Моделирование лактационной кривой в молочном скотоводстве

Моделирование лактационной кривой в молочном

скотоводстве

– д. э.н., профессор, зав. кафедрой математического моделирования экономических систем

(Мичуринский государственный аграрный университет)

При производстве молока обычно стремятся повысить управляемость, ритмичность и экономичность руководимого производства. Здесь может оказаться полезным строгий математический подход к проблемам, которые обычно возникают в таких ситуациях.

Синтез молока происходит в специализированных клетках молочных желез животного из простых питательных компонентов, доставленных вместе с кровью. Развитие и секреторная деятельность молочной железы у всех млекопитающих находится в тесной связи с развитием органов размножения, с процессом беременности и родов.

В первые дни лактации весь комплекс потребляемых питательных веществ и резервов тела используется биологической системой молокообразования. В это время прибавка продуктивности при повышении количества корма очень заметна. Затем в ходе лактации эта прибавка становится менее существенной. В начале лактации на синтез молока расходуются запасы организма, а в середине и конце лактации, наоборот, часть питательных веществ идет на пополнение израсходованных запасов в организме [1].

Итак, кривая лактации молочной коровы быстро возрастает на участке от отела до момента пика. Затем следует постепенный спад вплоть до запуска коровы. Изменения суточных надоев определяются изменениями в числе и активности клеток молочных желез. Попытки математического описания этой кривой чаще всего имеют своей целью прогнозирование надоев молока, потребностей в кормах и движения денежной наличности.

Большинство работ, посвященных моделированию лактационной кривой в условиях полноценного кормления, носит эмпирический характер.

В статье ставится цель изложить логические предпосылки, лежащие в основе построения лактационной кривой, позволяющие определить ее аналитические модели.

В качестве точки отсчета возьмем время отела и рассмотрим интервал времени длительностью t. Пусть Yt есть выход молока данного животного на отрезке времени, заключенном между моментами 0 и t. Тогда Yt/t – средняя продуктивность за время [0; t]. Пусть DY – прирост продукции за время Dt. Естественно предположить, что величина DY пропорциональна произведению средней производительности на величину Dt, т. е.

Деля обе части полученного равенства на Dt и переходя к пределу при Dt®0, получим:

Уравнение (2) описывает скорость изменения продуктивности Yt в зависимости от времени, прошедшего после отела. Очевидно, что кроме продуктивности данного животного эта величина зависит от периода лактации, что отражено в уравнении (2) множителем a(t). Как было указано выше, после отела удой быстро возрастает до максимума, после чего наступает постепенное снижение до наступления сухостойного периода – периода подготовки к следующей лактации.

Анализируя уравнение (2) легко видеть, что если a(t) > 0, то и dY/dt>0 и, следовательно, продуктивность возрастает, при a(t) = 0 она достигает максимума, а при a(t) < 0 наблюдается ее снижение.

Таким образом, учитывая характер лактационной кривой, следует считать, что a(t) – убывающая, знакопеременная функция. Таким образом, функция a(t) удовлетворяет следующим условиям:

a¢(t) < 0 (убывающая функция);

a(t) ³ 0 при t Î (0; tl]; a(t) < 0 при t Î(tl; tk] (условие знакопеременности функции). Здесь tl – время, при котором продуктивность достигает максимального значения (a(t) = 0), а tk – время окончания лактации.

В зависимости от вида a(t) мы будем получать различные модели лактационных кривых.

1. Положим a(t) = b – ct (b, c > 0).

Действительно, a¢(t) = – с < 0, т. е. a(t) – убывающая функция. Данная функция является знакопеременной: a(t) ³ 0 при t ³ b/c и a(t) < 0 при t< b/c.

Частный случай a(t) = 3 – 0,9t изображен на рис.1

Рисунок 1. График для a(t) = 3 – 0,9t

Подставив a(t) в (2), получим:

Поделив полученное равенство на tY, будем иметь

Зависимость (3) носит название модели Вуда [1].

Графическое изображение лактационной кривой, представленной моделью Вуда для a = 10 и a(t) = 3 – 0,9t (т. е. b = 3; c = 0,9) изображено на рис. 2.

Рисунок 2. График функции Y(t) = 10t3e-0,9t

2. Пусть a(t) = 1 – ct (c > 0).

Частный случай a(t) = 1 – 0,4t изображен на рис.3

Рисунок 3. График для a(t) = 1 – 0,4t

Легко видеть, что этот случай сводится к предыдущему при b = 1. Тогда, подставив в (3) b = 1, получим:

Данная модель лактационной кривой принадлежит Вуичичу и Бачичу [1, c.262] и является частным случаем модели Вуда.

Графическое изображение лактационной кривой, представленной моделью Вуичича и Банича для a = 8 и a(t) = 1 – 0,4t (т. е. c = 0,4) изображено на рис. 4.

Рисунок 4. График функции Y(t) = 8te-0,4t

3. Модель Дханоа [1, c.267]

также является частным случаем модели Вуда при k1 = a; k2 = b/c; k3 = c. Тем самым, a(t) = k2k3 – k3t = k3(k2 – t). Тогда a¢(t) = – k3 < 0 при k3 > 0. Теперь определим интервалы знакопостоянства функции a(t).

1.a(t) ³ 0: k3(k2 – t) ³ 0, что при k3 > 0 эквивалентно условию (k2–t) ³ 0, т. е. t £ k2.

2. a(t) < 0: k3(k2 – t) < 0, что при k3 > 0 эквивалентно условию (k2 – t) < 0, т. е. t > k2.

Из приведенных соотношений следует, что k2 > 0. Таким образом, показано, что a(t) является убывающей знакопеременной функцией.

Для k3 = 1; k2 = 4, получим a(t) = 4 – t. График a(t) = 4 – t изображен на рис. 5.

Рисунок 5. График для a(t) = 4 – t

Для k1 = 8 получим модель вида: Yt = 8t4e-t, график которой изображен на рис. 6.

Рисунок 6. График функции Y(t) = 8t4 e-t

4. Формализация Нелдера [1, c.267]

может быть получена из уравнения (2) при

Поэтому a(t) будет убывающей функцией (a¢(t) < 0), если k2 > 0 и k3 > 0; либо k2 <0 и k3 < 0.

Рассмотрим вопрос о знакопеременности функции a(t). В первом случае (k2 > 0 и k3 > 0), числитель данной функции равен нулю при , т. е. должно выполняться условие k1 > 0. Если квадратный трехчлен k1 + k2t + k3t2 не имеет действительных корней, то a(t) ³ 0 при и a(t) < 0 при . Если же квадратный трехчлен k1 + k2t + k3t2 имеет действительные корни, то при k1 < 0 они будут иметь отрицательные значения, что не соответствует реальному содержанию параметра t.

Следовательно, при k2 > 0 и k3 > 0 имеется возможность построить убывающую и знакопеременную функцию a(t).

Если k2 <0 и k3 < 0, то числитель функции a(t) равен нулю при , т. е. должно выполняться условие k1 < 0. В этом случае знаменатель функции a(t) будет отрицателен и a(t) ³ 0 при и a(t) < 0 при . Следовательно, и при k2 < 0 и k3 < 0 также имеется возможность построить убывающую и знакопеременную функцию a(t).

Теперь, подставив a(t) в (2) будем иметь:

Учитывая, что

получим lnY = ln(t) – ln (k1 + k2t + k3t2) + lna или

Yt = at×(k1 + k2t + k3t2

Легко видеть, что формула Нелдера является частным случаем полученного выражения при а = 1.

Взяв те же значения k1, k2, k3, что и в предыдущем случае, для формализации Нелдера получим функцию:

график которой изображен на рис. 7.

Рисунок 7. График для a(t) = (8 – t2)/(8+4t+t2)

Модель Нелдера, полученная из формулы (7) при а = 1 примет вид:

Yt=t×(8 + 4t + t2)-1, графическое изображение которой представлено на рис.8.

