Примеры решения задач по механике деформируемого твердого тела

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

ПО МЕХАНИКЕ ДЕФОРМИРУЕМОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА

Задача 1. Плоское деформированное состояние

Стальной кубик находится под действием сил, создающих плоское деформированное состояние .

Требуется:

1) найти (аналитически и графически с помощью круга Мора):

- главные напряжения и направления главных площадок;

- максимальные касательные напряжения и направление площадок сдвига;

2) оценить состояние точки по условиям Сен-Венана и Мизеса, МПа,

Принять:

sх = k1×(1+N1) МПа, sy = k2×(1+N2) МПа, t xy = k3×(1+N3) МПа,

где N1, N2, N3 – первая, вторая и третья цифра шифра.

Значения коэффициентов k1, k2, k3 приведены в таблице 1.1.

Исходные данные для варианта с шифром 000

Из таблицы 1.1 имеем k1 = 0, k2 = -10, k3 = 10.

В этом случае

= 01+0) = 0 МПа,

МПа,

МПа,

МПа.

Направление напряжений на заданных площадках показано на рис.1.1,б.

1. Аналитическое определение главных напряжений и направлений главных площадок.

1.1 Главные напряжения

(1.1)

МПа,

МПа,

МПа.

Учитывая, получаем:

МПа, МПа, МПа.

1.2 Угол наклона главных осей к оси :

(1.2)

, , .

1.3 Проверка величин главных напряжений:

, , .

, , ,

(1.3)

МПа - совпало с ;

(1.4)

МПа - совпало с ;

(1.5)

, так как площадки главные.

2. Напряжения на площадках сдвига.

2.1 Определение напряжений в системе осей, повернутых на угол:

По формуле (1.3):

МПа.

По формуле (1.4):

МПа.

По формуле (1.5):

МПа.

2.2 Контроль вычислений.

(1.6)

МПа.

3. Построение круга Мора (рис. 1.1).

Круг Мора служит для визуального контроля выполненных расчетов. При его построении необходимо помнить следующие правила:

1. Так как в формуле (1.2) на первом месте в знаменателе стоит напряжение с индексом Х, то полученные углы отсчитываются от положительного направления этой оси (положительные углы откладываются против часовой стрелки), см. рис.1.1,в.

2. При sх > sy полюс находится на левой половине круга, а при sх < sy – на правой половине.

3. Положительная ось для касательных напряжений τ направлена вниз, а для нормальных напряжений s – вправо.

4. Так как при выводе формул (1.3) и (1.5) было принято положительное направление напряжений на вертикальной площадке, то при переходе на горизонтальную площадку происходит смена знака у касательного напряжения, что необходимо учитывать при определении положения точек на круге Мора. Таким образом, положительное касательное напряжение вращает кубик против часовой стрелки.

Построение круга Мора выполняем в такой последовательности (рис.1.1,а):

1. Определяем координату центра окружности МПа.

2. Определяем положение вертикальной площадки, на которой действует нормальное напряжение sх= 0 МПа и касательное напряжение τух=10 МПа (положительное, так как вращает кубик против часовой стрелки), получаем точку 1.

3. Через точку 1 проводим окружность, центр которой найден в п.1. Фиксируем точку пересечения окружности и оси s (точка 2).

4. Через точку 1 проводим прямую, параллельную Х (горизонтально) и в пересечении с окружностью фиксируем полюс.

5. Показываем направления для исходных площадок (соединяем полюс и точку 1), главных площадок (соединяем полюс и точку 2) и площадок сдвига (соединяем полюс и точку 3).

4. Оценка состояния точки по условиям Мизеса и Сен-Венана.

Условие Мизеса:

(1.7)

МПа < МПа. Условие Сен-Венана:

(1.8)

МПа < МПа.

По двум условиям точка находится в упругом состоянии.

Рис.1.1. Нормальные и касательные напряжения на различных площадках

Задача№2. Пространственное наряженное состояние.

Задание:

Напряженное состояние в точке тела задано тензором напряжений.

Требуется:

1. Определить главные напряжения и направления главных площадок.

2. Определить максимальные касательные напряжения и положение соответствующей площадки сдвига.

3. Определить октаэдрические напряжения и положение октаэдрических площадок.

4. Изобразить в фронтальной изометрической проекции напряжения на гранях заданного куба, главного куба, на площадке сдвига и на гранях главного октаэдра.

Исходные данные: вариант с шифром 000

МПа, МПа, МПа,

МПа, МПа, МПа.

Решение

1. Заданный тензор напряжений

2. Инварианты тензора напряжений

МПа,

-8100 = 6700 МПа

= МПа

3. Определение главных напряжений.

Уравнение для определения трех главных напряжений:

Переходим к приведенному уравнению подстановкой: ,

тогда получим: , где

МПа2.

МПа3.

Получим:

Дискриминант приведенного кубического уравнения:

Т. к. , то уравнение имеет 3 действительных корня.

Решаем уравнение в тригонометрической форме (решение Кардано):

, ,

Угол вида напряженного состояния .

,

,

.

МПа,

МПа,

МПа.

Главные напряжения равны:

МПа,

МПа,

МПа.

