«Лист Мёбиуса»

«ЛИСТ МЁБИУСА»

,

, научный руководитель, учитель математики.

МОУ «Средняя общеобразовательная школа с углубленным изучением отдельных предметов №8»

г. Вологда

Введение

Цели

1.  Узнать о листе Мёбиуса и о его использовании в настоящее время

2.  Приобрести некоторые знания в разделе математики – топологии

3.  Определить творческую направленность листа Мёбиуса

Задачи

1.  Рассмотреть лист Мёбиуса в топологии и изучить его свойства

2.  Познакомиться с применением ленты Мёбиуса в различных областях

Актуальность: Широкое практическое применение в промышленности, на транспорте, в архитектуре и в быту. Лист Мёбиуса востребован, его применение развивается, и свойства не до конца изучены.

Основная часть

История создания

Лента Мёбиуса была обнаружена независимо немецкими математиками Августом Фердинандом Мёбиусом и Иоганном Бенедиктом Листингом в 1858 году.

Лист Мёбиуса и его изготовление

Это простейшая неориентируемая двумерная поверхность с краем, допускающая вложение в трёхмерное Евклидово пространство.

Топология

Топология – наука, изучающая свойства фигур, не изменяющихся при любых деформациях, производимых без разрывов и склеиваний.

Различные источники находят первые топологические по духу результаты в работах Эйлера, Жордана, Кантора, Пуанкаре.

Приблизительно с 1925 по 1975 годы топология являлась сильно развивающейся отраслью в математике.

Разделы топологии

1.  Общая (теоретико-множественная) топология - раздел топологии, в котором изучается понятие непрерывности в чистом виде. Здесь исследуются фундаментальные вопросы топологии, а также отдельные вопросы, такие как связность и компактность.

2.  Алгебраическая (комбинаторная) топология - раздел, в котором происходит изучение непрерывности с использованием алгебраических объектов, вроде гомотопических групп и гомологий.

3.  Дифференциальная топология - раздел, где главным образом изучаются гладкие многообразия с точностью до диффеоморфизма и их включения (размещения) в другие многообразия.

Топологические свойства листа Мёбиуса:

1.  Неориентируемость

2.  Связность.

3.  Односторонность. Лист Мёбиуса имеет только одну сторону.

4.  «Хроматический номер»- максимальное число областей, которые можно нарисовать на поверхности так, чтобы каждая из них имела общую границу со всеми другими. Хроматический номер листа Мёбиуса равен шести.

Свойства листа Мёбиуса

1.  Если разрезать ленту Мёбиуса посередине по линии, параллельной краю, то получится одна длинная лента с двумя полуоборотами («Афганская лента»).

2.  Если разрезать ленту Мёбиуса, отступая от края приблизительно на треть её ширины, то получится 2 ленты: более тонкая лента Мёбиуса и «Афганская лента».

3.  Если разрезать ленту Мёбиуса на четыре равные части параллельно её краю, то получится 2 ленты с двумя полуоборотами.

4.  Если разрезать ленту Мёбиуса шесть равных частей параллельно её краю, то получится 3 ленты с двумя полуоборотами, завязанные в узел.

5.  Если разрезать ленту Мёбиуса с тремя полуоборотами посередине по линии, параллельной краю, то получится лента, завитая в узел трилисника.

Применение листа Мёбиуса

1.  В промышленности: полоса ленточного конвейера и шлифовальная лента выполнялись в виде ленты Мёбиуса.

2.  В технике: были созданы особые кассеты для магнитофона, которые дали возможность слушать магнитофонные кассеты “с двух сторон”, не меняя их местами. В матричных принтерах красящая лента также имела вид листa Мёбиуса для увеличения срока годности.

3.  В искусстве: лист Мёбиуса служил вдохновением для скульптур и для графического искусства. Эшер был одним из художников, кто особенно любил его и посвятил несколько своих литографий этому математическому объекту. Лента Мебиуса применяется для показа фокусов в цирке.

Заключение

В процессе работы над проектом мы расширили свои знания по данной теме, рассмотрев практическое применение и свойства листа Мёбиуса, познакомились с разделом математики – топологией.

, , «Я познаю мир математика» Я. Стюарт, Топология, журнал «Квант»