Эйнштейн и принцип Гамильтона

ЭЙНШТЕЙН И ПРИНЦИП ГАМИЛЬТОНА

Криворуцкий

(Для краткости обозначим «плотность энергии-импульса» как «ЕИ».)

Аннотация. Показано, что смешанный псевдотензор Эйнштейна ЕИ , полученный с использованием принципа Гамильтона, входит в семейство неоднозначных смешанных псевдотензоров ЕИ , которые удовлетворяют уравнениям и соответствуют идентичному постоянному 4-импульсу изолированной физической системы. Контравариантный псевдотензор Фрейда ЕИ, преобразованный из смешанного псевдотензора Эйнштейна ЕИ, также входит в семейство неоднозначных контравариантных псевдотензоров ЕИ которые удовлетворяют уравнениям, и соответствуют идентичному постоянному 4-импульсу изолированной физической системы. Согласно закону сохранения 4-момента изолированной физической системы необходимо выбрать в указанном семействе псевдотензор ЕИ, симметричный по индексам и . Выражение для этого псевдотензора ЕИ дается в данной работе.

ВВЕДЕНИЕ

Как известно, вариационный принцип Гамильтона – принцип наименьшего действия – приводит в ньютоновой механике к сохранению энергии, 3-мерного импульса и момента изолированной физической системы (ИФС) [1]. В 1916 году А. Эйнштейн написал статью «Принцип Гамильтона и общая теория относительности» [2]. Используя принцип Гамильтона, он получил выражение для смешанного псевдотензора ЕИ и показал, что 4-мерный импульс ИФС сохраняется (= 0,1,2,3). Существенно, что в ИФС он включил её материю и её гравитационное поле (ГП). Позднее, Р. Толмен использовал уравнения связи материи с кривизной 4-пространства (уравнения Эйнштейна) и преобразовал псевдотензор ЕИ в псевдотензор ЕИ, формально не зависящий от материи [3]. Ф. Фрейд преобразовал псевдотензор ЕИ, в более компактный псевдотензор ЕИ, который широко используется в научных работах [4].

Однако, контравариантный псевдотензор ЕИ, полученный С. Моллером из смешанного псевдотензора ЕИ, не симметричен относительно индексов и . Это противоречит закону сохранения 4-момента ИФС [6]. Поэтому возникает вопрос о корректности самого метода Эйнштейна. Чтобы ответить на этот вопрос, мы кратко проанализируем работы [2], [4] и [5].

§ 1. Анализ работы [2] . Напомним кратко эту работу. Состояние материи и ГП определяется суммой действия материи и действия ГП

= (1.1)

где: - бесконечно малый элемент объема 4-пространства; - детерминант метрического тензора; - 4-мерная плотность действия (лагранжиан) материи, зависящая от компонентов метрического тензора , , физических величин , определяющих состояние материи, и их первых производных; лагранжиан ГП, равный

- (1.2)

где: - коэффициент Эйнштейна; - символ Кристоффеля, зависящий от компонентов метрического тензора , и их первых производных , .

Используя вариационный принцип Гамильтона относительно действия , Эйнштейн получил следующие уравнения (уравнения Лагранжа)

; (1.3)

где: , ; , .

Далее, чтобы избежать сложных преобразований в работе [2], давайте использовать метод Л. Ландау и Е. Лифшица из работы [6]. С учетом выражений (1.3) получаем окончательный результат варьирования (см. приложение 1)

= + ; (1.4)

Выражение (1.4) можно рассматривать как псевдо-тензорное уравнение, имеющее вид

(1.5)

где: при и при ; - функция, соответствующая условию

; () ; (1.6)

Примем еще одно условие

= ; (1.7)

где: - 3-объем ИФС; . [В (1.7) учтено, что ].

Если , то уравнение (1.5) можно записать как , где - смешанный псевдотензор ЕИ, полученный Эйнштейном, который имеет вид

(1.8)

= ; = - ;

где: - тензор ЕИ материи; - псевдотензор ЕИ ГП.

Выражение для 4-импульса IPS имеет вид

(1.9)

где - скорость света.

