Примерные вопросы и задачи обязательного теста на экзамене (для получения оценки удовлетворительно)

Примерные вопросы и задачи обязательного теста

на экзамене (для получения оценки удовлетворительно)

Методы математической физики для экспериментаторов

лектор:

madam. *****@***ru

(4 курс, 7 семестр, 2012)

Замечание1:

При ответе на любой вопрос следует дать краткое определение или пояснение всем объектам, которые возникают в ответе. В каждой написанной формуле следует объяснить, что означает каждый ингредиент формулы. Однако не следует проявлять фанатизм. Например, не надо уточнять, что в выражении знак означает суммирование по индексу . В то же время необходимо пояснить, что такое . Другой пример: при комментировании выражения не разумно указывать, что это одномерный интеграл Римана. Однако при описании выражения разумно пояснить, что речь идет о криволинейном интеграле 2-го рода, взятом по кривой в трехмерном пространстве. Если Вы уже описали данный объект в ответе на другой вопрос, укажите в каком именно.

Другими словами, ответ на вопрос не должен вызывать у проверяющего мучительного недоумения: или экзаменующийся знал, но не написал, что имеется в виду, или ему не позволили это сделать другие обстоятельства (не знал, кончилась шпаргалка, села батарейка, характер вредный и т. д.)

Вопросы:

1.  Почему для уравнения Гельмгольца на бесконечности ставятся условия излучения?

2.  Выписать условия излучения.

3.  Выписать условие излучения, которому удовлетворяет рассеянная сферическая волна.

4.  Описать постановку задачи дифракции (рассеяния) на препятствии в трехмерном пространстве.

5.  Дать определение поверхности Ляпунова.

6.  Записать потенциал простого слоя в виде поверхностного интеграла.

7.  Записать потенциал двойного слоя в виде поверхностного интеграла.

8.  Написать общий вид асимптотики потенциала простого слоя на бесконечности.

9.  Написать общий вид асимптотики потенциала двойного слоя на бесконечности.

10.  Написать формулы для предельных значений потенциала двойного слоя на поверхности.

11.  Написать формулы для предельных значений нормальной производной потенциала простого слоя на поверхности.

12.  Указать краевую задачу, для которой эквивалентное ей интегральное уравнение является союзным к интегральному уравнению эквивалентному внутренней задаче Неймана для уравнения Гельмгольца.

13.  Указать краевую задачу, для которой эквивалентное ей интегральное уравнение является союзным к интегральному уравнению эквивалентному внутренней задаче Дирихле для уравнения Гельмгольца.

14.  Дать определение собственных чисел и собственных функций внутренней задачи Дирихле для оператора Лапласа.

15.  Дать определение собственных чисел и собственных функций внутренней задачи Неймана для оператора Лапласа.

16.  Описать условия разрешимости внутренней задачи Неймана для уравнения Гельмгольца.

17.  Описать условия разрешимости внутренней задачи Дирихле для уравнения Гельмгольца

18.  Написать, в какой форме ищутся формальные асимптотические решения уравнения при вне точек поворота (ВКБ-асимптотики).

19.  Написать главный член ВКБ-асимптотик решений уравнения при .

20.  В каком случае главный член ВКБ-асимптотик (выписать главный член) решений уравнения при имеет осциллирующий характер?

21.  В каком случае главный член ВКБ-асимптотик решений уравнения при имеет экспоненциальный характер?

22.  Дать определений простой точки поворота уравнения .

23.  Выписать модельное уравнение в окрестности простой точки поворота для уравнения .

24.  Выписать замену переменной, с помощью которой модельное уравнение для уравнения в окрестности простой точки поворота сводится к уравнению Эйри.

25.  Дать определение через интегральные представления любых (по выбору) линейно независимых решений уравнения Эйри.

26.  Выписать асимптотику любых (по выбору) линейно независимых решений уравнения Эйри при и , где - независимая переменная уравнения Эйри.

