Курс по выбору «Численные методы решения уравнений»

Курс по выбору «Численные методы решения уравнений»

Пояснительная записка

Данный курс является межпредметным, так как объединяет в себе знания основ вычислительной математики и информатики. Однако данный курс рассматривается нами как пробный, нацеленный на создание условий для учащихся приближенных к преподаванию предмета на профильном уровне в старшей школе.

Основной целью курса является организация предметных проб для учащихся по данному профилю (информационно-математический). Данные пробы способствуют утверждению в правильности выбора профиля успешных учеников и «исключению» тех, кто не справляется с ними.

Содержание курса представляет собой основы вычислительной математики, а конкретно – численные методы решений алгебраических и трансцендентных уравнений от одной переменной. В качестве доступных для данного возраста учащихся, рассматриваются метод перебора при поиске корней и метод половинного деления при уточнении корней. Для практической реализации алгоритмов этих методов используется среда MS Excel.

Курс «Численные методы решения уравнений» предназначен для учащихся 9-х классов в рамках предпрофильной подготовки и рассчитан на 10 часов.

Основной формой работы учащихся является самостоятельная практическая деятельность по реализации алгоритмов методов решения конкретных индивидуальных уравнений. Изложение содержание курса ориентировано на использование элективного мультимедиа-курса «Вычислительная математика и программирование,кл.», представленного на двух CD-дисках компании «1С: школа», 2004. Результатом курса является индивидуальная зачетная практическая работа, представляющая собой решенияалгебраических, 5 трансцендентных) уравнений методами перебора и половинного деления, представленная в MS Excel. Учащимся, не справившиеся с выполнением данной практической работы будет рекомендовано выбрать другой профиль для дальнейшего обучения в старшей школе.

Программа курса

«Численные методы решения уравнений»

Название темы	Количество часов
Всего	Теория	Практика
Уравнение одной переменной	1	1	-
Понятие численных методов	1	1	-
3. Численные методы решения уравнений с одним неизвестным	6	3	3
4. Индивидуальная работа над проектом	2	-	2

