Семинар 5. Тема: Описание технологий
1. Пусть производственное множество 
представимо производственной функцией 
. Покажите, что тогда верны следующие утверждения:
(а) Если - выпукло, то функция - вогнута.
(б) Если удовлетворяет свободе расходования и - вогнутая функция, то - выпукло.
(в) Покажите, что если удовлетворяет свободе расходования, то - неубывающая функция.
(г) Покажите, что если удовлетворяет отсутствию рога изобилия, то 
.
(д) Если удовлетворяет возможности бездействия, то 
.
2. Аргументируя свои ответы, объясните, удовлетворяет ли технология, изображенная на рисунке, следующим свойствам:
(а) отсутствию рога изобилия (no free lunch);
(б) возможности бездействия;
(в) свободе расходования (free disposal);
(г) выпуклости;
(д) постоянной отдачи от масштаба;
(е) невозрастающей отдачи от масштаба.
3. Предположим, что - производственная функция, соответствующая технологии с единственным выпускаемым продуктом и пусть – производственное множество этой технологии.
(а) Покажите, что если обладает свойством постоянной отдачи от масштаба то - однородная функция степени 1, следуя следующему плану:
- Запишите определения всех упомянутых в условии свойств производственного множества и производственной функции. Чем можно пользоваться в задаче и что нужно показать?
- Рассмотрите вектор чистых выпусков 
. Покажите, что 
и 
для 
. Завершите доказательство.
(б) Покажите, что если - однородная функция степени 1, обладает свободой расходования, то обладает свойством постоянной отдачи от масштаба.
4. Верно ли, что если производственное множество удовлетворяет свойству постоянной отдачи от масштаба, то оно выпукло?
5. (а) Известно, что вектора затрат-выпусков (-4, 5) и (-1, 1) принадлежат производственному множеству, выпуклому и удовлетворяющему свойству свободы расходования. Можно ли утверждать, что вектор затрат выпусков (-3, 2) принадлежит этому множеству?
(б) Пусть теперь производственное множество п. (а) не удовлетворяет свойству свободы расходования. Можно ли утверждать, что вектор затрат выпусков (-3, 2) не принадлежит этому множеству?
6. Рассмотрите однопродуктовую технологию с двумя факторами производства. Известно, что производственная функция, представляющая данную технологию, 
.
(а) Какой отдачей от масштаба характеризуется данная технология?
(б) Найдите предельный продукт каждого фактора и предельную норму замещения второго фактора первым.
(в) Известно, что фирма использует 4 единицы первого фактора и 27 единиц второго. Если фирма снизит количество второго фактора на 19 единиц, то насколько ей нужно изменить количество первого, чтобы производить тот же выпуск? Проиллюстрируйте графически.
