Нелинейные уравнения локальной нестационарности в безразмерных переменных в зоне прыжкового сопряжения

,

Нелинейные уравнения локальной нестационарности в безразмерных переменных в зоне прыжкового сопряжения

Настоящая статья преследует цель преобразования полученных в (1,2) уравнений к виду удобному для дальнейшего определения метода и способа их решения, а также проведения исследования их на фазовой плоскости.

В предыдущих публикациях отмечалось, что даже в случае установившегося режима поступления расхода в нижний бьеф в области прыжка имеет место неустановившийся колебательный режим течения и уравнение сопряженных глубин имеет место только в случае увеличения периода временного сглаживания (1,2).

Рассмотрим основную систему дифференциальных уравнений нестационарного режима движения потока в зоне прыжкового сопряжения, приведенную в (1), где также приведены принятые условные обозначения и поэтому в целях ограниченности объема публикаций здесь не приводятся

l2/ (3gĥ2) d(h2dh2/dt)/dt + q22/(gh2) – q21/(qh1) + (h22-h21) =

2l/3 dh2/dt = q1 – q

Выразим

q2 = q1 – 2/3 l dh2/dt, подставим это выражение в уравнение (1), получим

l2/(3gĥ2) d(h2 dh2/dt)/dt + (q1 – 2/3 l dh2/dt)2/gh2 – q21/(gh1) + (h22-h21)/2 = 0,

или

l2/(3gĥ2) d(h2 dh2/dt)/dt+(q21 – 4lq1/3 dh2/dt+4/9 l2(dh2/dt)2)/gh2–q21/(gh1)+(h22-h21)/2 = 0

Раскрыв скобки, и произведя сокращения подобных членов уравнения, получим

l2/(3gĥ2) d(h2 dh2/dt)/dt –4/3 lq1/(gh2) dh2/dt + 4/9 l2/(gh2) (dh2/dt)2 +(h22 – h21)/2 =

Полученное уравнение (3) представим в безразмерном виде, нормировав на длину прыжка l и √(l/g).

Перепишем уравнение (3) в следующем виде

l2h2/(3gĥ2) d2h/dt2+q21/(gh2)–4/3 lq1/(gh2) dh2/dt+4/9 l2 (gh2) (dh2/dt)2 – q11/(gh1) +

+(h22-h21)/2 =

Разделим почленно уравнение (4) на l2h2/(3gĥ2), получим

d2h2/dt2 + 3gĥ2/(l2h2) q21/(gh2) –4/3 gĥ2/(l2h2) 3lq1/(gh2) dh2/dt + 4/9 gĥ2/(l2h2) 3l2/(gh2) (dh2/dt)2 – 3gĥ2/(l2h2) q21/(gh1) + 3gĥ/(l2h2) (h22 – h21)/2 =

После проведения необходимых сокращений в уравнении (5), получим

d2h2/dt2 + 3ĥ2/(l2h22) q21 - 4ĥ2/(lh22)q1 dh2/dt + 4/3ĥ2/h22(dh2/dt)2-3ĥ2/(l2h2h1)q21+ +3gĥ2/(l2h2)(h22 – h21)/2 =

В уравнении (6) положим, что h3kp = q21/g , тогда имеем следующее выражение

d2h2/dt2 + 3gĥ2/(l2h22) h3kp – 4q1ĥ2/(l2h2) dh2/dt + 4/3ĥ2/h22 (dh2/dt)2 – 3gĥ2/(l2h2h1) h3kp +

+ 4/3ĥ2/h22 (dh2/dt)2 – 3gĥ2/(l2h2h1) h3kp + 3gĥ2/(l2h2) (h22 – h21)/2 =

Зная, что h2 = ĥ2 + ζ , перепишем выражение (7).

Тогда получим

d2(ĥ2+ζ)/dt2+3gĥ2/l2 h3kp/(ĥ2+ζ) – 4q1ĥ2/(l(ĥ2+ζ)2) d(ĥ2+ζ)/dt + 4ĥ2/(3(ĥ2+ζ)2) (d(ĥ2+ζ)/dt)2 –3g(ĥ2+ζ)/(ĥ2+ζ)/(l2h1)h3kp + 3gĥ2/l2/(ĥ2+ζ) ((ĥ2+ζ)2 – h21)/2) = 0,

или

d2ζ/dt2+3gĥ2h3kp/l2/(ĥ22(1+ζ/ĥ2)2–4q1ĥ2/(lĥ22)/(1+ζ/ĥ2)2 dζ/dt + 4ĥ2/(3ĥ22)/(1+ζ/ĥ2)2 (dζ/dt)2 – 3gh3kp/(l2h1) + 3gĥ2/(l2ĥ2)/(1+ζ/ĥ2) (ĥ22 + 2ĥ2ζ + ζ2 – h21)/2 = 0.

Проведем проверку на размерность полученного выражения

m/c2+(m m m3)/(c2 m2 m2) – (m2 m m)/(c m m2 c) + (m m2)/(m2 c2) – (m m3)/(c2 m2 m) +

+ (m m m2)/(c2 m2 m).

Проведенная проверка полученного выражения показало, что размерность не нарушена.

Тогда переписав его, имеем

d2ζ/dt2 + 3gh3kp/(l2ĥ2)/(1+ζ/ĥ2)2 – 4q1/(lĥ2)/(1+ζ/ĥ2)2 dζ/dt + 4/(3ĥ2)/(1+ζ/ĥ2)2 (dζ/dt)2 –

-3gh3kp/(l2h1) + 3g/(l2(1+ζ/ĥ2) (ĥ22 + 2ĥ2ζ + ζ2 – h21)/2 =

В уравнении (8) положим, что l = 3ĥ2, тогда

d2ζ/dt2 + 3gh3kp/(9ĥ22ĥ2)/(1+ζ/2)2 – 4q1/(3ĥ22)/(1+ζ/ĥ2)2 dζ/dt + 4/(3ĥ2)/(1+ζ/ĥ2)2 (dζ/dt)2 –

- 3gh3kp/(9ĥ22h1) + 3g/(9ĥ2)/(1+ζ/ĥ2) (ĥ22 + 2ĥ2ζ + ζ2 – h21)/2 =

Проведем очередную проверку размерности полученного уравнения (9)

m/c2 + m m3/(c2 m2 m) – m2 m/(c m2 c) + m2/(m c2) – m m3/(c2 m2 m) +

m m2/(c2m2) = m/c2.

Уравнение (9) приведем к безразмерному виду нoрмировав на ĥ2 и √ĥ2/g, получим

d2ζ/dt2 + 3gh3kp/(9ĥ22ĥ2)/(1+ζ/ĥ2)2 – 4q1/(3ĥ22)/(1+ζ/ĥ2)2 dζ/dt + 4/(3ĥ2)/(1+ζĥ2)2 (dζ/dt)2 – h3kp/(3ĥ2h1) + 1/(3ĥ22)/(1+ζ/ĥ2) (ĥ22/2 + ĥ2ζ + ζ2/2 –h21/2) =

Избавимся от рациональности, произведя необходимые разложения, имеем

d2ζ/dt2 + h3kp/(3ĥζ/(3ĥ2) + ζ2/(2422)) – 1h3/2kp/(3ĥ3/– ζ/(3ĥ2) + ζ2/(2422) dζdt –

h3kp/(3ĥ22h1) + 1/(3ĥ– ζ/ĥ2 + ζ2/(24ĥ22)) (ĥ22/2 + ĥ2ζ + ζ2/2 – h21) + 4/(3ĥ2)

(1 – ζ/(3ĥ2) + ζ2/(24ĥ22) (dζ/dt)2 =

Раскрыв скобки, получим

d2ζ/dt2 + h3kp/(3ĥ32) – ζ h3kp/(9ĥ42) + ζ2h3kp/(72 ĥ52) – (4h3/2kp/(3ĥ3/ζ h3/2kp/(9ĥ5/22) +

+ ζ2h3/2kp/(18ĥ7/22)) dζ/dt + (4/(3ĥ2) - 4ζ/(9ĥ22) + ζ2/(18ĥ32) (dζ/dt)2 – h3kp/(3ĥ22h1) + ĥ22/(6ĥ22) + ĥ2ζ/(3ĥ22) + ζ2/(6ĥ22 – h21/(6ĥ22) – ζĥ22/(18ĥ32) – ζ2ĥ2/(9ĥ32) – ζ3/(18ĥ32) + ζh21/(18ĥ32) + ζ2ĥ22/(12ĥ42) + ζ3ĥ2/(6ĥ42) + ζ4/(12ĥ42) – ζ2h21/(12ĥ42) =

Исходя из условий не возмущений в уравнении (12), исключим члены (h3kp/(3ĥ32); ĥ3kp/(3ĥ22h1); ĥ22/(6ĥ2); -h21/(6ĥОдновременно решение полученного уравнения будем проводить методом малого параметра. Примем за малый параметр μ = 1/ĥ2 (3),тогда уравнение (12) перепишется

d2ζ/t2 – μ4(h3kp/9ζ) + μ5(h3kp/72)ζ2 - μ3/2(4h3/2kp/3) dζ/dt + μ5/2(4h3/2kp/9)ζ dζ/dt – μ7/2(h3/2kp/18)ζ2 dζ/dt + μ 4/3 (dζ/dt)2 – μ2 4/9ζ (dζ/dt)2 + μ3 1/18 ζ2 (dζ/dt)2 + μ2 1/6ζ2 –

μ2 1/18ζ – μ2 1/9ζ2 – μ3 1/18ζ3 + μ3 h21/18ζ + μ2 1/12ζ2 + μ3 1/6ζ3 + μ4 1/12ζ4 – μ4 h21/12ζ2 + μ 1/3ζ =

Произведем алгебраические преобразования в уравнении (13), получим

d2ζ/dt2– μ3/2(4h3/2kp/3) dζ/dt+μ 4/3(dζ/dt)2 – μ2 4ζ/9 (dζ/dt)2 + μ2 5ζ2/36–μ2 ζ/18+μζ/3 = 0,

или

d2ζ/dt2–μ2(4ζ /9(dζ/dt)2-5ζ2/36+ζ/18) – μ3/2 (4h3/2kp/3 dζdt) + μ(ζ/3 +4 (dζ/dt)2) =

Полученное уравнение и есть нелинейное уравнение локальной нестационарности в зоне прыжкового сопряжения в безразмерном виде.

Метод и способ решения, а также получение фазового портрета и первых количественных результатов уравнения (14) будут представлены в последующих публикациях.

Библиографический список

1.  Землянникова нелинейные уравнения локальной нестационарности. Сборник материалов Всероссийской научно - технической конференции «Экологическая устойчивость природных систем и роль природообустройства в ее обеспечении». М.: МГУП. 2003. С.136-137.

2.  Землянникова локальной нестационарности при прыжковых сопряжениях. Сборник материалов Всероссийской научно-технической конференции «Экологическая устойчивость природных систем и роль природообустройства в ее обеспечении». М.: МГУП. 2003. С. 137-138.

3.  Найфэ возмущений. М.. 1976.