Задача

53 Найти неопределенный интеграл

Применяли формулу интегрирования по частям

63 Найти площадь фигуры, ограниченной данными линиями

Решение:

Сделаем чертеж к данной задаче. Для чего построим указанные линии гипербола, прямая, .

Найдем точки пересечения данных линий. Для чего решим уравнения:

и

Значит фигура ограничена сверху функцией снизу функцией на интервале от 1 до 4.

Площадь

Ответ: .

73. Найти общее решение дифференциального уравнения.

. Это уравнение однородное решается с помощью подстановки , тогда . Подставим полученные выражения в уравнение полученное из исходного делением обеих частей на .

Ответ:

Составляем характеристическое уравнение

тогда

Ответ:

83 Исследовать сходимость числового ряда.

Решение:

. В этом задании и

Применим признак Даламбера. Найдем , так то ряд расходится по признаку Даламбера.

Ответ: ряд расходится.

93. Найти интервал сходимости степенного ряда

Решение:

Здесь .

Применим признак Даламбера. Найдем

Ряд сходится если или то есть .

Проверим сходимость на концах этого интервала при

Найдем предел значит в силу теоремы о необходимом условии сходимости данный ряд расходится.

Исследование при аналогично. Тоже получится, что предел n-ного члена при n стремящемся к бесконечности не равен нулю.

Ответ: ряд сходится при . На границах интервала он расходится.

103. С помощью рядов вычислить приближенное значение интеграла с точностью до 0,001

Разложим в степенной ряд arctgx, используя известное разложение:

, тогда

Почленно проинтегрируем данный ряд Ответ: