Методические указания к практическим занятиям и самостоя-тельной работе. по дисциплине «Численные методы»

МИНИСТЕРСТВО ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ

РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ

( МИИТ )

Кафедра «Прикладная математика –1»

,

Утверждено

редакционно-издательским

советом университета

ПОГРЕШНОСТИ. АППРОКСИМАЦИЯ ФУНКЦИЙ.

Методические указания к практическим занятиям и самостоятельной работе.

по дисциплине

«ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ»

для студентов специальности

«ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА»

Москва - 2002

МИНИСТЕРСТВО ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ

РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ

( МИИТ )

 

Кафедра «Прикладная математика –1»

,

Утверждено

редакционно-издательским

советом университета

ПОГРЕШНОСТИ. АППРОКСИМАЦИЯ ФУНКЦИЙ.

Методические указания к практическим занятиям и самостоятельной работе.

по дисциплине

«ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ»

для студентов специальности

«ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА»

Москва - 2002

УДК 519.6:512.64

В-58

, Посвянский линейной алгебры. Методические указания к лабораторным работам по дисциплине «Численные методы». М.: МИИТ, 20с.

Методические указания к лабораторным работам посвящены решению систем линейных алгебраических уравнений.

Они содержат четыре различных задания, в каждом из кото­рых 20 вариантов. Студент выполняет по одному варианту из каждого задания по указанию пре­подавателя, Все задания носят учебно-исследовательский характер.

Указания согласованы с программой дисциплины “Численные методы”, кото­рая изучается студентами второго и третьего курса специальности “Приклад­ная математика”.

ãМосковский государственный

университет путей сообщения

(МИИТ), 2002

1.  ПОГРЕШНОСТИ.

1.1  .Введение

Пусть X-точное значение переменной величины Х, а

х - её приближенное значение.

Определение 1. Абсолютной погрешностью величины Х называется разность между её точным и приближенным значением.

Абсолютная погрешность обозначается :

-Х

Определение 2. Относительной погрешностью величины Х называется, отношение её абсолютной погрешности к приближенному значению величены Х.

.

Определение 3. Предельной абсолютной погрешностью, величены Х называется, нижняя граница максимального модуля её абсолютной погрешности.

Предельная абсолютная погрешность обозначается :

.

Определение 4. Предельной относительной погрешностью величены Х, называется отношение предельной абсолютной погрешности к модулю приближенного значения величены Х. Предельная относительная погрешность обозначается :

.

В дальнейшем слово “предельная” опускается.

По своему происхождению погрешности делятся на неустранимые, погрешности метода и вычислительные.

Неустранимая погрешность- это погрешность результата, получающаяся из-за того, что имеются погрешности исходных данных.

Если вычисляются значение функции многих переменных , то неустранимую абсолютную погрешность можно оценить по формуле:

,

где , .

Погрешность метода возникает при замене решения данной задачи близким в некотором смысле решением другой задачи.

Вычислительная погрешность - это погрешность, возникающая при округлении, равная половине от единицы последнего оставляемого разряда.

Так, если число

,

где - основание системы исчисления, требуется округлить до m цифр, отбросив остальные, то после округления число Х будет задано с абсолютной погрешностью

.

Цифра называется верно, значащей, если абсолютная погрешность числа не превосходит половины от единицы разряда, в котором стоит это число, то есть .

Полная абсолютная погрешность равна сумме абсолютных погрешностей: вычислительной, метода и неустранимой.

1.2. Задачи.

1.  Доказать, что предельная абсолютная погрешность суммы равна сумме предельных абсолютных погрешностей слагаемых.

2.  Доказать, что предельная абсолютная погрешность разности равна сумме предельных абсолютных погрешностей уменьшаемого и вычитаемого.

3.  Доказать, что предельная относительная погрешность произведения равна сумме предельных относительных погрешностей сомножителей.

4.  Доказать, что предельная относительная погрешность частного равна сумме предельных относительных погрешностей делимого и делителя.

5.  В данных числах оставить только верные цифры, если абсолютная погрешность .

.

6.  Округлить следующие числа, записанные в десятичной системе исчисления, оставив два знака после запятой:

3,14384; 4,55691; 91,99987; 4,555001; 95,685000; 96,875000.

7.  Округлить следующие числа, записанные в шеснадцатиричной системе исчисления, оставив два знака после запятой:

DE, 15F5; 3,143AE; 9,995.

8.  Округлить следующие числа, записанные в двоичной системе исчисления, оставив два знака после запятой:

111,0110; 11,0011; 101,11001; 101,10000.

9.  В числе m верных цифр. Оценить его абсолютную погрешность.

10.  Относительная погрешность числа не превосходит 10. Оценить число его верных цифр.

11.  Оценить количество верных цифр в ответе при вычислении значения функции , если X=0,0246, где все цифры верны.

Ответ: 6.

12.  Оценить количество верных цифр, полученных, при вычислении величены Z=e, где все цифры заданных чисел верны.

Ответ: 2.

13.  Оценить абсолютную погрешность величины

Z=1,51+2,30+4,55. если все цифры

слагаемых верны, а вычисления ведутся с двумя знаками после запятой.

Записать ответ.

Ответ:

Z=8,36

14.  Со сколькими верными цифрами надо задать значения аргументов X иY при условии равенства влияний их погрешностей на погрешность результата, чтобы получить значение величены с тремя верными цифрами, если и.

Ответ: X иY должны быть заданны

с тремя верными цифрами

15.  Со сколькими верными цифрами надо задать значения аргументов X иY при условии равенства их относительных погрешностей, чтобы получить значение величены с тремя верными цифрами, если и.

Ответ: X должен быть задан с

тремя цифрами, а Y с двумя.

16.  Для каких, X относительная погрешность равенства не превосходит 1%

Ответ:

17.  Со сколькими верными цифрами надо задать значения аргументов X иY при условии равенства их абсолютных погрешностей, чтобы получить значение величены с тремя верными цифрами, если и.

Ответ: X надо знать с тремя верными цифрами;

Y надо задать с тремя верными цифрами.

18.  Оценить абсолютную погрешность величины

, если все цифры сомножителей верные, а вычисления ведутся с двумя знаками после запятой.

Записать ответ.

Ответ:

Z=15

19.  Оценить абсолютную погрешность величины

, если вычисления ведутся с четырьмя знаками, используются четырёх значные таблицы синусов и все цифры исходных данных верны.

Ответ:

20.  Оценить абсолютную погрешность величины

, если все цифры исходных данных верны, а вычисления ведутся с двумя знаками после запятой.

Ответ:

21.  Оценить абсолютную погрешность величины

, если все цифры исходных данных верны, а вычисления ведутся с двумя знаками после запятой.

Ответ:.

22.  Оценить абсолютную погрешность величины

, если все цифры аргумента верные, используются четырёхзначные таблицы натуральных логарифмов, а вычисления ведутся с тремя знаками после запятой.

Ответ:.

23.  Вычисляются значения квадратного трехчлена Z = C + B*X + A*, где A = 0,031, B = 2,359, C = 1,036 при X = 0,499. Оценить количество верных цифр в ответе, если все цифры исходных данных верны.

Ответ 3.

24.  Определить количество верных цифр в ответе, получаемых при вычислении значения функции , если X=3,002, Y=5,1445, где цифры верные, а коэффициенты - точные числа.

Ответ 3.

25.  Оценить абсолютную погрешность функции , если относительная погрешность аргумента .

Ответ:

26.  Оценить абсолютную и относительную погрешность значения , где , если все цифры в значении аргумента верны

Ответ:

27.  Оценить абсолютную погрешность величины , если при её отыскании используются четырехзначные таблицы синусов и косинусов, вычисления производят с 3 знаками после запятой, а аргументы синуса и косинуса - точные числа.

Ответ:

28.  Определить количество верных цифр в ответе, полученном при вычислении значения при X=3.333, где все цифры верные .

