Понятие предела функции. Непрерывность.

Окрестностью точки a называется интервал . Число h при этом называется радиусом этой окрестности (Рис.1.1).

Проколотой окрестностью точки a называется такая окрестность точки a, из которой удалена сама точка a (Рис.1.2).

Число b называется пределом функции в точке a (при ), если для любого найдется выколотая окрестность точки a, в которой выполняется неравенство . В этом случае пишут

Число b называется пределом функции при или при , если для любого найдется луч соответственно или , на котором выполняется неравенство . В этом случае пишут

или .

Замечание: если , то в этом случае пишут .

Свойства предела функции:

Теорема 1. Функция не может иметь двух различных пределов при (, ).

Теорема 2. Предел постоянной функции при (, ) равен самой этой постоянной.

Теорема 3. Пусть существуют пределы и .

Тогда:

а) ;

б) ;

в) если , то .

Из равенства (2) и свойства 2 следует, что, если с – постоянная, то

.

Замечание: для случаев , и свойство 3 формулируется аналогично.

Примеры, иллюстрирующие понятие предела функции в точке и на бесконечности приведены на рисунках 2.1 –2.8.

Непрерывность функции.

На рисунках 3.1 – 3.4 изображены графики четырех функций:

 

Функция, график которой изображен на рис. 3.1, не определена в точке a; функция, график которой изображен на рис. 3.2, определена в точке a, но не имеет предела в этой точке; функция, график которой изображен на рис. 3.3, определена в точке a, имеет в точке a предел, но этот предел не совпадает с ее значением в этой точке. Такие функции называют разрывными в точке a. Функция, график которой изображен на рис. 3.4, определена в точке a, имеет в точке a предел, и этот предел совпадает со значением функции в этой точке. Такие функции называют непрерывными в точке a.

Функция называется непрерывной в точке a, если выполняется условие .

Функция называется непрерывной на интервале (a; b), если она непрерывна в каждой точке этого интервала.

Разность называется приращением аргумента при переходе от к x (иначе: приращением аргумента в точке ).

Разность называется приращением функции при переходе от к x.

Если функция непрерывна в точке , то при .

Таким образом, если функция непрерывна в точке , то .

1. Докажем, что .

Решение.

Пусть >0, тогда для всех x из окрестности точки a

, т. к. б. м.ф.

2.

Решение.

Рассмотрим разность

3.

Решение.

т. е. если , т. е. для всех x: или проколотая окрестность точки х=3 (из определения), значит, .

4. Доказать, что .

Пример 1. Вычислите .

Решение

Функция непрерывна в точке , следовательно

, откуда

Ответ: 2

Пример 2. Вычислите .

Указание

См. решение примера 1.

Ответ: 1,4.

Пример 3. Вычислите .

Решение

Функция разрывна в точке .

Заменим ее функцией g(x), непрерывной в точке и совпадающей с функцией в некоторой проколотой окрестности точки . Тогда (см. Рис.2.3).Имеем:

.

Ответ: .

Пример 4. Вычислите .

Решение

Ответ: .

Пример 5. Вычислите .

Решение

Пусть , тогда , откуда .

Так как функция в точке непрерывна, то при .

Окончательно имеем:

Ответ: .

Пример 6. Вычислите .

Решение

Ответ: .