Формула Бине-Коши

Ф О Р М У Л А Б И Н Е – К О Ш И

Напомним, что если имеется произвольная матрица

А =

размером m x n , то обычно используется следующее обозначение :

А = (1)

то есть А – это минор порядка р данной матрицы, в который включены строки с номерами и столбцы с номерами .

Пусть квадратная матрица С = порядка m является произведением двух

прямоугольных матриц А = и В = соответственно размеров m x n и

n x m , то есть число строк матрицы А равно числу столбцов матрицы В , и наоборот,

число строк матрицы B равно числу столбцов матрицы A . В этом случае матрица С = = А В получится квадратной и будет иметь порядок, равный m . Поэтому можно гово-рить об определителе этой матрицы. Итак, имеем

(2)

Формула Бине – Коши выражает определитель матрицы С через миноры матриц А и В.

А именно, определитель матрицы С равен сумме произведений всевозможных миноров

максимального порядка m матрицы А на соответствующие миноры того же порядка матри-

цы В :

. (3)

Если m > n , то матрицы А и В не имеют миноров порядка m , и фигурирующие в формуле

миноры следует считать равными нулю. Следовательно, в этом случае .

– 2 –

Д о к а з а т е л ь с т в о. На основании правила умножения двух матриц получаем, что

С = А В = =

.

Каждый столбец этой матрицы можно представить в виде суммы столбцов. Например,

первый столбец

можно записать как сумму столбцов :

.

Тогда можно воспользоваться свойством определителя, состящего в том, что если какой-либо столбец представлен как сумма двух столбцов, то определитель соответствующим образом представляется в виде суммы двух определителей. Очевидно, что это свойство будет иметь место при любом конечном числе столбцов, на которые разбивается столбец.

– 3 –

Таким образом, разлагая первый столбец в сумму n столбцов, получим, что на n

слагаемых распадётся определитель матрицы С :

Далее, аналогичное преобразование определителя осуществим, разлагая второй столбец

на n столбцов. Получится двойная сумма

.

Продолжая этот процесс разложения определителей, в итоге получим m - кратную сумму

.

Теперь заметим, что в первом столбце каждого определителя содержится общий множитель

число . Его можно, пользуясь соответствующим свойством определителя, вынести из-под

знака определителя. Аналогично из второго столбца выносится общий множитель , из

– 4 –

третьего столбца выносится общий множитель и т. д. Из последнего столбца выносится общий множитель . Таким образом, каждое слагаемое из m - кратной суммы может быть записано в следующем виде :

.

Используя более компактную запись для m - кратной суммы, получим

,

где индексы независимо друг от друга принимают все значения от 1 до n.

Нетрудно подсчитать, что эта сумма содержит слагаемых, но не все из них отличны от

нуля. Заметим, что если два различных индекса и принимают одинаковое значение,

т. е. , то соответствующее слагаемое в m - кратной сумме будет равно нулю, так

как в этом случае равен нулю определитель, у которого окажутся столбцы с номерами

i и j одинаковыми. Поэтому все слагаемые, соответствующие таким наборам значений

, в которых хотя бы у одной пары индексов значения совпадают, можно не

принимать во внимание, поскольку все эти слагаемые равны нулю. В частности, если m > n,

то на все m индексов не найдётся различных значений, которых только n, и

поэтому все слагаемые в рассматриваемой сумме будут равны нулю. Таким образом, при

m > n определитель матрицы С будет равен нулю, и в этом случае формула Бине - Коши

доказана. Теперь сосредоточимся на случае, когда m £ n. Как следует из предыдущего,

можно считать, что

,

где индексы образуют такие наборы натуральных чисел (от 1 до n ), в которых все числа различны. Например, такой набор : ( 1,2,3, ... , m ), или (2,1,3, ... , m ) и т. д.

Возьмём один из таких наборов ( ) , т. е. при ,

и присоединим к нему все наборы, которые являются перестановками из чисел . Как нам известно из теории перестановок, таких наборов будет m ! .

– 5 –

Рассмотрим эту группу из m ! слагаемых отдельно от всех остальных слагаемых. Поскольку

набор значений индексов определяет номера тех столбцов матрицы А, кото-

рые входят в определитель

, (4)

то у всех слагаемых рассматриваемой группы эти столбцы будут одни и те же, только

стоять они будут в разном порядке. Следовательно, все эти определители равны с точ-

ностью до знака определителю, в котором столбцы стоят в правильном порядке : ,

если i < j. Обозначим этот "правильный", т. е. упорядоченный набор чисел

через . Для этого набора выполняются неравенства :

. Для рассматриваемой группы такой набор единственен

и ему соответствует определитель

, (5)

который является минором матрицы А : . Все остальные наборы группы порождают определители, которые не являются минорами матрицы А,

поскольку столбцы стоят в неправильном порядке. Но они могут быть преобразованы в оп-

ределипутём перестановки столбцов. При этом знак у них, вообще говоря, изменит-

ся. Поэтому они все равны этому минору , но каждый – со своим знаком. Этот знак определяется тем числом перестановок столбцов, которое необходимо сделать чтобы расположить столбцы в определив " правильном" порядке,

преобразовав его в определи

Теперь заметим, что если имеется перестановка из чисел , например,

, то число инверсий в этой перестановке можно считать несколькими спосо-

бами. Рассмотрим такой способ. Сначала находим в этой перестановке наименьшее из чисел

. Это будет число . Посчитаем, сколько инверсий образует это число.

Очевидно, что это число инверсий будет равно тому числу других чисел, которые стоят в

перестановке раньше, чем . Действительно, все эти числа больше, чем , а стоят раньше.