Ответ: 4

29.  Оценить абсолютную погрешность величины , если при её округлении используются четырехзначные таблицы синусов, а вычисления проводятся с 3 знаками после запятой. Аргумент синуса – точное число.

Ответ:

30.  Со сколькими верными цифрами надо задать , чтобы получить значение c 4 верными цифрами.

Ответ: 4.

31.  Со сколькими верными цифрами надо задать X, чтобы получить значение с 4 верными цифрами при X=16.

Ответ: 3

32.  С какой относительной погрешностью надо задать значение аргумента , чтобы получить значение функции с относительной погрешностью

Ответ:

33.  По таблице отыскивается величина для X=1.239. Какой наименьшей точности надо взять таблицу .

Ответ: Надо взять трехзначные

таблицы синусов.

34.  Определить количество верных цифр в ответе при вычислении значения при X=1.002, где все цифры аргумента верные, а коэффициенты точные числа.

Ответ: 2.

35.  Со сколькими верными цифрами надо задать значение аргумента X, чтобы получить значение Y=lnX с 4 верными цифрами, если , .

Ответ: 4.

36.  По таблице натуральных логарифмов определяется значение Y=lnX для X=3.4625, где все цифры верные. Какой наименьшей точности можно взять таблицу? .

Ответ: следует взять пятизначные

таблицы.

37.  Для каких X относительная погрешность равенства не превосходит .

Ответ:

38.  Определить количество верных цифр в ответе при вычислении значения , если X=2.344 и Y=1.000, где все цифры верные, а погрешностью таблиц натуральных логарифмов можно пренебречь.

Ответ: 0 – верно значащих цифр.

39.  Период колебаний математического маятника . Оценить величины абсолютных погрешностей , предполагая их равное влияние на погрешность T, если , а значение периода T=2с.

Ответ:

40.  Оценить абсолютную и относительную погрешности функции при , где все цифры верные.

Ответ:

2.  ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ

2.1. Введение

Рассмотрим функции, принадлежащие линейному пространству: и определённые на множестве F. Рассмотрим также систему из линейно-независимых функций , , принадлежащих тому же пространству L, определённые на F.

Определение 1. Линейная комбинация функций ,

называется обобщенным многочленом по системе функций , порядка не выше n.

Определение 2. Система линейно-независимых функций называется системой Чебышева на F, если любой обобщенный многочлен имеет на F не более n различных нулей.

2.2. Интерполирование.

Постановка задачи. Пусть заданы значения аргумента , и значения функции , . Требуется найти такой обобщенный многочлен , значения. Которого при равны соответствующим значениям функции , то есть , .

Интерполяционный многочлен Лагранжа.

.

Оценка остаточного числа интерполяционного многочлена Лагранжа.

Определение. Пусть для каждого i, и , то есть значение аргумента, называемые узлами интерполирования равноотстоящие и упорядоченные.

Пусть даны значения функции .

Тогда конечной разностью I порядка в точке i называется разность значений функции и .

Обозначение .

Конечной разностью порядка m в точке i, , называется разность конечных разностей порядка m-1 в точках i+1 и i:

.

Интерполяционный многочлен Ньютона для равноотстоящих промежутков вперед

.

Оценка остаточного члена

.

Интерполяционный многочлен Ньютона для равноотстоящих промежутков назад

.

Оценка остаточного члена.

.

Теорема. Интерполяционный многочлен по системе функций и узлам , для функции на существует и единственен тогда и только тогда, когда система функций является системой Чебышева на F.

2.2. Задачи.

1.  Используя а) квадратичную интерполяцию с узлами в целочисленных точках, б) линейную интерполяцию, вычислить

Оценить погрешность найденного значения.

Ответ: а) б)

2.  Используя а) квадратичную интерполяцию по узлам

б) линейную интерполяцию по узлам и , вычислить .

Оценить погрешность найденного значения.

Ответ:

3.  Доказать, что при данных узлах интерполирования среди алгебраических многочленов порядка существует бесчисленное множество различных многочленов, удовлетворяющих условию:

4.  при любых. Доказать, что все интерполяционные многочлены данного порядка n для данной функции не зависят от выбора узла интерполирования в том и только том случае, когда есть алгебраический многочлен порядка n.

5.  Доказать, что

6.Получить формулу для оценки погрешности линейного интерполирования

7. Получить формулу для оценки погрешности квадратичного интерполирования в случае равно отстоящих узлов

8. Исходя из интерполяционного многочлена Лагранжа, получить формулу для линейного интерполирования в виде

9.Для функции найти интерполяционный алгебраический многочлен по узлам

Ответ:

10.Для функции по узлам найти алгебраический интерполяционный многочлен.

Ответ: L=X

11.Для функции найти алгебраический интерполяционный многочлен по узлам:

Ответ:

12.Дана таблица натуральных логарифмов

X	1,70	1,71	1,72	1,73
Y	0,5306	0,5365	0,5423	0,5481

Найти ln 1,717 с помощью линейного интерполирования и оценить погрешности найденного значения.

Ответ:

13. Дана таблица значений функций.

X	3,70	3,71	3,72	3,73	3,74
Y	40,447	40,854	41,264	41,679	42,098

Найти Y(3,725) с помощью линейного интерполирования и оценить погрешность значения.

Ответ:

14.Значения Y=lnX, отыскиваются с помощью пятизначных таблиц функции заданных с шагом с использованием линейного интерполирования. Оценить максимальную погрешность найденных значений.

Ответ:

15.Можно ли применять линейное интерполирование при использовании четырехзначных таблиц значений функции Y=sinX заданных с шагом при чтобы погрешность интерполирования не превосходила погрешности табличных данных.

Ответ: Можно.

16.Какое интерполирование: линейное или квадратичное имеет смысл применять в четырехзначной таблице мантисс десятичных логарифмов с шагом h=0,1при , чтобы погрешность интерполирования не превосходила погрешности табличных данных.

Ответ: Линейное.

17. Построить обобщенный интерполяционный многочлен для функции

если

Ответ: .

18. Оценить шаг четырёхзначной таблицы значений функции , чтобы она допускала:

а) линейную интерполяцию б) квадратичную интерполяцию

Ответ: а)

19. Оценить шаг четырехзначной таблицы значений функции , чтобы она допускала:

а) линейную интерполяцию,

б) квадратичную интерполяцию.

Ответ:

20. Доказать, что система функций: является системой Чебышева на любом отрезке .

21.Доказать, что система функций:

является системой Чебышева на любом отрезке

22.Доказать, что система функций:

является системой Чебышева на любом отрезке

23.Доказать, что система функций:

является системой Чебышева на любом отрезке π[

24.Функция задается таблицей

X	0,3	0,4	0,5	0,6
	0,23582	0,31084	0,38292	0,45149
X	0,7	0,8	0,9	1,0
	0,51607	0,57629	0,63188	0,68269

Какой степени интерполяционный многочлен надо построить, чтобы вычислить Ф.(0,48):

а) с тремя верными знаками;

б) Ф.(0,87): с пятью верными знаками?

Ответ: а) многочлен 1-го порядка;

б) многочлен 4-го порядка;

25.Интегральный синус задан таблицей:

X	0,28	0,38	0,48	0,58
	0,27878	0,37696	0,47390	0,56927
X	0,68	0,78	0,88	0,98
	0,66277	0,75411	0,84301	0,92919

Какой степени интерполяционный многочлен надо построить, чтобы вычислить:

а) Si(0,86) с двумя верными знаками;

б) Si(0,35) с пятью верными знаками?

Ответ: а) Многочлен 2-го порядка ;

б) Многочлен 3-го порядка

26. Функция задана таблицей

X	0,4	0,5	0,6	0,7	0,8
	0,9735	0,9589	0,9411	0,9203	0,8967
X	0,9	1,0	1,1	1,2
	0,8704	0,8415	0,8102	0,7767

Используя интерполяцию многочленом второго порядка, вычислить .Определить количество верных знаков в каждом из этих результатов.