Изменяем индексы, чтобы .

s1 = 73.138 МПа, s2 = -157.972 МПа, s3 = -215.163 МПа.

4. Контроль вычислений

Должны выполняться условия:

, , .

Проверяем эти условия

МПа,

= 6700 МПа2,

МПа3.

5. Направляющие косинусы для МПа.

Направляющие косинусы определяем, решая систему уравнений:

=

Из первых двух уравнений

получаем

и

Из третьего уравнения:

Окончательно получаем: , , .

6. Направляющие косинусы для МПа.

Решая систему, получаем: , , .

7. Направляющие косинусы для МПа.

Решая систему, получим: , , .

8. Определение максимальных касательных напряжений и положение соответствующей площадки.

МПа.

Площадка сдвига делит угол между и пополам (рис. 2.2).

9. Определение октаэдрических напряжений и положения октаэдрических площадок.

МПа.

МПа.

Направление на октаэдрической площадке определяется углом вида напряженного состояния, который равен и отсчитывается от направления 1/ (проекция вектора на октаэдрическую площадку), рис.2,3,а. Длина отрезка, отсекаемого направлением от оси 1/, равна:

10. Состояние заданной точки

Условие Мизеса:

МПа > МПа.

Условие Сен-Венана:

МПА > МПа.

Вывод: по двум условиям точка находится в пластическом состоянии.

11. Графическая часть задачи 2.

Рис.2.1. Заданное напряженное состояние точки

Рис.2.2. Главные площадки и площадка сдвига с τmax

Рис.2.3. Напряжения на октаэдрических площадках

Задача 3. Плоская задача теории упругости в полиномах

На прямоугольную пластинку шириной b, длиной l = 2b и толщиной в единицу действуют по кромкам внешние силы, распределенные по ее толщине. Эти силы создают в пластине обобщенное плоское напряженное состояние. Выражение функции напряжений взяты из таблицы 3.1

Требуется:

1. Проверить возможность существования заданной функции напряжений;

2. По функции напряжений найти выражения компонентов напряжений;

3. Выяснить характер распределенных по кромкам внешних сил, при действии которых имеет место найденная система напряжений, и построить эпюры напряжений;

4. По полученным эпюрам напряжений произвести проверку равновесия пластинки.

Исходные данные для варианта с шифром 000

А	В
-2	4

1. Проверка существования заданной функции напряжений.

Подстановка полученных выражений в бигармоническое уравнение обращает его в тождество:

Функция может быть принята в качестве решения плоской задачи теории упругости.

2. Выражения для напряжений.

,

,

.

3. Распределение внешних нагрузок по кромкам пластинки (рис3.1,а).

Сторона 0-1: ,

Вершина парабол при .

: ,

: .

Сторона 1-2: ,

Экстремумы

.

:

:

:

Сторона 2-3: ,

Экстремумы за границей стороны

:

: ,

: , .

Сторона 0-3: ,

Вершины парабол при х=0.

:

:

4. Проверка равновесия пластинки (рис.3.1,б).

Сторона 0-1:

Расстояние до точки приложения :

.

Сторона 1-2:

Расстояние до точки приложения :

Сторона 2-3:

.

Расстояние до точки приложения :

.

Сторона 0-3:

Расстояние до точки приложения :

5. Проверка равновесия пластинки:

Пластинка находится в равновесии.

Рис.3.1. Графическая часть задачи №3

Задача 4. Плоская задача теории упругости в полярных координатах

Кольцо с внешним диаметром b и внутренним диаметром а нагружено по внешнему контуру равномерно распределенной нагрузкой интенсивности q и закреплено по внутреннему контуру.

Требуется:

1. Вывести уравнения для напряжений в полярных координатах. Функция перемещений приведена в табл. 4.1.

2. Найти постоянные интегрирования из граничных условий. Учесть, что - заделка.

3. Построить эпюры напряжений для характерных сечений

Исходные данные: вариант с шифром 000

N1=0, N2=0, N3=0. Из таблицы 4.2 имеем

, кН/м, m=0.3, Е=2 105 МПа = 2 108 кН/м2..

1. Вывод уравнений для напряжений в полярных координатах.

Зависимости Коши для осесимметричной нагрузки

, (4.1)

Закон Гука

(4.2)

Подставляя (4.1) в (4.2) и используя заданное распределение U, получаем

(4.3)

(4.4)

2. Определение постоянных А и В из граничных условий.

Из условия отсутствия перемещений на внутреннем контуре (геометрическое граничное условие) имеем или (4.5)

Из статического граничного условия на внешнем контуре и, используя (4.5), получаем

Постоянные А и В будут равны

Подставляем найденные постоянные А и В в (4.3) и (4.4)

3. Построение эпюр для характерных сечений.

Для имеющихся исходных данных получаем

.

Ординаты эпюры радиальных перемещений U (рис.4.1,б)

,

Ординаты эпюры радиальных напряжений определяем по формуле (4.3) (рис.4.3,в)

МПа,

МПа,

МПа,

МПа,

МПа.

Ординаты эпюры тангенциальных напряжений определяем по формуле (4.4) (рис.4.3,г)

МПа,

МПа,

МПа,

МПа,

МПа.

Рис.4.1. Эпюры U, sr и sq в характерном сечении