Нахождение оптимального объема баковой аппаратуры

УДК 519.2; 66.0

Нахождение оптимального объема баковой аппаратуры

, *****@***ru

,

Пермский государственный национальный исследовательский университет,

механико-математический факультет

Россия,

Решена задача приближенного расчета объема промежуточной баковой аппаратуры для последовательных стадий непрерывного химико-технологического производства.

Ключевые слова: непрерывное производство, баковая аппаратура, запас, порожний объем, заполненный объем, издержки.

© , , 2012 г.

Требуется определить объем промежуточной баковой аппаратуры, обеспечивающей необходимый запас полупродукта, поступающего с предыдущей стадии и необходимого для работы следующей, как в случае кратковременной нехватки, так и в случае кратковременного избытка, обусловленного случайными колебаниями скорости (поскольку предполагается, что задача согласования планов отдельных стадий уже решена, то решение данной задачи является корректным [2]). Для решения будет использована программа для работы с электронными таблицами Microsoft Excel.

Общее решение:

Предположим – план выпуска должен быть равен плану потребления.

Вероятность переполнения и недополнения в общем случае не равны, поэтому делим искомый объем на два объема и , где пустой (порожний), а заполненный.

1 шаг. Для вероятности переполнения ищется свой доверительный интервал через , а для вероятности недополнения свой через (т. е. интервал, в котором с данной вероятностью находится истинное значение определяемой величины). Находим через функцию НОРМОБР, значение квантиля[1].

,

где p – вероятность для определения объема.

2 шаг. Находим экономические параметры для каждой стадии производства:

- потери от переполнения (в дальнейшем );

- затраты на обслуживание баковой аппаратуры (в дальнейшем );

- сумму дополнительных издержек, они всегда имеются (в дальнейшем ).

Формулы для вычисления этих параметров:

, (2)

, (3)

, (4)

где – цена продукта на каждой стадии, К - коэффициент обслуживания баков, - объем соответствующей стадии производства, – это номер стадии производства, где это стадия наполняющая баки, а опорожняющая.

3 шаг. Для каждой стадии производства находим минимальное значение издержек. Смотрим, какое значение имеет при этом объем бака. Просуммировав и , получим требуемый объем баковой аппаратуры.

Выше изложено общее решение такой задачи. Однако, существуют некоторые нюансы, которые могут повлиять на расчеты. Рассмотрим несколько примеров.

Пример на имитируемых данных.

Рассмотрим 3 варианта организации сопряжения стадий технологического процесса.

Имеем две последовательные стадии производства (рис. 1). В процессе работы необходимо где-то хранить промежуточный запас сырья. Скорость выдачи продукта стадии 1 в среднем равняется скорости потребления этого же продукта на стадии 2. Возможны случаи колебания этих скоростей. Необходимо учитывать, что может быть как избыток, так и недостаток сырья.

Рис. 24. Схема последовательных стадий производства в простейшем случае

Предположим, что заданный план , а независимые колебания . Тогда, т. к. план выпуска и потребления должны быть равны, а колебания независимы, то , .

По формулам (1), (2), (3), (4) построим следующую таблицу значений для 1-ой стадии производства:

Таблица 1. Вычисление минимума дополнительных издержек методом простого перебора для 1-ой стадии производства
	Вероятность для определения объема,	Объем порожний,	Потери от переполнения,	Затраты на обслуживание одного кубометра бака,	Сумма издержек,
0,32	0,5214	0,5359	143,589	2,6796	146,2686
0,34	0,5429	1,0777	137,1265	5,3886	142,5151
…	…	…	…	…	…
1,04	0,9088	13,3339	27,3603	66,6698	94,0301
1,06	0,9129	13,5885	26,1289	67,9427	94,0716
…	…	…	…	…	…
2,04	0,9909	23,6070	2,7360	118,0353	120,7713
2,06	0,9913	23,7774	2,6129	118,8868	121,49971
…	…	…	…	…	…
3,04	0,9991	31,1748	0,2736	155,8742	156,1478
3,06	0,9991	31,3103	0,2613	156,5516	156,8129
…	…	…	…	…	…
4,04	0,9999	37,4222	0,0274	187,1109	187,1383
4,06	0,9999	37,5377	0,0261	187,6886	187,7148
…	…	…	…	…	…
Продолжение таблицы 1.
	Вероятность для определения объема,	Объем порожний,	Потери от переполнения,	Затраты на обслуживание одного кубометра бака,	Сумма издержек,
4,96	0,9999	42,4428	0,0033	212,2140	212,2173
4,98	0,9999	42,5459	0,0031	212,7299	212,7330
5	0,9999	42,6489	0,0030	213,2445	213,2475

Найдем минимальное значение суммы издержек . В данном случае Это говорит о том, что для данной стадии издержки можно свести к минимуму, если за вероятность для вычисления объема баковой аппаратуры взять значение .

Представим результаты графически:

Рис. 2. Графическая схема минимизации издержек по , где p вероятность перелива для

Те же расчеты выполним и для 2-ой стадии.

Таблица 2. Вычисление минимума дополнительных издержек методом простого перебора для 2-ой стадии производства
	Вероятность нормальной работы,	Объем под заполнение,	Потери от переполнения,	Затраты на обслуживание одного кубометра бака,	Сумма издержек,
0,32	0,5214	1,0718	239,3150	5,3592	244,6742
0,34	0,5429	2,1554	228,5440	10,7772	239,3213
…	…	…	…	…	…
0,92	0,8798	23,4771	60,1132	117,3856	177,4987
0,94	0,8852	24,0262	57,4076	120,1311	177,5387
…	…	…	…	…	…
1,92	0,9879	45,1281	6,0113	225,6405	231,6518
1,94	0,9885	45,4809	5,7407	227,4048	233,1456
…	…	…	…	…	…
2,92	0,9987	60,7020	0,6011	303,5104	304,1115
Продолжение таблицы 2.
	Вероятность нормальной работы,	Объем под заполнение,	Потери от переполнения,	Затраты на обслуживание одного кубометра бака,	Сумма издержек,
2,94	0,9988	60,9793	0,5740	304,8966	305,4706
…	…	…	…	…	…
3,92	0,9998	73,4443	0,0601	367,222	367,2820
3,94	0,9998	73,6793	0,0574	368,3968	368,4542
…	…	…	…	…	…
4,96	0,9999	84,8856	0,0054	424,4281	424,4335
4,98	0,9999	85,0919	0,0052	425,4597	425,4649
5	0,9999	85,2978	0,005	426,4891	426,4940

Найдем минимальное значение суммы издержек . В данном случае Следовательно, для 2-ой стадии издержки можно свести к минимуму, если за вероятность для вычисления объема баковой аппаратуры взять значение .

Рис. 3. Графическая схема минимизации издержек по , где p вероятность перелива для

Теперь складываем те значения объемов , которые имеют минимальные издержки, а именно:

Объем баковой аппаратуры должен быть 36,8110 . Количество необходимых баков определяется стандартной процедурой: если объем одного бака равен то количество баков равняется ,округленного сверху до целого[2], плюс 1 бак, необходимый для технического обслуживания.

Имеется промежуточный продукт, который потребляют 2 разных производства конечных продуктов (или следующие стадии), а не одна как в вышеописанном случае (см. рис. 4).

Рис. 4. Схема для двух потребителей продукта.

Предположим, что , , а , , , , т. к. планы выпуска и потребления должны быть равны.

1 случай – цена конечного продукта на всех производственных участках различна ().

По формулам (1), (2), (3), (4) построим таблицу значений для 1-ой стадии производства:

Таблица 3. Вычисление минимума дополнительных издержек методом простого перебора для 1-ой стадии производства
	Вероятность для определения объема,	Объем порожний,	Потери от переполнения,	Затраты на обслуживание одного кубометра бака,	Сумма издержек,
0,32	0,5214	0,5359	143,5890	0,5359	144,1249
0,34	0,5429	1,0777	137,1264	1,0777	138,2041
…	…	…	…	…	…
1,88	0,9868	22,2079	3,9547	22,2079	26,1626
1,9	0,9874	22,3865	3,7767	22,3865	26,1633
…	…	…	…	…	…
2,88	0,9986	30,0721	0,3954	30,0721	30,4676
2,9	0,9987	30,2118	0,3776	30,2118	30,5895
…	…	…	…	…	…
3,88	0,9998	36,4862	0,0395	36,4862	36,5257
3,9	0,9998	36,6043	0,0377	36,6043	36,6421
…	…	…	…	…	…
4,88	0,9999	42,0278	0,0039	42,0278	42,0318
4,9	0,9999	42,1319	0,0037	42,1319	42,1357
…	…	…	…	…	…
5	0,9999	42,6489	0,0030	42,6489	42,6519

Минимальное значение суммы издержек Это говорит о том, что для данной стадии издержки можно свести к минимуму, если за вероятность для вычисления объема баковой аппаратуры взять значение .

Рис. 5. Графическая схема минимизации издержек по , где p вероятность перелива для

По формулам (1), (2), (3), (4) построим таблицу значений для -ой стадии производства:

Таблица 4. Вычисление минимума дополнительных издержек методом простого перебора для 2-ой стадии производства
	Вероятность для определения объема,	Объем под заполнение,	Потери от переполнения,	Затраты на обслуживание одного кубометра бака,	Сумма издержек,
0,32	0,5213	1,0718	191,4520	1,0718	192,5238
0,34	0,5429	2,1554	182,8352	2,1554	184,9907
…	…	…	…	…	…
1,68	0,9791	40,7129	8,3571	40,7129	49,0701
1,7	0,9800	41,0945	7,9810	41,0945	49,0756
…	…	…	…	…	…
2,68	0,9979	57,2871	0,8357	57,2871	58,1228
2,7	0,9980	57,5782	0,7981	57,5781	58,3763
…	…	…	…	…	…
3,68	0,9997	70,5707	0,0835	70,5707	70,6543
3,7	0,9998	70,8141	0,0798	70,8141	70,8940
…	…	…	…	…	…
4,68	0,9999	81,9475	0,0083	81,9475	81,9558
4,7	0,9999	82,1605	0,0079	82,1605	82,1685
…	…	…	…	…	…
5	0,9999	85,2978	0,0040	85,2978	85,3018

Минимальное значение суммы издержек усл. ед. Из этого следует, что для данной стадии издержки можно свести к минимуму, если за вероятность для вычисления объема баковой аппаратуры взять значение .

По формулам (1), (2), (3), (4) построим таблицу значений для -ой стадии производства:

Таблица 5. Вычисление минимума дополнительных издержек методом простого перебора для -ой стадии производства
	Вероятность для определения объема,	Объем под заполнение,	Потери от переполнения,	Затраты на обслуживание одного кубометра бака,	Сумма издержек,
0,32	0,5213	0,8038	215,3835	0,8038	216,1874
0,34	0,5429	1,6165	205,6896	1,6165	207,3062
…	…	…	…	…	…
1,88	0,9868	33,3118	5,9321	33,3118	39,2440
1,9	0,9874	33,5797	5,6651	33,5797	39,2449
…	…	…	…	…	…
2,88	0,9986	45,1082	0,5932	45,1082	45,7014
2,9	0,9987	45,3178	0,5665	45,3178	45,8843
…	…	…	…	…	…
3,88	0,9998	54,7293	0,0593	54,7293	54,7886
3,9	0,9998	54,9065	0,0566	54,9065	54,9632
4,88	0,9999	63,0417	0,0059	63,0417	63,0477
4,9	0,9999	63,1979	0,0056	63,1979	63,2035
…	…	…	…	…	…
5	0,9999	63,9733	0,0045	63,9733	63,9778

Минимальное значение суммы издержек усл. ед. Т. е. для данной стадии издержки можно свести к минимуму, если за вероятность для вычисления объема баковой аппаратуры взять значение .

Если мы просуммируем , то это тот случай, когда потребление зависимо для потребителей 2 и 3.

Тогда сумма объема составляет:

Количество баков рассчитывается способом, указанным на стр. 4

Но если потребление не зависимое (как в нашем случае), то действуют нижеописанные формулы.

Общее стандартное отклонение для 2-ой и -ой стадии производства:

(5)

(6)

Формула для нахождения потерь от переполнения изменится для данного случая:

(7)

По формуле (1) найдем значения , используя (5) или (6), а по формулам (7), (3), (4) вычислим потери от переполнения, затраты на обслуживание баковой аппаратуры и сумму издержек.

Таблица 6. Вычисление минимума дополнительных издержек методом простого перебора для стадии производства
	Вероятность для определения объема,	Объем под заполнение,	Потери от переполнения,	Затраты на обслуживание одного кубометра бака,	Сумма издержек,
0,32	0,5213	1,3127	201,7084	1,3127	203,0211
0,34	0,5429	2,6398	192,63	2,6398	195,2699
…	…	…	…	…	…
1,6	0,9748	47,9594	10,5858	47,9594	58,5452
1,62	0,9760	48,4405	10,1093	48,4405	58,5498
…	…	…	…	…	…
2,6	0,9974	68,7205	1,0585	68,7205	69,7791
2,62	0,9976	69,0833	1,01093	69,0833	70,0942
…	…	…	…	…	…
3,6	0,9997	85,2296	0,1058	85,2296	85,3355
3,62	0,9997	85,5314	0,1010	85,5314	85,6325
Продолжение таблицы 6.
…	…	…	…	…	…
4,6	0,9999	99,3150	0,0105	99,3150	99,3255
4,62	0,9999	99,5784	0,0101	99,5784	99,5885
…	…	…	…	…	…
5	0,9999	104,4680	0,0042	104,4681	104,4723

Минимальное значение суммы издержек Т. е. для стадии издержки сведутся к минимуму, если за вероятность для вычисления объема баковой аппаратуры взять значение .

Рис. 6. Графическая схема минимизации издержек по , где p вероятность перелива для

Теперь складываем те значения объемов , которые имеют минимальные издержки, а именно:

Объем баковой аппаратуры должен быть 70,1673 . Количество баков рассчитывается способом, указанным на стр. 4.

2-ой случай – цена продукта на всех стадиях одинакова ().

По формулам (1), (2), (3), (4) построим таблицу значений для 1-ой стадии производства:

Таблица 7. Вычисление минимума дополнительных издержек методом простого перебора для 1-ой стадии производства
	Вероятность для определения объема,	Объем порожний,	Потери от переполнения,	Затраты на обслуживание одного кубометра бака,	Сумма издержек,
0,32	0,5213	0,5359	143,5890	0,5359	144,1249
0,34	0,5429	1,0777	137,1264	1,0777	138,2041
…	…	…	…	…	…
1,88	0,9868	22,2079	3,9547	22,2079	26,1626
1,9	0,9874	22,3865	3,7767	22,3865	26,1633
…	…	…	…	…	…
2,88	0,9986	30,0721	0,3954	30,0721	30,4676
2,9	0,9987	30,2118	0,3776	30,2118	30,5895
…	…	…	…	…	…
3,88	0,9998	36,4862	0,0395	36,4862	36,5257
3,9	0,9998	36,6043	0,0377	36,6043	36,6421
…	…	…	…	…	…
4,88	0,9999	42,0278	0,0039	42,0278	42,0318
4,9	0,9999	42,1319	0,0037	42,1319	42,1357
…	…	…	…	…	…
5	0,9999	42,6489	0,0030	42,6489	42,6519

Минимальное значение суммы издержек усл. ед. Это значит, что для стадии издержки можно свести к минимуму, если за вероятность для вычисления объема баковой аппаратуры взять значение .

Рис. 7. Графическая схема минимизации издержек по , где p вероятность перелива для

По формулам (1), (2), (3), (4) построим таблицы значений для -ой и -ой стадии производства.

Таблица 8. Вычисление минимума дополнительных издержек методом простого перебора для -ой стадии производства
	Вероятность для определения объема,	Объем под заполнение,	Потери от переполнения,	Затраты на обслуживание одного кубометра бака,	Сумма издержек,
0,32	0,5213	1,0718	239,3150	1,0718	240,3869
0,34	0,5429	2,1554	228,5441	2,1554	230,6995
…	…	…	…	…	…
1,8	0,9841	42,9640	7,9245	42,9640	50,8884
1,82	0,9848	43,3305	7,5678	43,3305	50,8983
…	…	…	…	…	…
2,8	0,9984	59,0155	0,7924	59,0155	59,8079
2,82	0,9984	59,2994	0,7568	59,2994	60,0562
…	…	…	…	…	…
3,8	0,9998	72,0203	0,0792	72,0203	72,0995
3,82	0,9998	72,2594	0,0757	72,2594	72,3350
…	…	…	…	…	…
4,8	0,9999	83,2182	0,0079	83,2182	83,2262
4,82	0,9999	83,4283	0,0076	83,4283	83,4359
…	…	…	…	…	…
5	0,9999	85,2978	0,0050	85,2978	85,3028

Минимальное значение суммы издержек усл. ед. Из этого следует, что для -ой стадии издержки можно свести к минимуму, если за вероятность для вычисления объема баковой аппаратуры взять значение .

Таблица 9. Вычисление минимума дополнительных издержек методом простого перебора для 2′-ой стадии производства
	Вероятность для определения объема,	Объем под заполнение,	Потери от переполнения,	Затраты на обслуживание одного кубометра бака,	Сумма издержек,
0,32	0,5213	0,8038	239,3150	0,8038	240,1189
0,34	0,5429	1,6165	228,5440	1,6165	230,1606
…	…	…	…	…	…
1,94	0,9885	34,1107	5,7408	34,1107	39,8514
1,96	0,9890	34,3738	5,4824	34,3738	39,8562
…	…	…	…	…	…
2,94	0,9988	45,7345	0,5741	45,7345	46,3086
2,96	0,9989	45,9416	0,5482	45,9416	46,4898
Продолжение таблицы 9
	Вероятность для определения объема,	Объем под заполнение,	Потери от переполнения,	Затраты на обслуживание одного кубометра бака,	Сумма издержек,
…	…	…	…	…	…
3,94	0,9998	55,2595	0,0574	55,2595	55,3169
3,96	0,9998	55,4353	0,0548	55,4353	55,4901
…	…	…	…	…	…
4,94	0,9999	63,5091	0,0057	63,5091	63,5149
4,96	0,9999	63,6642	0,0055	63,6642	63,6697
…	…	…	…	…	…
5	0,9999	5	0,0050	63,9733	63,9783