Ответ:

27.Функция , где - многочлен Лежандре 5-го порядка задается таблицей:

	0,78399	0,54713	0,27149	0,00088
	-0,22327	-0,36910	-0,41968	-0,37565

Вычислить , используя интерполяцию многочлена второго порядка.

Ответ:

28. Известны значения многочлена Эрмита третьего порядка в токах

	1,12	1,17	1,22	1,27
	-1,95507	-1,90839	-1,94415	-1,76162

Не вписывая самого многочлена, вычислить , используя таблицу конечных разностей.

Ответ: .

29. Функция Крылова задана таблицей

Х	2,70	2,80	2,85	3,0
	2,4725	2,6208	2,6862	2,8346

Вычислить , построив интерполяционный многочлен третьего порядка.

Ответ:

30. Таблица значений многочлена Эрмита четвертого порядка .

X	1,12	1,17	1,22	1,27
	-2,95288	-3,33961	-3,71507	-4,07595
X	1,32	1,37	1,42	1,47
	-4,41844	-4,73855	5,03253	5,29591

содержит одну опечатку. Найти ее, построив таблицу конечных разностей.

Ответ: .

31.Известно, что функция является многочленом, по таблице ее значений определить эту функцию:

X	1,50	1,55	1,60	1,65
	-1,12500	-0,92612	-0,70400	-0,45788
X	1,70	1,75	1,80
	-0,18700	0,10938	0,43200

Ответ: Многочлен третьего порядка по

32.Четвертая функция задана значениями

X	1,1	1,4	1,7
	0,88021	0,95229	0,98379

Найти с помощью интерполяционного многочлена.

Ответ:

33. Четвертая функция задана таблицей:

X	1,1	1,3	1,5	1,7
	0,11980	0,06599	0,03389	0,01621

Найти с помощью интерполяционного многочлена.

Ответ:

34.Функция Гудермана задана таблицей

X	0,21	0,26	0,31	0,36
	0,20847	0,25712	0,30515	0,36247
X	0,41	0,46	0,51
	0,39897	0,44459	0,48923

в которой есть опечатка. Найти ее, используя таблицу конечных разностей.

Ответ:

3.АППРОКСИМАЦИЯ ФУНКЦИЙ В ЛИНЕЙНОМ НОРМИРОВАННОМ ПРОСТРАНСТВЕ

3.1. Введение.

Пусть и многочлен

Определение. Многочлен называется многочленом наилучшего приближения для функции, если на нем достигается точная нижняя граница по всем многочленам нормы разности функции и многочлена.

- многочлен наилучшего равномерного приближения (м. н. р. п.) для функции , если:

Теорема. М. н.р. п. существует и единственное, тогда и только тогда, когда система функций является системой Чебышева.

Теорема. Для того, чтобы был м. н. р. п. необходимо и достаточно, чтобы существовало по крайней мере значения таких, что выполняются равенства:

Определение - многочлен наилучшего среднеквадратичного приближения (м. н. с. п.) для функции на множестве F, если выполняется равенство:

Теорема. м. н. с. п. существует и единственное на F.

Теорема. Если м. н.с. п.,то ортогональна ко всем многочленам :

Отсюда следует система уравнений для определения коэффициентов м. н. с. п.

(1)

3.2.Постановка задачи. Метод наименьших квадратов.

Пусть даны значения аргумента и значения функции и задана функция зависящая от параметра причем . Требуется найти такие значения параметров при которых величина равная сумме квадратов отклонений значений функции от значений функции по всем достигает наименьшего значения:

Величина рассматривается как функция переменной . Тогда для параметров получаем, используя необходимое условие экстремума, уравнение вида:

Отсюда:

(2)

Если является обобщенным многочленом то система уравнений (2) совпадает с системой (1), которая всегда имеет решение, так как ее определитель совпадает с определителем Грамма.