Существенно, что псевдотензор Эйнштейна ЕИ неоднозначен. Действительно, если , то уравнение (1.5) можно записать, как, где смешанный псевдотензор ЕИ имеет вид

(1.10)

Очевидно, с учетом условия (1.7) псевдотензор ЕИ соответствует идентичному 4-импульсу ИФС

=+== (1.11)

Итак, метод Эйнштейна приводит к псевдо-тензорному уравнению , которое имеет вид (1.5). Существует семейство неоднозначных смешанных псевдотензоров ЕИ , которые удовлетворяют уравнениям и соответствуют идентичному постоянному 4-импульсу ИФС. Полученный Эйнштейном смешанный псевдотензор ЕИ входит в указанное псевдо-тензорное семейство.

В дальнейшем, давайте рассматривать ИФС с неподвижным центром масс, совпадающим c центром координатной системы, и выражение для 4-импульса должно иметь вид

= ; (1.12)

где: - масса ИФС; , если ; , если .

§2. Анализ работ [4,5]. Контравариантный псевдотензор Фрейда ЕИ, полученный С. Моллером преобразованием смешанного псевдотензора Фрейда ЕИ , соответствует выражениям [5]

= (2.1)

= ; (2.2)

(2.3)

где: .

Существенно, что контравариантный псевдотензор ЕИ несимметричен по индексам (см. приложение 2).

(2.4)

Контравариантный псевдотензор Фрейда ЕИ соответствует постоянному 4-импульсу ИФС. С учетом (2.1-3) его выражение имеет вид

==; (2.5)

где: [В (2.5) учтено, что ].

Существенно, что псевдотензор ЕИ неоднозначен. Действительно, рассмотрим псевдотензоры ЕИ, в которых функции , удовлетворяют условиям

(); (2.6)

= (2.7)

Учитывая условия (2.3), (2.5), (2.6) и (2.7), имеем

(2.8)

== = (2.9)

Таким образом, контравариантный псевдотензор Фрейда ЕИ входит в семейство неоднозначных контравариантных псевдотензоров ЕИ=, которые удовлетворяют уравнениям и соответствуют идентичному постоянному 4-импульсу ИФС.

В дальнейшем, давайте рассматривать ИФС с неподвижным центром масс, совпадающим с центром координатной системы, и выражение для 4-импульса ИФС должно иметь вид

(2.9)

где: при при .

§3. Согласно закону сохранения 4-момента ИФС необходимо выбрать в упомянутом выше семействе неоднозначных контравариантных псевдотензоров ЕИ псевдотензор ЕИ, симметричный по индексам и . Используя метод работы , выделим этот псевдотензор ЕИ из контравариантного псевдотензора Фрейда ЕИ. Cначала представим псевдотензор ЕИ следующим образом (см. приложение 2).

= - (3.1)

где:

(3.2)

; (3.3)

В приложении 2 показано, что псевдотензор ЕИ симметричен по индексам и . В приложении 2 также показано, что псевдотензор несимметричен по индексам и . В приложении 3 показано, что функция удовлетворяет условиям (2.6-7). И, наконец, в приложении 3 показано, что псевдотензор ЕИ удовлетворяет уравнению и соответствует выражениям (2.8-9), т. е. соответствует идентичному постоянному 4-импульсу ИФС. Таким образом, искомый псевдотензор ЕИ имеет вид

= = (3.4)

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Метод Эйнштейна, использующий принцип Гамильтона для получения выражения псевдотензора ЕИ, является обоснованным. Но следует учитывать:

1. Указанный метод Эйнштейна непосредственно приводит не к псевдотензору ЕИ , а к псевдо-тензорному уравнению (1.5). Существует семейство неоднозначных смешанных псевдотензоров ЕИ , которые удовлетворяют указанному уравнению (1.5) и соответствуют идентичному постоянному 4-импульсу ИФС. Разумеется, псевдотензор Эйнштейна ЕИ входит в это семейство неоднозначных псевдотензоров ЕИ .

2. Несимметричный контравариантный псевдотензор Фрейда ЕИ, полученный преобразованием смешанного псевдотензора Эйнштейна ЕИ, входит в семейство неоднозначных контравариантных псевдотензоров ЕИ , которые удовлетворяют псевдо-тензорному уравнению и соответствуют идентичному постоянному 4- импульсу ИФС.

