4. ПРОХОЖДЕНИЕ СИГНАЛОВ ЧЕРЕЗ ЛИНЕЙНЫЕ УСТРОЙСТВА
4.1. Динамические характеристики линейных устройств
4.1.1. Основные понятия и соотношения
Для линейных устройств (ЛУ) справедлив принцип суперпозиции. Различают два режима работы ЛУ - статический и динамический. Для описания работы реального линейного устройства (РЛУ) в динамическом режиме служат следующие характеристики.
1. Частотные характеристики.
1.1. Комплексный коэффициент передачи или комплексная частотная характеристика (рис.3.1.1)
 |  |
Рис.3.1.1 рис.3.1.2
, (3.1)
где Fx(jw) = Ф[x(t)] и Fy(jw) = Ф[y(t)] – преобразование Фурье (спектр) входного x(t) и выходного y(t) сигналов соответственно.
Функцию 
можно представлять в другой форме
, (3.2)
где 
- амплитудно-частотная характеристика (АЧХ);
- фазочастотная характерстика ( ФЧХ).
1.2. Передаточная функция (рис.3.1.2)
, (3.3)
где р=c+jw - комплексная частота; X(p) = L[x(t)] - изображение по Лапласу входного сигнала; Y(p) = L[y(t)] - изображение по Лапласу выходного сигнала.
Передаточную функцию К(р) можно получить из комплексного коэффициента передачи заменой jw на р, т. е. 
при 
.
Функция 
является аналитическим продолжением частотного коэффициента передачи 
с мнимой оси 
вещественных частот 
на всю плоскость комплексных частот 
.
Достаточно часто передаточная функция представляется отношением двух многочленов - 
.
Передаточная функция линейного четырехполюсника с постоянными параметрами может быть представлена в нуль-полюсном виде
, (3.3 а)
где 
- постоянная величина; 
и 
- нули и полюсы передаточной функции, причем число полюсов 
должно превышать число нулей 
.
Нули являются корнями уравнения 
, а полюсы - корнями уравнения 
. Для устойчивой цепи полюсы 
должны располагаться в левой полуплоскости комплексной частоты , образуя комплексно-сопряженные пары.
2. Временные характеристики.
2.1. Весовая или импульсная функция g(t), t>0 ¾ это реакция (или отклик) устройства на дельта-функцию d(t) или функцию Дирака Dirac(t) для Mathcad (рис.3.1.3). Для физически реализуемых устройств g(t)=0 при t<0.
 |
Рис.3.1.3
Эта функция связана простым соотношением с комплексным коэффициентом передачи К(jw), именно
(3.4)
или в операторной форме (обратное преобразование Лапласа)
. (3.5)
Зная в результате эксперимента весовую функцию g(t), можно определять или комплексный коэффициент передачи К(jw) или передаточную функцию К(р):
(3.6)
2.2. Переходная функция h(t), t>0 - это реакция устройства на единичную функцию 1(t) или функцию Хевисайда Ф(t) для Mathcad (рис.3.1.4). Для физически реализуемых устройств h(t)=0 при t<0.
 |
Рис.3.1.4
Связь между функциями h(t) и К(jw) определяется выражением
. (3.7)
Если учитывать только переменную (~) составляющую отклика (постоянной составляющей K(0)/2 пренебрегаем), то тогда связь между функциями h(t), К(jw) и К(р) принимает вид
|
|
|
|
ПРИМЕЧАНИЯ
1. Вычисление интегральных преобразований Фурье и Лапласа
Это вычисление значительно облегчается при использовании методов контурного интегрирования на плоскости комплексного переменного. При этом вычисление интеграла сводится к определению вычетов Res в полюсах подынтегральной функции.
2. Вычеты и контурные интегралы
Пусть f(z) есть функция комплексной переменной z=x+jy. Пусть эта комплексная функция аналитична в точке z=a, т. е. дифференцируема в некоторой окрестности точки a. Корни уравнения f(z)=0 называют нулями функции f(z). Нулю порядка m соответствует m одинаковых корней уравнения f(z)=0.
Точка z=a является особой, если в самой точке z=a функция f(z) неаналитична, а в ее окрестностях - аналитична. К особым точкам относятся полюса f(z). Точка z=a является полюсом, если 
. Точка z=a будет полюсом порядка r, если комплексную функцию можно представить в виде 
, где 
аналитична и 
.
Вычетом 
функции f(z) в точке z=a называется контурный интеграл вида
,
где C - контур, окружающий точку z=a. Стрелка показывает, что интеграл берется по пути C в направлении против часовой стрелки. Тогда интегрирование ведется внутри контура C и вычитается эта область.
При z=¥ вычет
,
где интегрирование проводится по часовой стрелке и соответствует области вне контура C. Следует отметить, что 
.
Если z=a¹¥ есть полюс порядка r, то вычет
. (3.10)
В частности, если z=a¹¥ - простой полюс (r=1) и f(z)=M(z)/ N(z), где M(z) и N(z) - аналитические функции в точке z=a, причем M(a)¹0, N(a)=0 и N¢(a)¹0, то вычет
. (3.11)
Вычислить интеграл по замкнутому контуру, охватывающему особые точки z1, z2,...,zn, позволяет теорема о вычетах
или в другой форме 
. (3.12)
Теорема вычетов позволяет также находить некоторые определенные интегралы от функций действительной переменной t вида:
, где m³0.
Для их вычисления следует применить формулу (3.12) к контуру, состоящему из интервала (-R, R) действительной оси и дуги CR окружности | z |=R в верхней полуплоскости. При R®¥, согласно лемме Жордана, можно отбросить интегралы по дуге CR.
Например, если при замене действительной переменной t на комплексную переменную z функция f(z) аналитична в верхней полуплоскости с учетом действительной оси, за исключением конечного числа особых точек zk, лежащих сверху от действительной оси, и уравнение f(1/ z)=0 имеет нулевые корни кратности m³2, то
. (3.13)
3. Вычисление обратного преобразования Лапласа
Если F(p) - алгебраическая функция и выражается отношением двух многочленов F(p)=M(p)/ N(p), причем степень многочлена M(p) выше степени многочлена N(p), то обратное преобразование
равно сумме вычетов функции 
по всем особым точкам (полюсам) функции F(p).
Для вычисления обратного преобразования Лапласа сначала находят корни pk уравнения N(p)=0, которые определяют полюсы F(p). Если корни уравнения простые (r=1), то N(p)=a0(p-p1)(p-p2)×××(p-pn) и обратное преобразование
(формула обращения). (3.14)