3,3. Равномерное приближение. Задачи.

1.Доказать, что алгебраический многочлен наилучшего равномерного приближения нулевого порядка для непрерывной функции имеет вид:

2.Найти многочлен наилучшего равномерного приближения нулевого порядка для функции .

Построить графики функции и многочлена

на отрезке , если имеет вид:

3.Доказать, что график алгебраического многочлена наилучшего равномерного приближения порядка не выше первого для непрерывной, сохраняющей выпуклость функций , совпадает со средней линией между хордой и касательной к графику функции, параллельной хорде.

Коэффициенты м. н.р. п. . Определяются по формулам:

4.Найти многочлен наилучшего равномерного приближения порядка не выше первого для функции .Построить графики .

5.Доказать, что если функция - четная, то м. н.р. п. для этой функции на симметричном относительно начала координат отрезке есть четная функция, а если - нечетная, то м. н. р. п. на тоже нечетная функция.

6.Для функции найти алгебраический м. н.р. п. порядка не выше второго. Построить графики:

Ответ:

7. Для функции найти м. н. р. п. порядка не выше второго. Построить графики .

Ответ:

8. Для функции на множестве значений найти алгебраический м. н. р. п. порядка не выше второго. Нанести значения на координатную плоскость.

Ответ:

9,Для функции найти м. н. р. п. вида

Ответ:

10.Среди всех приведенных многочленов третьего порядка найти наименее уклоняющийся от нуля на отрезке:

11. Среди всех приведенных алгебраических многочленов порядка принимающих заданное значение при причем найти многочлен наименее уклоняющийся от нуля.

Ответ:

12. Для данного, приведенного многочлена порядка

найти наименее от него уклоняющийся многочлен порядка не выше

Ответ:

В частности,

3.4. Среднеквадратичное приближение. Задачи.

(Задачи, отмеченные требуют большого объема вычислений).

1.Для функции найти алгебраический м. н. с. п. порядка не выше второго.

Ответ: .

2.* Для функции найти алгебраический м. н. с. п. порядка не выше второго.

Ответ:

3. Для найти алгебраический м. н. с. п. нулевого порядка Построить графики . Сравнить ответы с соответствующими результатами задачи № 2, п. 3.3. если имеет вид:

4. Для функции найти алгебраический м. н. с. п. порядка не выше первого.

Построить графики . Сравнить ответы с ответами задачи 4, п. 3.3.

5. Доказать, что, если функция четная (нечетная), то м. н. с. п. для этой функции на симметричном относительно начала координат отрезке является четной (нечетной) функцией.

6. Для функции найти алгебраический м. н. с. п. порядка не выше второго. Построить графики Сравнить ответы с результатами задачи 6, п. 3.3.

Ответ:

7. Для функции найти алгебраический м. н. с. п. порядка не выше первого.

Ответ:

8. Для функции найти м. н. с. п. вида . Сравнить ответ с результатами задачи 9, п.3.3.

Ответ:

9.* Для функции найти м. н. с. п. по системе функций

Ответ:

10. Для функции найти м. н. с. п. по системе функций .

Ответ:

11. Для функции найти м. н. с. п. по системе функций .

Ответ:

12.* Для многочлена найти алгебраический м. н. с. п. порядка не выше .

13.*Произвести ортогонализацию базиса функций на отрезке . Пользуясь полученной системой многочленов Лежандра найти алгебраический м. н. с. п. порядка не выше второго для функции . Сравнить результат с ответом в задаче 1, п.3.4.

Ответ:

14.*Произвести ортогонализацию базиса функций на множество значений . Пользуясь полученной системой функций, найти алгебраический м. н. с. п. порядка не выше второго для функций на данном множестве значений аргумента

Ответ:

Ортогональный базис

0	1	-6	24,579	0
1	1	-5	9,683	1
4	1	2	-23,007	2
9	1	3	-37,290	3
16	1	10	26,235	4

15. Дана экспериментальная зависимость

	0	1	3	4
	1/2	2	20	100
	-0,69	0,69	3,00	4,61

Последняя строчка данной таблицы это задание для задачи №17.

