В. И. ЧМЫРЁВ, В. В. ЗУЕВ1, Э. В. ЛАРИНА
Институт общей и неорганической химии им. РАН
1Московский инженерно-физический институт (государственный университет)
Численное моделирование кинетических уравнений термостимулированных токов
для взаимодействующих уровней ловушек
Показано, что задача определения концентрации электронов в зоне проводимости и концентрации электронов на уровнях ловушки по кривым термостимулированных токов (ТСТ) при m взаимодействующих уровней в неявной разностной схеме численного решения дифференциальных уравнений сводится к определению корней алгебраического уравнения степени m + 1.
Предположим, что в запрещенной зоне полупроводника существуют m (m > 2) дефектных уровней электронных (дырочных) ловушек с глубиной залегания Ei, концентрацией Ni и сечением захвата зарядоносителя Si. Пусть эти ловушки заполнены электронами (дырками) полностью или частично при столь низкой температуре, что в зонах практически нет свободных носителей. Нагревание образца инициирует переход носителей из замороженного состояния в равновесное через зону проводимости (валентную), порождая электрический – термостимулированный ток (ТСТ). Кривая ТСТ несет информацию о параметрах дефектных уровней полупроводника.
В [1] рассмотрена многоуровневая задача в предположении, что уровни не взаимодействуют. Кривая ТСТ в таком случае представляет собой аддитивную сумму проводимостей, вносимых каждым уровнем. Здесь мы будем предполагать, что уровни взаимодействуют друг с другом, то есть носитель заряда, возбужденный в зону проводимости (валентную зону) c уровня i с энергией Ei, может сесть на любой уровень или рекомбинировать с дыркой (электроном) прямо или через рекомбинационный центр, что мы будем характеризовать временем рекомбинации tr, а кривая ТСТ будет в этом случае представлять некий образ, характеризующий все взаимодействующие уровни.
Будем рассматривать только электронные уровни. В этом случае многоуровневую модель описывает следующая система дифференциальных уравнений:
,
, (i = 1, 2,... m).
Здесь: ni – концентрация зарядоносителей на ловушках i; nc – концентрация электронов в зоне проводимости; T – текущее значение абсолютной температуры; t – время; Nci – эффективная плотность зонных состояний i‑го уровня. Введем для этой системы m взаимодействующих уровней упрощающие обозначения:
, 
.
Здесь: xi = ni, yi = nc, 
, 
, 
, 
.
Заметим, что все коэффициенты ai, bi, ci, di в общем случае зависят от температуры T, но явно от времени не зависят. Кроме того, коэффициенты ai, ci, di имеют огромную отрицательную величину в уравнениях, а в таком случае эта система уравнений является жесткой и для её решения можно воспользоваться неявной разностной схемой Эйлера [1]. С учетом сделанных пояснений запишем разностную схему для выше написанной системы дифференциальных уравнений.
(1) → xi1 = xi0 + h (– ai xi1 + bi y11 – ci xi1y11),
(2) → y11 = y10 – hd1 y11 – hΣi xi1
Здесь: хi = хi0 = ni0; y1 = y10 = nc0, при t = 0; ni0 – концентрация электронов на уровне ловушек; nc0 - концентрация электронов в зоне проводимости в начальный момент времени. В (1), (2) первый значок при неизвестных относится к самому неизвестному, а второй – к номеру шага i. Полученная алгебраическая система m + 1 уравнений с m + 1 неизвестными решается обычными методами. Из (1) следует:
(3)→
.
Подставляя это выражение в (2), получим:
(4)→
.
Из уравнения (4) видно, что для m взаимодействующих уровней имеем алгебраическое уравнение степени m + 1 и задача сводится к определению корней этого уравнения. Подставляя y11 в (3) получим концентрацию электронов на уровне ловушки.
Таким образом, мы имеем алгоритм определения концентрации электронов в зоне проводимости для m взаимодействующих уровней и концентрации электронов на уровне ловушки.
Список литературы
1. , И., , Ларина . мат. 2002. Т.38. №8. С.903–936.