27.  Выписать анзатц Олвера для уравнения при в окрестности простой точки поворота.

28.  Написать, в какой форме ищутся высокочастотные асимптотические решения уравнения Гельмгольца в неоднородной среде .

29.  Каким образом возникает уравнение эйконала при построении высокочастотных асимптотических решений уравнения Гельмгольца в неоднородной среде ?

30.  Каким образом возникает уравнение переноса при построении высокочастотных асимптотических решений уравнения Гельмгольца в неоднородной среде ?

31.  Написать главный член высокочастотных асимптотик решений уравнения Гельмгольца в неоднородной среде и описать все входящие туда ингредиенты.

32.  Выписать решение уравнения эйконала.

33.  Дать определение функционала Ферма.

34.  В терминах функционала Ферма дать определение лучей и волновых фронтов.

35.  Дать определение функции Гамильтона с помощью преобразования Лежандра.

36.  Выписать каноническую систему Гамильтона эквивалентную уравнению Эйлера для функционала .

37.  В чем заключается специфика условий трансверсальности для функционала Ферма?

38.  Написать уравнение Гамильтона-Якоби для произвольного функционала.

39.  С каким уравнением совпадает уравнения Гамильтона-Якоби в случае функционала Ферма?

Типовые задачи:

1.  Для уравнения при найти главный член асимптотического при ВКБ-разложения решений в областях, не содержащих точек поворота.

2.  Для уравнения при найти главный член асимптотического при ВКБ-разложения решений в областях, не содержащих точек поворота.

3.  Для уравнения при найти главный член асимптотического при ВКБ-разложения решений в областях, не содержащих точек поворота.

4.  Для уравнения при найти главный член асимптотического при ВКБ-разложения решений в областях, не содержащих точек поворота.

5.  Разделением переменных в уравнении эйконала найти эйконал в квадратурах (то есть без вычисления интегралов) для двумерного уравнения Гельмгольца в неоднородной среде при .

6.  Разделением переменных в уравнении эйконала найти эйконал в квадратурах (то есть без вычисления интегралов) для двумерного уравнения Гельмгольца в неоднородной среде при

7.  Разделением переменных в уравнении эйконала найти эйконал для двумерного уравнения Гельмгольца в однородной среде при .

8.  Проверить, что функции и удовлетворяют условиям излучения (при соответствующем выборе знака в условии).

9.  Исследовать разрешимость следующей краевой задачи: здесь область в трехмерном пространстве, - граница этой области.

10.  Исследовать разрешимость следующей краевой задачи: здесь сфера в трехмерном пространстве, - «северное» полушарие сферы, - «южное» полушарие сферы.

11.  Исследовать разрешимость следующей краевой задачи: здесь область в трехмерном пространстве, - граница этой области.

12.  Исследовать разрешимость следующей краевой задачи: здесь сфера в трехмерном пространстве, - «северное» полушарие сферы, - «южное» полушарие сферы.

13.  Исследовать разрешимость следующей краевой задачи: здесь область в трехмерном пространстве, поверхность - граница этой области, - точка на границе области, - внешняя нормаль к поверхности . Указание: выписать условие разрешимости задачи и воспользоваться в нем формулой Остроградского.

Замечание: Образцы решения некоторых задач см. в Домашних заданиях.

ЛИТЕРАТУРА:

1.  , Курс высшей математики, том IV, часть вторая, М: Наука, 1981

2.  , Уравнения математической физики: Учебник, М: Наука, 1988

3.  , Курс высшей математики, том IV, часть первая, М: Наука, 1974

4.  Методы интегральных уравнений в теории рассеяния, М: Мир, 1975

5.  , Асимптотические методы для линейных обыкновенных дифференциальных уравнений, М.: «Наука», 1983

6.  , , Асимптотические методы в задачах дифракции коротких волн. Метод эталонных задач, М: Наука, 1972