи уравнений, менять расположение поверхностей второго порядка, относительно осей координат. Что приводит к снятию затруднений, связанных с данным видом мыслительных операций.

В поддержку самостоятельной работы студентов в программу включен тренажер-тест.

Применение программы для развития творческих способностей студента. В программе существует раздел предусматривающий возможность создания классификации линейчатых поверхностей, в основе которой лежит различное расположение прямых в пространстве. Например, в случае пересекающихся прямых на экране монитора возникает круговой конус, в случае параллельных – круговой цилиндр, в случае скрещивающихся, но не перпендикулярных – однополостный гиперболоид вращения. Развитие творческих способностей студента реализуется в программе при построении гиперболического параболоида с помощью прямых. В этом случае студент получает новое определение этой поверхности. Для этого студент запускает прямую в движение по двум неподвижным скрещивающимся прямым, оставляя ее параллельной неподвижной плоскости α. Также он может получить эту поверхность, перемещая одну из парабол по другой. Насколько интереснее и полезнее все это выполнить на компьютере, имея возможность выбирать самостоятельно параметры парабол и менять ролями направляющую и образующую параболы. Различные способы получения гиперболического параболоида эффективно работают на создание образа поверхности, в результате чего студенты в дальнейшем не затрудняются при определении гиперболического параболоида, его вида. Это позволяет сказать о формировании у студента всех трех типов оперирования пространственными образами, выделенных [3].

Наибольшие затруднения у студентов возникают при изучении гиперболического параболоида, в связи с этим он разобран в программе отдельно. Различные его определения характеризуют его с разных сторон, выявляя наиболее существенные признаки (особенности) этой поверхности, по которым легко, или достаточно просто воссоздать в уме ее пространственный образ.

В работе над программой возникали эвристические моменты, когда в результате анализа литературы по интересующему вопросу и просмотра Интернет-ресурсов, включая статьи, форумы, обсуждения на соответствующую тему выяснялись условия оптимизации программного кода, т. е. иными словами, повышения эффективности работы программы в некоторых разделах.

Отметим преимущества работы с изображениями, полученными с помощью компьютерной программы – это, во-первых, возможность изменять позицию наблюдателя (при работе с плакатами это сделать невозможно), что позволяет рассмотреть поверхность со всех сторон; во-вторых, возможность в интерактивном режиме, меняя параметры в уравнении, отслеживать изменения самой поверхности. Тем самым создается ситуация, способствующая развитию пространственного мышления студентов, работающих с этой программой, которые постепенно конструируют свои действия, как в ментальном, так и в материальном плане (на экране монитора).

Литература

1.  Мамалыга пространственного мышления у студентов педагогического вуза при формировании понятий в курсе геометрии/ Диссертация на соискание ученой степени кандидата педагогических наук. Екатеринбург, 20с.

2.  Интерактивная компьютерная графика. Вводный курс на базе OpenGL, 2 изд.: Пер с англ. – М.: Издательский дом «Вильямс», 2001. – 592 с.: ил.

3.  Якиманская пространственного мышления школьников / НИИ общ. и пед. психологии. АПН СССР. - М.: Педагогика, 19с

2D И 3D ГРАФИКА КАК СРЕДСТВО СОВЕРШЕНСТВОВАНИЯ ТЕХНОЛОГИИ ТЕСТИРОВАНИЯ

, Селиванова О. А. // Тезисы Сборник материалов четвертой международной научно-методической конференции «Новые образовательные конференции» г. Екатеринбург, 2007 г.

В учебном процессе контрольно-оценочная система постоянно расширяется за счет внедрения различных инновационных технологий. Наиболее перспективным направлением, по-нашему мнению, является автоматизированная тестовая технология. Отметим некоторые преимущества компьютерных диагностических методик перед «бумажными»: реализация быстрой обратной связи с испытуемым по результатам тестирования, автоматизированная обработка результатов и представление их в наглядном виде, возможность вариативности заданий, использование мультимедийных средств (звук, текст, 2D и 3D статическая и динамическая графика) для представления заданий и ответов и др.