Планирование занятий курса

№ занятия	Тема	Содержание занятий/формы организации деятельности учащихся	Прогнозируемый результат
1	Уравнения с одной переменной	Определение уравнения. Алгебраические и трансцендентные уравнения. Корни уравнения. Аналитические и графические методы решения некоторых уравнений. Примеры различных видов уравнений.	Индивидуальная работа учащихся с электронным курсом «Вычислительная математика». Изучение теории вопроса и выполнение интерактивных заданий курса.	Четкое представление учащихся о видах уравнений и сложности их аналитического решения. Сформированное умение различать алгебраические уравнения от трансцендентных.
2	Что такое численные методы.	Проблема поиска корней некоторых уравнений аналитическими методами. Понятия численных методов. Отделение корней. Погрешности вычислений. Принципиальная схема решения уравнений численными методами.	Индивидуальная работа учащихся с электронным курсом «Вычислительная математика». Изучение теории вопроса и выполнение интерактивных заданий курса.	Четкое представление о том, когда используются численные методы решения уравнений и с какими трудностями они сопряжены.
3	Метод перебора при поиске корней	Суть метода. Основные условия и критерии использования данного метода. Алгоритм реализации данного метода.	Индивидуальная работа учащихся с электронным курсом «Вычислительная математика». Изучение теории вопроса и выполнение интерактивных заданий курса.	Знание сути метода перебора при поиске корней уравнения. Решение одного из уравнений данным методом, проделывая необходимые вычисления вручную.
4	Решение уравнений	Реализация алгоритма данного метода в среде MS Excel. Выполнение расчетов решений уравнений методом перебора.	Каждый учащийся получает индивидуальную практическую работу по численному решению уравнений методом перебора.	Готовность учащихся решать трансцендентные и алгебраические уравнения методом перебора в среде Excel.
5	Метод половинного деления при уточнении корней.	Суть метода. Основные условия и критерии использования данного метода. Алгоритм реализации данного метода.	Индивидуальная работа учащихся с электронным курсом «Вычислительная математика». Изучение теории вопроса и выполнение интерактивных заданий курса.	Знание сути метода половинного деления при уточнении корней уравнения. Решение одного из уравнений данным методом, проделывая необходимые вычисления вручную.
6	Решение уравнений.	Реализация алгоритма данного метода в среде MS Excel. Выполнение расчетов решений уравнений методом половинного деления.	Каждый учащийся получает индивидуальную практическую работу по численному решению уравнений методом половинного деления.	Готовность учащихся решать трансцендентные и алгебраические уравнения методом перебора в среде Excel.
7	Метод простой итерации.	Суть метода. Основные условия и критерии использования данного метода. Алгоритм реализации данного метода. Оценка погрешностей метода итерации.	Индивидуальная работа учащихся с электронным курсом «Вычислительная математика». Изучение теории вопроса и выполнение интерактивных заданий курса.	Знание сути метода половинного деления при уточнении корней уравнения. Решение одного из уравнений данным методом, проделывая необходимые вычисления вручную.
8	Анализ численных методов решения уравнений.	Сравнение изученных методов. Основные характеристики каждого из них. Условия и критерии реализации данных методов.	Индивидуальная и групповая работа по выявлению схожих и различных черт данных методов.	Четкое представление о положительных и отрицательных характеристиках данных методов. Практическое применение то или иного метода при численном решении конкретного вида уравнения.
9	Выполнение индивидуальной зачетной практической работы.	Практическая работа в среде MS Excel по решению 5 алгебраических уравнений численными методами.	Индивидуальная практическая работа по решению индивидуальной зачетной работы.	Оптимальный выбор численного метода для решения данных уравнений. Представленные в среде MS Excel решения 5 уравнений индивидуальной зачетной работы.
10	Выполнение индивидуальной зачетной практической работы.	Практическая работа в среде MS Excel по решению 5 трансцендентных уравнений численными методами.	Индивидуальная практическая работа по решению индивидуальной зачетной работы.	Оптимальный выбор численного метода для решения данных уравнений. Представленные в среде MS Excel решения 5 уравнений индивидуальной зачетной работы. Реальное соотнесение собственных возможностей с собственными интересами и желаниями по выбору профиля обучения.

Литература для учащихся по данному курсу

Башмаков и неравенства. – М.: Наука, 1976 , , Шабунин и задачи по элементарной математике. – М.: Наука, 1977 , Мордкович Справочные материалы. – М.: Просвещение, 2002 Вычислительная математика и программирование 10-11 классы [Электронный ресурс.]; 1С: Школа. - электрон. Прог.- М.: 1С: Школа, 20электрон. Опт. Диска (CD-ROM).

Учебно-методическая литература для учителя

1.  , , Лапчик методы. – М.: Просвещение, 1991

2.  , Данилова по вычислительной математике. – М.: Высшая школа, 1990

ПРИЛОЖЕНИЯ

Тезаурус

Уравнение с одной переменной – равенство с переменной f(x)=q(x)

Корень уравнения – всякое значение переменной, при котором выражения f(x) и q(x)

принимают равные числовые значения.

Решить уравнение – это значит найти все его корни или доказать, что их нет.

Равносильные уравнения – уравнения, имеющие одни и те же корни.

Линейным уравнением с одной переменной х называют уравнение вида ах=b, где а и b - действительные числа; а называют коэффициентом при переменной, b – свободным членом.

Решить систему уравнений – найти все общие решения двух уравнений с двумя переменными.

Примерный вариант зачетной работы

Решить уравнения численными методами, вычислив корни с точностью до 0,01:

x3 – 3x2 – 24x – 3 = 0; 2x3 – 3x2 – 12x + 10 = 0; x4 + 5x3 + 9x2 + 5x – 1 = 0; x4 + 0,77x3 – 1,002x2 + 6,164x – 1,6 = 0; x5 – 3x3 – 24x – 3 = 0; 5 sin x = x – 1; x2 – 10 sin x = 0; 2x – 3x – 2 = 0; 2 cos (x + π/3) = 0,5 x2 – 1; tg2 x = x – 1.