Минимальное значение суммы издержек усл. ед. Это значит, что для -ой стадии издержки можно свести к минимуму, если за вероятность для вычисления объема баковой аппаратуры взять значение .

Если мы просуммируем то это тот случай, когда потребление зависимо для потребителей 2 и 3.

Сумма объема составляет:

Количество баков рассчитывается способом, указанным на стр. 4.

Но если потребление не зависимое (как в нашем случае), то действуют нижеописанные формулы.

Общее стандартное отклонение для -ой и -ой стадии производства:

(8)

По формуле (1) найдем значения , используя (8) , а по формулам (2), (3), (4) вычислим потери от переполнения, затраты на обслуживание баковой аппаратуры и сумму издержек.

Таблица 10. Вычисление минимума дополнительных издержек методом простого перебора для стадии производства
	Вероятность для определения объема,	Объем под заполнение,	Потери от переполнения,	Затраты на обслуживание одного кубометра бака,	Сумма издержек,
0,32	0,5213	1,3398	239,315	1,3398	240,6548
0,34	0,5429	2,6943	228,5441	2,6943	231,2384
…	…	…	…	…	…
1,68	0,9791	50,8911	10,4464	50,8911	61,3376
1,7	0,9800	51,3682	9,9763	51,3682	61,3445
…	…	…	…	…	…
2,68	0,9979	71,6088	1,0446	71,6088	72,6535
2,7	0,9980	71,9727	0,9976	71,9727	72,9703
…	…	…	…	…	…
3,68	0,9997	88,2134	0,1044	88,2134	88,3179
Таблица 10. Вычисление минимума дополнительных издержек методом простого перебора для стадии производства
	Вероятность для определения объема,	Объем под заполнение,	Потери от переполнения,	Затраты на обслуживание одного кубометра бака,	Сумма издержек,
3,7	0,9998	88,5177	0,0997	88,5177	88,6175
…	…	…	…	…	…
4,68	0,9999	102,4344	0,0104	102,4344	102,4449
4,7	0,9999	102,7006	0,0099	102,7007	102,7107
…	…	…	…	…	…
4,98	0,9999	106,3649	0,0052	106,3649	106,3702
5	0,9999	106,6222	0,005	106,6223	106,6273

Минимальное значение суммы издержек Это значит, что для -ой стадии издержки можно свести к минимуму, если за вероятность для вычисления объема баковой аппаратуры взять значение .

Рис. 8. Графическая схема минимизации издержек по , , где p вероятность перелива для ,

Теперь складываем те значения объемов , которые имеют минимальные издержки, а именно:

Объем баковой аппаратуры должен быть . Количество баков рассчитывается способом, указанным на стр. 4

На первой стадии продукт получается в ходе параллельной работы двух установок, затем он сливается в промежуточную баковую аппаратуру, и потом потребляется следующей стадией производства. Решение этой задачи сводится к варианту Б).

Рис. 9. Схема для 3х стадий производства

Вышеизложенными примерами проиллюстрирован общий алгоритм расчета промежуточной баковой аппаратуры. Количество баков рассчитывается способом, указанным на стр. 4.

Библиографический список.

1. Гмурман вероятностей и математическая статистика. – М.: Высш. шк., 2003. – 479 с.

2. , , Простейший вариант алгоритма оперативной коррекции плана непрерывного производства, Перм. гос. нац. исслед. ун-т. – Пермь, 2012. – 5 с.

Finding of optimum volume of lateral equipment

Chechulin V. L., *****@***ru

Galanova Ya. Yu.,

Perm State university,

mathematical faculty

Russia, Perm, Bukirev st. 15

It is required to define volume of the intermediate lateral equipment providing a necessary stock of a semi-product, both in case of short-term shortage, and in case of the surplus, caused by fluctuation of speed.

Keywords: process production, lateral equipment, a stock, the empty volume, the filled volume, expenses.

© Chechulin V. L., Galanova Ya. Yu., 2012.

[1] Квантиль (q) – величина, которая показывает значение функции распределения для заданной вероятности.

[2] Целая часть от отношения и плюс 1.