В то же время следует указать на недостатки существующих тестов по математике. Например, проверка знаний с помощью автоматизированной тестовой формы контроля становится затруднительной при оценивании таких компонентов математической подготовки, как владение доказательным аппаратом, владение понятийным аппаратом, в частности, оценивание умения формализовать понятие, выделять характеристические свойства, исправлять ошибки в доказательстве [2], развитие пространственного мышления, в частности, владение умением создавать пространственный образ фигуры по графическому изображению [1]. Однако, более полное использование преимуществ автоматизированного контроля (2D и 3D статическая и динамическая графика) позволяет устранить некоторые из вышеперечисленных трудностей. Покажем это на примере теста «Преобразования пространства» (С++, OpenGL) и теста «Методы изображения» (Delphi, OpenGL).

Задание 1. Найти оси поворота правильного многогранника и определить их порядок.

На экране монитора изображен октаэдр (рис. 1). Тестируемому демонстрируются повороты данного октаэдра вокруг прямых, определяемых самим обучаемым (он указывает точки октаэдра, через которые должна проходить ось поворота). Вращение сопровождается кратковременной задержкой движения и изменением цвета данного октаэдра при совмещении его со своим первоначальным положением. Проведя сколь угодно много таких «опытов», учащемуся необходимо сделать вывод о том, при каких условиях происходит окрашивание октаэдра в другой цвет. Это задание позволяет проверить умение выделять характеристические свойства октаэдра и умение подводить под понятие «ось симметрии соответствующего порядка». Рассмотрим пример другого задания.

Задание 2. Исследование групповых свойств преобразований относительно операции композиции.

На мониторе изображен куб. Тестируемому нужно проверить коммутативность композиции движений пространства. Ответ требуется обосновать с помощью построения образа куба при этих композициях. Правильное выполнение этого задания теста «Преобразования пространства» показывает владение умением обучаемого строить контрпример.

Задание 3. Нахождение образов основных элементов (точек, прямых) при инверсии.

Как правило, нахождение образа точки у обучающихся не вызывает трудностей. А в случае, когда прообразом является бесконечное множество, возникают затруднения. На рисунке 2 одинаковой штриховкой обозначены образ и прообраз при инверсии Inw ( - базисная окружность). Тестируемому предлагается рисунок 3 с «неправильной» штриховкой, т. е. допущены ошибки при определении соответствующих элементов (точек, отрезков, лучей, дуг). Испытуемый должен исправить неточности в штриховках.

Рис. 2. Правильное изображение Рис. 3. Неправильное изображение

образа и прообраза части шахматной образа и прообраза части

доски при Inw . шахматной доски при Inw .

В этом блоке заданий теста изменяется основной рисунок, центр и радиус базисной окружности. Правильное выполнение показывает владение умением работать с бесконечным множеством и, в частности, находить ошибки.

Задание 4. Определить геометрическое тело по его графическому изображению.

На мониторе представлено динамическое изображение нескольких геометрических тел (А, В и С) и графическая проекция D (рис. 4). Тестируемому необходимо указать тело (тела), соответствующее приведенной проекции.

Рис. 4. Геометрические тела и их проекция.

В этом блоке заданий теста изменяется проекция, тела и их траектория движения. Правильное выполнение заданий этого блока показывает наличие умения строить пространственный образ по плоскому рисунку.

Приведенные примеры показывают значимость использования всех возможностей инструментария при составлении теста.

Литература

1.  Майоров, и практика создания тестов для системы образования (Как выбирать, создавать и использовать тесты для целей образования) [Текст]/ . – М., 2000. – 352с.

