§8 Средняя и полная (гауссова) кривизны. Примеры поверхностей постоянной полной и средней кривизны.

Определение. Поверхность называется поверхностью постоянной полной (соответственно, средней) кривизны, если во всех точках этой поверхности ().

Примеры.

1)  Плоскость или ее часть. .

2)  Цилиндрическая и коническая поверхности.

Ÿ Пусть - цилиндрическая: , где , - уравнение направляющей относительно натурального параметра. Найдем коэффициенты второй квадратичной формы. , . Тогда , то есть любая точке параболическая и .

Аналогично для конической поверхности , где - постоянный вектор, задающий вершину конуса. Ÿ

3) Приведем примеры поверхностей вращения постоянной полной кривизны. Рассмотрим случай вращения плоской кривой вокруг некоторой прямой (оси вращения), расположенной в плоскости этой кривой. Напомним, что меридианами называются сечения такой поверхности плоскостями, проходящими через ось вращения, а параллелями – сечения поверхности плоскостями, перпендикулярными оси вращения.

, . Тогда . Эти функции имеют непрерывные частные производные любого порядка и для , то есть кроме точек на оси вращения. Мы вычислили коэффициенты первой и второй квадратичных форм, подставим их в формулы .

Тогда .

Рассмотрим два частных случая поверхностей вращения.

Сфера.

Пусть половина окружности ( - радиус сферы). Тогда .
.

. Итак, в любой точке сферы полная кривизна одна и та же. Сфера является поверхностью положительной постоянной кривизны.

.

Псевдосфера.

Определение. Псевдосферой называется поверхность, полученная вращением трактрисы вокруг своей оси .

Параметрические уравнения трактрисы

.

Итак, псевдосфера является поверхностью отрицательной постоянной кривизны.

4)  Вычислим полную и среднюю кривизну прямого геликоида.

. Тогда , .

Определение. Поверхности, у которых средняя кривизна равна нулю, называются минимальными.

Прямой геликоид является минимальной поверхностью.

Задача. [А] № 000. На поверхности найти линии, ортогональные к линиям вдоль которых полная кривизна постоянна.

Решение. 1) Найдем полную кривизну поверхности.

.

.

2) Потребуем , то есть - это уравнение кривых, вдоль которых кривизна постоянна. Найдем их ортогональную траекторию. Вспомним, что для семейства линий дифференциальное уравнение ортогональной траектории имеет вид

а) , б) . Ÿ

Задачи к зачету и проверочным работам (семинар 8).

Найти полную кривизну поверхности вращения плоской кривой . Как она связана с кривизной ? [Б] № 000. Найти полную и среднюю кривизну поверхности с первой квадратичной формой . Вычислить полную и среднюю кривизну параболоида вращения , цилиндра, псевдосферы. Найти эллиптические, гиперболические и параболические точки параболоида вращения, тора, псевдосферы, цилиндра, конуса, гиперболического параболоида. Выразить полную кривизну поверхности, образованной бинормалями данной кривой, через ее кривизну и кручение. Доказать, что если средняя кривизна поверхности во всех точках равна нулю, то асимптотическая сеть этой поверхности ортогональна. Доказать, что полная кривизна линейчатой поверхности не положительна. Доказать, что если через некоторую точку поверхности проходит прямолинейная образующая, то полная кривизна в этой точке не положительна. Линейчатая поверхность образована нормалями некоторой поверхности вдоль ее линий кривизны. Доказать, что полная кривизна этой поверхности равна нулю. Доказать, что полная кривизна линейчатой поверхности равна нулю тогда и только тогда, когда она развертывающаяся.