Определение уравнения линейной регрессии

Лабораторная работа 6

Определение уравнения линейной регрессии

Задача описания данных, полученных в результате некоего эксперимента, может быть решена как задача оптимизации.

Предположим, что некоторая переменная Y зависит от некоторой независимой переменной X, а связь между ними задается уравнением Y = F(X, a, b), где a, b ‑ параметры, которые нужно определить.

Для этого необходимо провести серию экспериментов, в каждом из которых задается значение независимой переменной Х и регистрируется значение зависимой переменной Y. Результатом серии из N экспериментов является множество пар чисел (Yi, Xi), i=1,...,N. Затем на основе полученной информации подбираются значения a, b таким образом, чтобы обеспечить хорошую точность описания экспериментальных данных с помощью функции F.

Наиболее часто используемая на практике мера качества описания экспериментальных данных определяется так называемым критерием наименьших квадратов, в соответствии с которым требуется минимизировать функцию

. (6.1)

Разность Yi –F(Xi, a, b) между зарегистрированным и теоретическим значением показывает, насколько точно выбранная модель описывает имеющиеся данные. Если значение L(a, b) равно нулю, то сделанный выбор a и b обеспечивает точное описание, поскольку экспериментальные данные совпадают с теоретической кривой.

Таким образом, задачу описания данных можно рассматривать как задачу оптимизации, в которой требуется найти значение параметров a и b, минимизирующих функцию L(a, b).

В данной работе необходимо определить параметры линейной эмпирической модели при помощи инструмента Линия тренда, а также при помощи регрессионного анализа.

Последовательность выполнения работы:

1.  Ввести исходные данные.

2.  Построить график экспериментальной зависимости.

3.  Провести линейную линию тренда и вывести на экран уравнение регрессии и коэффициент корреляции R2.

4.  Провести регрессионный анализ и определить параметры линейной модели и коэффициент корреляции R2.

5.  Определить достоверность величины R2 при помощи статистической функции FРАСП.

6.  Сравнить уравнения регрессии и коэффициенты корреляции, полученные двумя способами и сделать выводы.

Исходные данные

Таблица 6.1

Вар	Независимая переменная Х
1	2,10	2,56	3,13	3,81	4,65	5,68	6,92	8,45	10,31	12,57
2	1,30	1,96	2,96	4,48	6,76	10,21	15,41	23,27	35,14	53,06
3	0,50	0,60	0,72	0,86	1,04	1,24	1,49	1,79	2,15	2,58
4	22,80	21,54	20,82	19,79	18,50	18,16	17,53	16,57	15,84	14,82
5	0,00	-3,16	-3,23	-7,25	-9,56	-9,92	-10,62	-13,48	-17,20	-18,26

Таблица 6.2

Вар	Зависимая переменная Х
1	2,97	2,29	4,51	5,19	9,47	9,60	13,89	16,42	23,96	26,75
2	13,50	18,07	14,68	20,17	18,50	26,38	27,52	39,45	47,06	68,95
3	13,50	13,76	14,07	14,45	14,90	15,43	16,08	16,86	17,79	18,91
4	73,19	70,12	65,27	63,43	58,89	57,91	54,12	53,90	48,38	46,89
5	7,74	-24,63	-23,29	-63,28	-83,35	-88,34	-93,33	-122,01	-155,56	-168,26

Выполнение работы в среде Excel

Выполнение работы начинаем, как обычно, с формирования блока исходных данных. Исходные данные представляют собой значения независимой переменной X и зависимой переменной Y. Значения X и Y удобнее располагать в виде столбцов.

Под столбцом значений Х необходимо определить предельные значения независимой переменной, характеризующие область определения аппроксимирующей функции. Для их определения служат статистические функции МИН и МАКС Мастера функций.