2.  Мамалыга, тестирование как средство диагностики и контроля сформированности геометрических понятий [Текст]/ Р. Ф, Мамалыга., // Современная математика и математическое образование в вузах и школах России: опыт, тенденции, проблемы: Межвузовский сборник научно-методических работ. сентябрь 2006 г. – Вологда, ВГПУ, 2006.

3.  Мельников Ю. Б. Об оценивании уровня адекватности контроля с позиций формально-конструктивного определения модели/ , , / Междунар. науч. конф. «Информационно-математические технологии в экономике, технике и образовании»: Тез. докл., ГОУ ВПО УГТУ-УПИ, Екатеринбург, 2006.

НЕКОТОРЫЕ АСПЕКТЫ СОЗДАНИЯ ВИЗУАЛЬНОЙ СРЕДЫ ПРИ ПОДГОТОВКЕ БУДУЩИХ УЧИТЕЛЕЙ МАТЕМАТИКИ

// Тезисы Сборник материалов четвертой международной научно-методической конференции «Новые образовательные конференции» г. Екатеринбург, 2007 г.

Важнейшей задачей обучения геометрии в школе является формирование у учащихся научных представлений и понятий о пространстве. Решение этой задачи напрямую связано с уровнем развития пространственного мышления, как у школьников, так и у учителей.

Одним из современных эффективных средств обучения, направленных на развитие пространственного мышления является компьютер, с применением которого в учебном процессе значительно меняется характер обучающей среды. Так использование 2D и 3D графики дало новые возможности в реализации принципа наглядности. Выделим некоторые из них:

1.  Имитация перемещения фигур в пространстве. На рис.1 приведен фрагмент работы студента 4 курса . Перемещая секущую плоскость перпендикулярно диагонали куба, мы моделируем различные сечения.

2.  Управление позицией наблюдателя при визуальном исследовании На рис.2 приведен фрагмент работы студента 3 курса Изменение положения точки наблюдения, путем поворота осей, приближения и удаления изображения, позволяет более тщательно рассмотреть поверхность.

3.  Преобразование одной фигуры в другую. На рис. 3 представлен фрагмент работы студентки 4 курса . На мониторе демонстрируется получение сети октаэдра. Для этого удаляем одну из граней и полученную многогранную поверхность растягиваем на плоскость.

4.  Пересечение пространственных фигур, выделение общей части, объединение фигур и т. д. На рис. 4 представлен фрагмент работы студента 5 курса . Полупрозрачность изображения икосаэдра позволяет увидеть процесс получения додекаэдра.

Использование компьютерных возможностей при создании 2D и 3D графики повышает функциональность средств наглядности в учебном процессе. Так реализуются не только «классические» функции (иллюстрирующая и интерпретирующая), но и когнитивная функция, ранее не свойственная им.

На рис. 5 (фрагмент работы студентки 4 курса ) дано изображение двух «пятилистников». Сворачивая и разворачивая «цветы» в геометрическое тело мы получаем иллюстрацию понятия «развертка додекаэдр».

На рис. 6 (фрагмент работы студента 5 курса ) приведено изображение центрального проектирования правильного многогранника на сферу. С помощью этого проектирования и стереографической проекции на плоскость мы получаем систему дуг, отрезков и точек на плоскости. Эта интерпретация (плоский граф) позволяет доказать теорему Эйлера.

Следует заметить, что при применении компьютерных технологий и «классические» функции становятся разнообразнее.

Когнитивная функция как наиболее сложная функция средств наглядности в докладе будет представлена при моделировании векторного пространства (фрагмент работы студентов 5 курса , ).

В современных условиях создание визуальной среды для обучения математики с использованием компьютерных средств наталкивается на значительные трудности. Остановимся на некоторых из них:

·  отсутствие дидактических материалов для учителей по использованию информационных технологий (ИТ) в учебном процессе;

·  отсутствие практических навыков у учителей в применении мультимедийных средств при обучении математики, в частности геометрии, что объясняется отсутствием соответствующих требований в Госстандарте ВПО;

·  отсутствие знаний, необходимых для применения компьютерных технологий в учебном процессе;

·  невысокое качество компьютерных программ по геометрии (изображения геометрических тел однотипны, нередко ошибочны).

