Теорема Ферма, теория вероятностей и комбинаторика

Андрей Швец

Теорема Ферма, теория вероятностей и комбинаторика

Выгуливая вечером собаку, опять вспомнил о теореме Ферма. Ее простота прямо жаждет такого же простого доказательства. Решил, что не стоит даже пытаться подходить к этой задаче с различными арифметическими и алгебраическими преобразованиями. Слишком много умных голов это уже пробовали. То же самое и с доказательством через иррациональность. Если уж и пытаться, то как-то совсем по-другому. Вспомнив, что Ферма интересовался вопросами теории вероятности, попробовал отыскать доказательство, предположив, что решения данного уравнения на больших интервалах не противоречат законам случайных событий. Доказательство созрело очень быстро, но уж очень разные сферы. Однако при дальнейшем размышлении решил, что применение такого подхода вполне оправдано. Правда, не знаю, смогу ли я это толково объяснить, ведь я совсем не математик и даже не юрист.

Итак, напомню, что речь идет о следующем уравнении:

Аn+Bn=Cn (1)

Предположим, что имеется одно значение С, которое удовлетворяет данному уравнению и при этом является простым числом. Очевидно, что, умножая обе части равенства на Kn, где K - целое число, мы получим бесконечное число решений. Эти решения будут располагаться на выбранном нами интервале с определенной частотой. При увеличении интервала частота будет уменьшаться. Скажем, при удвоении интервала отношение частот будет равно

Оправ=Чправ2 /Чправ1 (2)

где Оправ - Отношение частот значений правой части уравнения (1) при удвоении интервала, соответственно, Чправ2 - частота значений на удвоенном интервале, Чправ1 - частота значений на одинарном. Легко показать, что Оправ не зависит от значения С, которое мы взяли в качестве первого решения уравнения (1).

Мы предположили наличие одного простого решения уравнения, но при любом конечном числе таких решений и при стремлении рассматриваемого интервала к бесконечности, при его удвоении, соотношение частот останется таким же. Соотношение будет большим, если число простых решений бесконечно. Но оно не может быть меньшим, ведь мы его выводили для случая с одним простым решением. И если оно меньше, то это означает, что простых решений нет и, следовательно, нет решений вообще. То есть уравнение (1) не имеет целых решений при условии: Чреш1/Чреш2<Оправ (3)

где, Чреш1 - частота решений уравнения (1) на одинарном интервале, Чреш2 - частота решений на удвоенном интервале.

Предположим, что значения левой и правой частей нашего уравнения имеют свойства случайных чисел. Тогда можно сказать, что вероятность их совпадения равна произведению вероятностей для обеих частей равенства. То есть вероятность появления на числовой прямой числа, значение которого равно Аn + Вn следует умножить на вероятность появления числа, равного Сn, и тогда получим вероятность того, что эти значения совпадут. Перейдя на язык частот можно записать, что

Чреш=Чправ*Члев (4)

где Чреш - частота решений данного уравнения, Члев - частота (Аn + Вn) , Чправ - частота Сn . Теперь выражение (3) можно преобразовать:

Чреш1/Чреш2<Чправ1/Чправ2

(Чправ2*Члев2)/ (Чправ1*Члев1) <Чправ2/Чправ1

Члев2/Члев1<1 (5)

Пусть Критерий=Члев2/Члев1 (6) Тогда если Критерий<0 то уравнение не имеет целых решений, если Критерий=0, то пожалуй нельзя определенно сказать о их наличии, если Критерий>0 то целые решения есть. Не стоит однако по выражению (6) делать вывод о том, что Критерий не зависит от правой части уравнения, если б она имела вид отличный от Сn, то критерий был бы другим.