3. Согласно закону сохранения 4-момента изолированной физической системы необходимо выбрать в указанном выше семействе контравариантный псевдотензор ЕИ, симметричный относительно индексов и . Выражение для этого псевдотензора получено в работе [7] и имеет вид (3.4).

Приложение 1 . С учетом выражений (1.3), и получаем

++ = +

++ + = + (П1.1)

Приложение 2. Из выражения получаем

= = =

= = =

=-= - ; (П2.1)

где:

= ; (П2.2)

(П2.3)

; (П2.4)

Таким образом, псевдотензор удовлетворяет уравнению . Аналогично, псевдотензор удовлетворяет условию (2.6).

Далее, в работе показано, что псевдотензор симметричен, а псевдотензор несимметричен по индексам . Рассмотрим это детальнее. Предварительно заметим

= или (П2.5)

Положим

= (); ; (П2.6)

Напомним, что функции являются двойными суммами по индексам и не изменяются перестановкой этих индексов. Далее, члены суммы симметричны по индексам и потому сумма симметрична по индексам .

Сумма также симметрична по индексам . Действительно, перестановкой индексов сумма преобразуется в сумму = , которая с учетом (П2.5) и перестановки индексов равна

= = = = (П2.7)

(Из (П2.7) следует, что перестановкой индексов каждый член суммы преобразуется в другой член суммы . Например, член преобразуется в член = . Поэтому перестановкой индексов сумма не изменяется.) Таким образом, контравариантный псевдотензор ЕИ симметричен по индексам

Теперь покажем, что псевдотензор несимметричен по индексам . Положим

= (П2.8)

(П2.9) .

Члены суммы симметричны по индексам и потому сумма также симметрична по индексам .

Сумма (подобно сумме ) также симметрична по индексам .Действительно, перестановкой индексов сумма преобразуется в сумму = , которая с учетом (П2.5) и перестановки индексов равна

= = = (П2.10)

При этом, каждый член суммы преобразуется в другой член суммы . Например, член преобразуется в член , также входящий в сумму .

Члены сумма перестановкой индексов преобразуется в члены, не входящие в сумму. Например, член преобразуется в член, который не входит в сумму . Таким образом, сумма и псевдотензор несимметричны по индексам .

Приложение 3. . Рассмотрим ИФС с неподвижным центром масс, совпадающим с центром координатной системы. Согласно теореме Гаусса выражение для 4-импульса ИФС имеет вид

= = (П3.1)

где: - компонента бесконечно малого элемента сферической поверхности, охватывающей ИФС; .

На больших расстояниях от центра масс () интервал имеет вид [8]

; (П3.2)

где: - радиус сферы; .

Согласно (П3.2) выражения для ковариантных компонентов метрики имеют вид

; (П3.3)

где , .

Из выражений (П3.3) следует выражение для метрического детерминанта

; (П3.4)

Из уравнений и выражений (П3.3) следуют выражения для контравариантной метрики :

; (П3.5)

Из выражений (2.2) и (П3.3-5) следует выражение для функции

=

(П3.6)

где ; .

Аналогично, из (3.2) и (П3.3-5) следует выражение для функции

= (П3.7)

. Учитывая, что и , мы получаем выражение для 4-импульса ИФС

== =; (П3.8)

Далее, находим при

= = (П3.10)

Таким образом, условия (2.6) и (2.7) выполняются.

Литература:

1. и . Механика. Главы 1-2. Москва. 1965.

2. A. Einstein, Sitzungsber. Preuss. Akad. Wiss. 2, 1

3. R. Tolman, Relativity, Thermodinamics, and Cosmology, (Oxford, Clarendon Press, 1969).

4. Ph. Freud, Ann. of Math. 40,

5. C. Moller. “The theory of relativity”. Clarendon Press Oxford. 1972. Chapter 11.12.

6. и . Теория поля §32. Москва. Наука. 1967

7. , ДНР 2007. ВИНИТИ РАН. Москва.2007.

8. и . «Теория поля». (97.18). Москва. Наука. 1967.