В статье использованы фрагменты работ студентов студии «Геометрия – компьютер – геометрия» при математическом факультете Уральского государственного педагогического университета.

Литература

1. Мамалыга, пространственного мышления у студентов педагогического вуза при формировании понятий в курсе геометрии [Текст] / //Дисс. на соиск. уч. канд. пед. наук. – Екатеринбург, 2005. – 155с.

2. Мамалыга Применение компьютерных технологий при изучении темы «Поверхности второго порядка» в вузе. [Текст]/ , // Новые технологии в образовании: Научно-технический журнал. – Воронеж, 2006.

О НЕКОТОРЫХ ИЗМЕНЕНИЯХ УЧЕБНОГО ПРОЦЕССА, ОБУСЛОВЛЕННЫХ ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ 2D И 3D ГРАФИКИ

, // Доклады Всероссийской научно-практической конференции «Инновационные процессы в сфере высшего профессионального образования», УрГПУ, г. Екатеринбург, 2007 г.

В условиях модернизации системы обучения повышаются требования как к качеству подготовки выпускника школы, так и к эффективности образовательной деятельности в целом. Одним из направлений реализации этих положений является процесс информатизации образования, предполагающий внедрение новых информационных технологий в эту область деятельности. Отмечая в целом значительный вклад ИКТ в школьное образование и подготовку будущих учителей математики, остановимся более подробно на изменениях в учебном процессе, обусловленных применением 2D и 3D графики.

При традиционном подходе к изучению курса стереометрии (без использования компьютера) учащийся, получивший только неполное среднее образование практически незнаком с этим разделом геометрии. Здесь, по-нашему мнению, возможны два пути изменения ситуации. Первый заключается в воплощении идее Ф. Клейна путем реализации фузионистского подхода в обучении геометрии. И второй путь, близкий первому, - более смелое использование элементов стереометрии (понятий, моделей) на уроках уже в 7-9х классах. Причем реализация обоих подходов наиболее эффективна с применением различных графических пакетов и предметно-ориентированного программирования [2].

Использование 2D и 3D графики привносит ряд изменений не только в структуру курса геометрии, но и в содержание учебного материала. Так до недавнего времени понятие «фрактал» было знакомо лишь узкому кругу специалистов. Однако, на XIV Международной конференции «Математика. Компьютер. Образование» в своем докладе «Современное образование и глобальные проблемы» отметил, что настало время «осовременить» школьный курс геометрии, в частности, с помощью простейших геометрических примеров ввести понятие «фрактал». Тем более что современные компьютерные технологии позволяют создавать программы, демонстрирующие графическое изображение фрактальных структур. В качестве примера приведем элективный курс «Фракталы» с компьютерной поддержкой, реализованной в среде программирования Borland Delphi 7, разработанный в Томском государственном университете систем управления и радиоэлектроники [3, с.124].

2D и 3D графика вносит ряд изменений и в методы обучения. Например, можно совершенствовать метод моделирования геометрических тел, создавая виртуальные модели. В силу сложности строения изучаемых объектов (звездчатые многогранники, «седло») зачастую отсутствует возможность создавать их материальную модель. Решение этой проблемы авторы видят в использование компьютерной графики. В программе «Эмка» (, C++, OpenGL) представлено построение сети многогранника, с помощью которых проводится доказательство теоремы Эйлера [1].Рассмотрим другой пример. Изучение 4-мерных геометрических тел затруднительно в силу отсутствия возможности работать с их материальными моделями. Но становится возможным представить их по проекциям на гиперплоскость, демонстрируемым компьютерной программой (автор [3, стр. 21]). С помощью этой программы очень красиво может быть решена задача 4-мерного куба.