Для вычисления Члев необходимо найти число всех комбинаций А и В при которых значение Аn + Вn не будет превышать Kn. Это можно сделать через интегральное исчисление, но мне больше нравится другой способ. Сначала определим наибольший интервал, на котором при любых значениях А и В выполняется условие Аn+Вn<=Кn и при помощи формул комбинаторики легко найдем число всех возможных комбинаций на этом интервале. Оно будет пропорционально всему числу комбинаций. Однако нам не нужно находить этот коэфициент пропорциональности, потому что он взаимносократится при делении частот. И, таким образом, мы получим следующее выражение:

Критерий=22/n

Из него следует, что при n>2 уравнение не целых решений.

Однако теперь предстоит самое трудное - доказать правомерность рассмотренного доказательства. И первый вопрос, который возникает: а при чем здесь целые числа? Не при чем. Главное не в том, что они целые, а в том, что таким образом ограничивается число решений. Если бы речь шла о любых числах, то на любом интервале имелось бы бесконечное число решений. Но поскольку числа только целые, то решениями являются лишь отдельные точки на числовой прямой. Впрочем, может быть стоит учитывать и тот факт, что в используемой здесь комбинаторике и теории вероятностей, целые значения переменных подразумевается.

Другое важное допущение заключается в том, что совпадение левой и правой части уравнения мы считаем случайным событием. Однако частота решений неслучайных пропорциональна частоте случайных решений на бесконечно больших интервалах. Потому при определении отношения частот они сокращаются. Даже если предположить непропорциональную зависимость, то критерий сохранит свою значимость. Таким образом, по отношению между частотами для случайных решений можно, в данном случае, судить и о неслучайных.

Все приведенные рассуждения можно применить и к более общему уравнению вида:

X1n+ X2n+…+ Xmn= Xm+1n (8)

Для него Критерий=2m/n -1 поэтому при m<n (m>1), уравнение не имеет решения в целых числах. Но это было бы справедливо при равномерном изменении плотности решений на числовой прямой. Однако это не так, плотность меняется циклически. Это вызвано тем, что в начале числовой прямой плотность решений мала из-за небольшого числа возможных подстановок целых чисел. Вполне естественно, что эта область с пониженной плотностью повторится при умножении ее на Sn , где S- любое целое число. А если при определенном среднем значении, есть области с пониженной плотностью, то есть области и с повышенной плотностью. Амплитуда этих колебаний так зависит только от величины m, что при m>3 области повышенной плотности позволяют найти решения уравнения (8) в целых числах для любого значения n . Колебания плотности при m=3 абсолютно точно вписываются в средние значения изменения плотности решений, найденные по формуле (7), поэтому данный подход не позволяет сделать однозначный вывод при n=m=3. В дополнение к теореме Ферма можно предложить еще одну теорему: выражение (8) имеет решение в целых числах для всех m>3.

Впрочем, я не математик и наверняка что-то упустил. Но мне было весело. В конце концов, я просто выгуливал собаку.



Подпишитесь на рассылку:

Проекты по теме:

Основные порталы, построенные редакторами

Домашний очаг

ДомДачаСадоводствоДетиАктивность ребенкаИгрыКрасотаЖенщины(Беременность)СемьяХобби
Здоровье: • АнатомияБолезниВредные привычкиДиагностикаНародная медицинаПервая помощьПитаниеФармацевтика
История: СССРИстория РоссииРоссийская Империя
Окружающий мир: Животный мирДомашние животныеНасекомыеРастенияПриродаКатаклизмыКосмосКлиматСтихийные бедствия

Справочная информация

ДокументыЗаконыИзвещенияУтверждения документовДоговораЗапросы предложенийТехнические заданияПланы развитияДокументоведениеАналитикаМероприятияКонкурсыИтогиАдминистрации городовПриказыКонтрактыВыполнение работПротоколы рассмотрения заявокАукционыПроектыПротоколыБюджетные организации
МуниципалитетыРайоныОбразованияПрограммы
Отчеты: • по упоминаниямДокументная базаЦенные бумаги
Положения: • Финансовые документы
Постановления: • Рубрикатор по темамФинансыгорода Российской Федерациирегионыпо точным датам
Регламенты
Термины: • Научная терминологияФинансоваяЭкономическая
Время: • Даты2015 год2016 год
Документы в финансовой сферев инвестиционнойФинансовые документы - программы