Известно, что изучаемая зависимость аппроксимируется функцией . Используя экспериментальные данные, составить систему уравнений для определения значений по методу наименьших квадратов.

Ответ:

16. Условие тоже, что и в задаче №15, но

	-2	0	1	2
	3	5	6	12

Ответ:

17. Представить в задаче №15 в виде:

, где .

Найти по методу наименьших квадратов и , заменив таблицу на таблицу и используя линейную аппроксимацию .

18.* Найти приближение в форме для функции, заданной таблицей:

	0.5	0.6	0.7	0.8	0.9
	1,00	1,46	1,96	2,56	3,24

С помощью линеаризации.

Ответ:

19.* Найти методом наименьших квадратов с помощью линеаризации приближения вида:

	-3	-2	-1	0	1	2	3	4
	16	17	19	16	24	19	17	16

Ответ:

20.*Определить методом наименьших квадратов с помощью линеаризации параметры приближения в виде:

	0	0,1	0,2	0,3
	0,625	0,619	0,614	0,613
	0,4	0,5	0,6	0,7
	0,615	0,621	0,629	0,641

Ответ: а= -0,406: в= 0,228: с= -1,599

21.См. задание 20

	0,05	0,15	0,30	0,50	0,80	1,50
	600	60	15	5	3,3	2,9

Ответ: а =163,4: в =2,88: с =0,042

22. См. задание 20

	1	2	3	4	5	6	7	8	9
	4,70	5,85	6,18	6,46	6,90	7,25	6,52	6,46	6,39

Ответ:

23.См. задание 20

	0	1	2	3
	0,0001	0,0162	0,1088	0,3917
	4	5	6
	1,3680	3,5010	8,8562

Ответ: а = 8,732: в = 0,196: с =0,010

24. См. задание 20

	0,1	0,2	0,3	0,4
	0,572	0,748	0,836	0,888
	0,5	0,6	0,7	0,8
	0,923	0,947	0,967	0,980

Ответ:

25. Провести уточнение параметров a, b,c, в приближении

для таблицы

	0,21	0,26	0,38	0,65	0,89	1,00
	0,116	0,184	0,202	0,245	0,294	0,360

Взяв за начальные значения и разложив по формуле Тейлора, ограничиваясь линейными частями.

Ответ:

26.Для таблице значений

		0,4	0,7	1,0
0,00	2,500	1,429	1,000
0,05	2,487	1,419	0,995
0,10	2,456	1,400	0,981

Найти линейное приближение по методу наименьших квадратов.

Ответ:

27.* Провести уточнение параметров a, b, c, в приближении для таблицы

	0	0,2	0,6	1,2	1,6	2,0
	2,050	1,944	1,638	0,907	0,423	0,028

Выбрав начальные значения так, чтобы начальное приближение давало совпадение Y и в первых трех узлах, и используя разложение по формуле Тейлора в точке ограничиваясь линейными членами.

Ответ:

28. Для таблицы данных

	0	2	4	6	8	10
	0,0	8,8	13,0	17,0	18,9	20,4

Подобрать методом исключения подходящую эмпирическую формулу среди

Ответ: Третья.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.  , Жидков вычислений. - М: Наука,1966.

2.Бахвалов методы. - М: Наука, 1973.

СОДЕРЖАНИЕ.

1.	Погрешности.----	3
1.1.	Введение.	3
1.2.	Задачи.-	4
2.	Интерполирование функций.-------	11
2.1.	Введение.	11
2.2.	Интерполирование.	11
2.3.	Задачи.-	13
3.	Аппроксимация функций в линейном нормированном пространстве.	20
3.1.	Введение.	20
3.2.	Постановка задачи.	21
3.3.	Равномерное приближение. Задачи.	22
3.4.	Среднеквадратичное приближение. Задачи.	25
	Список литературы. ------	32