Рисунок 8. График функции Y(t) = t×(8 + 4t + t2)-1

В общем случае, для а ¹ 1, форма лактационной кривой будет сохранена. Отличие будет только в более высоких значениях величины Y(t). Для а = 10 график представлен на рис. 9.

Рисунок 9. График лактационной кривой Y(t) =10t×(8 + 4t + t2)-1

Рассмотренные в [1] модели Гейнса

Кобби и Ле Ду

и Дханоа и Ле Ду

на наш взгляд не имеют под собой логической основы, а носят чисто эмпирический характер.

Учитывая, что a(t) является убывающей и знакопеременной функцией, на основе уравнения (2) можно получить ряд новых зависимостей для лактационной кривой.

5. Пусть a(t) = b/t – c; (b, c > 0).

Действительно, , т. е. a(t) – убывающая функция. Кроме того, при t Î(0; b/c] a(t) ³ 0, а при t Î( b/c; tk) a(t) < 0, т. е. a(t) – знакопеременная функция. Тогда из (2) получим:

В частности для b = 6 и с = 2, получим a(t) = 6/t – 2, график которой изображен на рис. 10.

Рисунок 10. График функции a(t) = 6/t – 2

Тогда формула лактационной кривой для а = 10 будет иметь вид:

График данной лактационной кривой изображен на рис. 11.

Рисунок 11. График лактационной кривой

6. В качестве a(t) может выступать кусок параболы, который на временном интервале, отражающим период лактации, является знакопеременной и убывающей функцией. Например, положим a(t) = a – bt – 2ct2 (a, b,c > 0). Учитывая, что функция a(t) должна быть убывающей, имеем a¢(t) < 0, т. е. – b – 2ct < 0, откуда b < 2ct. Очевидно, что при b, с > 0, данное условие будет выполнено всегда. Для определения условий знакопеременности функции, решим уравнение a(t) = 0, т. е.– 2ct2 – bt + а = 0, откуда

Таким образом, a(t) ³ 0 при . Учитывая же, что t ³ 0, получим a(t) < 0 при

Таким образом, a(t) является убывающей и знакопеременной функцией.

Подставив a(t) в (2), получим:

Рассмотрим функцию a(t) = 20 – t – 2t2 (рис. 12).

Рисунок 12. График функции a(t) = 20 – t – 2t2

Следовательно, в соответствии с формулой (9), уравнение лактационной кривой примет вид:

Для d = 0,1 график лактационной кривой изображен на рис. 13.

Рисунок 13. График лактационной кривой

Следует отметить, что a(t) может иметь вид: a(t) = at2 + bt + c (a>0). Иначе говоря, можно подобрать коэффициенты b и c таким образом, что на интервале t Î(0; tk] функция a(t) будет убывающей и знакопеременной.

7. Пусть a(t) = 2с/t2 – b; (b, c > 0).

Тогда . a(t) ³ 0 при и a(t) < 0 при

Таким образом, функция a(t) является убывающей и знакопеременной. Подставив a(t) в (2), получим:

Рассмотрим функцию a(t) = 8/t2 – 1, график которой приведен на рис. 12.

Рисунок 14. График функции a(t) = 8/t2 – 1

Для а = 0,1 график лактационной кривой изображен на рис. 15.

Рисунок 15. График лактационной кривой

Особо следует отметить, что, зная уравнение лактационной кривой можно осуществлять оперативное управление процессом производства молока. Это обусловлено тем, что, имея зависимость Y(t) рассчитывается показатель максимальной продуктивности и соответствующий ему момент времени, а также объем произведенного молока в течение любого интервала времени. Данная информация позволяет принимать решения по ресурсному обеспечению отрасли и реализации продукции.

Литература

1. Франс, Дж. Математические модели в сельском хозяйстве /Дж. Франс, Дж. Х.М. Торнли. – М.: Агропромиздат, 1987. – 400с.

Опубликована:

Смагин, Б. И. Моделирование лактационной кривой в молочном скотоводстве / // Математические и инструментальные методы экономического анализа: управление качеством. Сборник научных трудов. Выпуск 19. – Тамбов: ТГТУ, 2005. – С. 298 – 309.