Техника

АвиацияАвтоВычислительная техникаОборудование(Электрооборудование)РадиоТехнологии(Аудио-видео)(Компьютеры)

Общество

БезопасностьГражданские права и свободыИскусство(Музыка)Культура(Этика)Мировые именаПолитика(Геополитика)(Идеологические конфликты)ВластьЗаговоры и переворотыГражданская позицияМиграцияРелигии и верования(Конфессии)ХристианствоМифологияРазвлеченияМасс МедиаСпорт (Боевые искусства)ТранспортТуризм
Войны и конфликты: АрмияВоенная техникаЗвания и награды

Образование и наука

Наука: Контрольные работыНаучно-технический прогрессПедагогикаРабочие программыФакультетыМетодические рекомендацииШколаПрофессиональное образованиеМотивация учащихся
Предметы: БиологияГеографияГеологияИсторияЛитератураЛитературные жанрыЛитературные героиМатематикаМедицинаМузыкаПравоЖилищное правоЗемельное правоУголовное правоКодексыПсихология (Логика) • Русский языкСоциологияФизикаФилологияФилософияХимияЮриспруденция

Мир

Регионы: АзияАмерикаАфрикаЕвропаПрибалтикаЕвропейская политикаОкеанияГорода мира
Россия: • МоскваКавказ
Регионы РоссииПрограммы регионовЭкономика

Бизнес и финансы

Бизнес: • БанкиБогатство и благосостояниеКоррупция(Преступность)МаркетингМенеджментИнвестицииЦенные бумаги: • УправлениеОткрытые акционерные обществаПроектыДокументыЦенные бумаги - контрольЦенные бумаги - оценкиОблигацииДолгиВалютаНедвижимость(Аренда)ПрофессииРаботаТорговляУслугиФинансыСтрахованиеБюджетФинансовые услугиКредитыКомпанииГосударственные предприятияЭкономикаМакроэкономикаМикроэкономикаНалогиАудит
Промышленность: • МеталлургияНефтьСельское хозяйствоЭнергетика
СтроительствоАрхитектураИнтерьерПолы и перекрытияПроцесс строительстваСтроительные материалыТеплоизоляцияЭкстерьерОрганизация и управление производством

Каталог авторов (частные аккаунты)

Авто

АвтосервисАвтозапчастиТовары для автоАвтотехцентрыАвтоаксессуарыавтозапчасти для иномарокКузовной ремонтАвторемонт и техобслуживаниеРемонт ходовой части автомобиляАвтохимиямаслатехцентрыРемонт бензиновых двигателейремонт автоэлектрикиремонт АКППШиномонтаж

Бизнес

Автоматизация бизнес-процессовИнтернет-магазиныСтроительствоТелефонная связьОптовые компании

Досуг

ДосугРазвлеченияТворчествоОбщественное питаниеРестораныБарыКафеКофейниНочные клубыЛитература

Технологии

Автоматизация производственных процессовИнтернетИнтернет-провайдерыСвязьИнформационные технологииIT-компанииWEB-студииПродвижение web-сайтовПродажа программного обеспеченияКоммутационное оборудованиеIP-телефония

Инфраструктура

ГородВластьАдминистрации районовСудыКоммунальные услугиПодростковые клубыОбщественные организацииГородские информационные сайты

Наука

ПедагогикаОбразованиеШколыОбучениеУчителя

Товары

Торговые компанииТоргово-сервисные компанииМобильные телефоныАксессуары к мобильным телефонамНавигационное оборудование

Услуги

Бытовые услугиТелекоммуникационные компанииДоставка готовых блюдОрганизация и проведение праздниковРемонт мобильных устройствАтелье швейныеХимчистки одеждыСервисные центрыФотоуслугиПраздничные агентства

Блокирование содержания является нарушением Правил пользования сайтом. Администрация сайта оставляет за собой право отклонять в доступе к содержанию в случае выявления блокировок.