Построим диаграмму функции Y=F(X). Выделим ряд данных, для которого построим линию тренда. Щелкнем по выделенному ряду данных правой клавишей мыши и выберем в появившемся контекстно-зависимом меню команду Линия тренда. На экране появляется диалоговое окно Линия тренда, содержащее две вкладки: Тип и Параметры. На вкладке Тип выбираем тип линии тренда, в данном случае ‑ Линейная. На вкладке Параметры отмечаем флажками две нижние альтернативы: Показывать уравнение на диаграмме; Поместить на диаграмму величину достоверности аппроксимации R2. После нажатия клавиши ОК на диаграмме появляется аппроксимирующая прямая, уравнение регрессии и R2.

Далее определим параметры модели другим способом. Для этого служит функция Excel ЛИНЕЙН( ). Эта функция имеет следующий формат: ЛИНЕЙН(блок значений Y; блок значений X; константа; статистика). Ввод аргументов константа и статистика осуществляется в виде одной из логических функций ИСТИНА или ЛОЖЬ. В зависимости от вида константы и статистики результаты вычислений будут выведены в различных вариантах, представленных в табл.7.3.

Таблица 6.3

Аргумент	ИСТИНА	ЛОЖЬ
Константа	b¹0	b=0
Статистика	Оценка достоверности	Оценки нет

Функция ЛИНЕЙН вводится в виде формулы массива. Выделяем блок ячеек, в котором строк ‑ всегда 5, столбцов ‑ n+1, где n ‑ число независимых переменных Х, в данном случае n=1, столбцов в блоке ‑ 2. Вводим в выделенный блок функцию ЛИНЕЙН(блок значений Y; блок значений X; ИСТИНА;ИСТИНА). Для реализации этой функции как формулы массива следует одновременно нажать клавиши Shift + Ctrl + Enter.

В блоке ячеек, выделенном для ввода формулы массива, представлены результаты вычислений. Смысл числовых значений, полученных в этом блоке, разъясняется в табл.6.4.

Таблица 6.4

a	b
s [a]	s [b]
R2
Fрасч	df

В табл.6.4 приняты следующие обозначения:

a, b ‑ параметры уравнения линейной регрессии;

s [a], s [b] ‑ средние квадратические отклонения величин a, b;

R2 ‑ величина, характеризующая достоверность уравнения регрессии;

Fрасч ‑ величина, необходимая для оценки достоверности R2;

df ‑ число степеней свободы.

В табл.6.4 рассмотрены значения только тех величин, которые необходимы нам в дальнейшей работе. Другие величины, содержащиеся в данном блоке, не представляют практического интереса, поэтому нами не рассматриваются.

Таким образом, используя данные, полученные нами в расчетном блоке, можно записать уравнение регрессии в виде Y = a × X + b и сравнить его, а также величину R2 с теми, что получены при использовании линии тренда.

Оценка достоверности уравнения регрессии производится по величине R2, которая может изменяться в пределах 0 £ R2 £ 1. При R2=1 имеется функциональная зависимость, при R2=0 зависимость отсутствует, несмотря на найденные a и b.

Можно оценить достоверность самой величины R2. Это производится с помощью F распределения, которое определяет a ‑ вероятность того, что зависимость Y от X отсутствует. Следовательно, вероятность того, что такая зависимость существует, будет определяться величиной (1-a).

Для определения величины a выделим произвольную ячейку, вызовем Мастер функций и выберем в разделе Статистические функцию FРАСП. На экране появляется диалоговое окно FРАСП, в которое необходимо ввести следующие значения:

Þ  X = Fрасч;

Þ  степени свободы 1 = n (число независимых переменных Х);

Þ  степени свободы 2 = df.

Нажимаем клавишу Готово, и в ячейке подсчитано значение a. В соседней ячейке подсчитаем величину (1-a), которая и характеризует достоверность значения R2.

Контрольные вопросы

1.  Чем характеризуется точность описания экспериментальных данных полученным уравнением регрессии?

2.  Каким образом можно представить задачу описания экспериментальных данных в виде задачи оптимизации?

Библиографический список

1.  Курицкий оптимальных решений средствами Excel 7.0. – BHV‑Санкт-Петербург, 1997, – С.336–342.

Пример оформления работы 6 представлен в приложении.