Крайне редко используются 2D и 3D графика в дидактических играх. Однако, при наличии разнообразных изображений игра как организационная форма приобретает новые качества. Например, игра «Лабиринт» (автор [3, стр. 90]). Ее игровой замысел: развитие пространственного мышления обучающихся. Игровые действия: участник находится в виртуальном лабиринте (при этом у него нет точки обзора сверху). После прохождения им определенного маршрута участнику требуется восстановить на предложенной двумерной карте его путь. Возможно выполнение задачи, обратной первой. В работе [1] описана другая компьютерная игра. «Путешествие в страну «Многогранников» (C++, OpenGL). Во время игры обучающиеся знакомятся с понятием «двойственность фигур», «звездчатый многогранник» и др.

ИКТ создает большие возможности в формировании персонального когнитивного стиля. В частности, посредством различным мультимедийных средств (2D и 3D графика, звук, гипертекстовая форма) становится возможно разработка учебных текстов с учетом различных стилей кодирования информации: предметно-практического, визуального, словесно-речевого, сенсорно-эмоционального, что, в конечном счете, способствует индивидуализации процесса обучения.

Говоря о практическом использовании ИКТ в школе и вузе, обращает на себя внимание тот факт, что на сегодняшний день этот вопрос недостаточно исследован. Опрос, проведенный среди преподавателей математических дисциплин вузов Орла, Курска, Брянска, Железногорска, Тулы показал, что лишь 41,9% из них используют компьютерные средства в преподавании [3, стр. 267], а среди учителей Екатеринбурга и Омска эта доля составляет 23,7%. Как видим, исследование проводилось только по одному из двух направлений (т. е. либо в школе, либо в вузе). Хотелось бы отметить и тот факт, что в большинстве публикаций по вопросу использования ИКТ акцент ставится на отсутствие методического обеспечения существующих компьютерных средств. По-нашему мнению, следует обратить внимание как на количество, так и на качество уже имеющихся. Например, часто электронный учебник является просто копией «бумажного» варианта и содержит грубые ошибки в изображениях геометрических фигур.

Рассмотрим некоторые компьютерные разработки, используемые при обучении геометрии. В настоящее время имеет широкое применение проект «открытая математика», содержащий электронный учебник, интерактивный конструктор для решения задач на построение, звуковое сопровождение. С помощью предлагаемого инструментария осуществляется более детальная проработка изучаемого материала [4]. Не менее популярными являются пакеты Mathcad и Maple. Другой полезный графический редактор – 3D STUDIO MAX, преобретающий в последнее время все большую популярность. На математическом факультете УрГПУ на занятиях студии «Геометрия – Компьютер - Геометрия» ребята (школьники и студенты), используя полученные знания об этом пакете, закрепляют их как на математическом, так и на материале других предметных дисциплин. Результатом работы стали исследовательские проекты по созданию динамических иллюстраций к электронным курсам по экологической этике и геологии. В настоящее время один их проектов представлен на городском конкурсе школьников.

Литература:

1.  Ильиных компьютерная игра в процессе изучения правильных многогранников [Текст] / , // Проблемы математического образования в педагогических вузах на современном этапе: Тезисы докладов XI научно-практической конференции вузов Уральской зоны. апрель 2006 г. – Челябинск, ЧГПУ, 2006.

2.  Мамалыга из аспектов развития пространственного мышления [Текст] / // Проблемы вузовской подготовки педагогической и математической подготовки специалиста: Материалы Всероссийской научно-практической конференции, посвященной 65-летию со дня рождения доктора педагогических наук, профессора . июль, 2003 г. – Пермь, ПГПУ, 2004.

3.  Материалы XIV Международной конференции «Математика. Компьютер. Образование». Январь 2007. – Пущино, 2007.

4.  Никифорова, М. А. [Текст] / // Математика в школе, № 3, 2003 г.