Следовательно, все они образуют инверсии с числом . Других инверсий число не обра-

зует. И можно констатировать, что число инверсий, образуемое числом , равно числу смеж-

ных транспозиций, необходимых для перестановки числа на первое место.

Аналогично обнаруживается, что число инверсий, которые образует число , равно числу

– 6 –

смежных транспозиций, которые необходимо сделать, чтобы переместить число на второе

место в перестановке. Продолжая эти рассуждения, приходим к выводу, что для того, чтобы

определипреобразовать в определипутём перестановок столбцов, понадобится

число смежных перестановок, равное числу инверсий в перестановке , обозна-

чаемое обычно через S (). Поскольку при каждой перестановке двух столбцов

определитель меняяет знак, то будет справедливым следующее равенство :

=

= =

= .

Теперь замечаем, что число не зависит от индексов,

по которым идёт суммирование, и поэтому может быть вынесено за знак суммы как общий

множитель. Поэтому вся рассматриваемая группа из m ! слагаемых может быть записана в

следующем виде :

.

Здесь суммирование ведётся только по таким наборам , которые представ-

ляют собой перестановку из зафиксированных чисел . ( Напомним, что

в упорядоченном виде эти числа образуют набор ).

Теперь выражение

( 6 )

преобразуем, переставив множители таким образом, чтобы первые

– 7 –

индексы ( – номера строк матрицы В ) шли в правильном порядке т. е.

возрастали слева направо. Правильный порядок этих индексов даст последовательность

. Вторые индексы при перестановке сомножителей перемешаются и

образуют некоторую перестановку из чисел 1, 2, 3, … ,m. Обозначим эту перестановку

через ( ). Таким образом, выражение ( 6 ) примет следующий вид :

. ( 7 )

Теперь рассмотрим две подстановки :

.

Они равны между собой, поскольку вторая из них получается из первой путём перестановки столбцов ( соответствующей им матрицы). Поэтому их четности одинаковы. Чётность первой подстановки определяется числом инверсий в перестановке (), т. е. числом

S (). Чётность второй подстановки определяется числом инверсий в переста-новке ( ) , т. е. числом S ( ), поскольку в перестановке инверсий нет. Отсюда следует, что

.

Поэтому выражение ( 7 ) можно переписать в следующем виде :

Когда наборы индексов () принимают всевозможные значения из выбранных

различных m чисел , однозначно определяемые ими наборы индексов

( ) принимают всевозможные значения из чисел 1, 2, … , m , т. е. пробега-ют все m! перестановок из этих чисел. Поэтому выражение ( 8 ) представляет собой опреде-литель, который является минором порядка m матрицы В :

.

В итоге выделенная группа из m! слагаемых представляется в виде :

.

Теперь производя суммирование по всевозможным наборам , таким, что

, получаем формулу Бине-Коши .

– 8 –

Ч И С Л Е Н Н Ы Й П Р И М Е Р

Пусть матрицы А и В имеют следующий вид :

А = , В = .

Тогда, если

С = А В = , то .

По формуле Бине-Коши получим :

=

N.B. Следует обратить внимание на то, как образованы слагаемые в этой сумме. Например,

первое слагаемое представляет собой произведение минора матрицы А максимального,

т. е. второго порядка, составленного из первого и второго столбцов, на минор матрицы

В тоже максимального порядка, составленного из строк, соответствующих минору мат-

рицы А, т. е. тоже из первой и второй строки. По такому принципу построены все

6 = 3! слагаемых в формуле Бине-Коши.

Конечно, формула Бине-Коши нужна не для вычисления определителей. Её значение

проявляется в различных теоретических построениях и задачах. Поэтому следует отметить

наиболее важные её следствия.

С Л Е Д С Т В И Я И З Ф О Р М У Л Ы Б И Н Е – К О Ш И

1. Наиболее важное из следствий формулы Бине - Коши касается выражения минора матрицы

С = А В, где матрицы А и В , вообще говоря, не удовлетворяют требованиям приме-

нимости формулы Бине-Коши, что означает, что матрица С не обязана быть квадратной.

– 9 –

Итак, пусть матрица С является произведением матрицы А на матрицу В . Если матрица

А имеет размеры m x n , а матрица В – размеры n x k, то матрица С будет иметь раз-

меры m x k , где m , вообще говоря, не равно k . Выберем произвольный минор порядка p в

матрице С :

С = .

Этот минор является определителем квадратной матрицы порядка p, которая может быть

представлена как произведение двух матриц :

.

Здесь уже можно применить формулу Бине-Коши, которая даёт :

С = .

Таким образом, любой минор порядка р матрицы С , являющейся произведением двух

матриц А и В , выражается через миноры того же порядка р этих матриц по выше при-

ведённой формуле.

2. Следующее следствие касается ранга матрицы С , являющейся произведением двух

матриц А и В : ранг матрицы С не превосходит рангов матриц А и В, или

.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть , а , и пусть . Тогда,

используя выше приведённую формулу, можно утверждать, что все миноры матрицы С

порядка +1 равны нулю. Действительно, любой минор матрицы С порядка + 1 будет

выражаться выше доказанной формулой через миноры матриц А и В, причём в неё войдут

либо миноры порядка k + 1 матрицы А, либо – миноры порядка m + 1 матрицы В. Все они

равны нулю и, следовательно, будет равна нулю вся сумма т. е. минор матрицы С. Отсюда

следует, что ранг матрицы С не превосходит , что и требовалось доказать.

3. Последнее следствие касается определителя произведения двух квадратных матриц :

,

т. е. определитель произведения двух квадратных матриц равен произведению их опреде-

лителей.