Ответы-2013

Ответы-2013

1. Решение: Из условия следует, что

.

Тогда имеет место равенство , которое означает, в силу произвольности и , что . Отсюда вытекает требуемое.

2. Ответ: ,

3. Ответ:

4. Решение:

Без ограничения общности мы считаем, что . В точке (1;1;0) функция f достигает максимума 1.

5. Решение: Каждое слагаемое в развернутой записи равно 0 или 1 или -1. Общее число слагаемых – четное, число нулевых слагаемых – нечетное, следовательно, число ненулевых слагаемых – нечетное, поэтому .

6. Ответ: Окружность с центром в точке О и радиуса 1 и пара прямых y=x и y= -x

7. Решение: Примем дороги за оси координат и направим их туда, куда идут пешеходы. Пусть в момент времени t=0 положения пешеходов (a,0) и (0,b). В момент времени t их положения будут, соответственно, (a+vt,0) и (0,b+vt). Середина отрезка между ними будет иметь координаты x=(a+vt)/2 и y=(b+vt)/2. Исключаем t и получаем уравнение траектории середины отрезка между пешеходами: y=x+(b-a)/2 .

Ответы-2013

1. Решение: Из условия следует, что

.

Тогда имеет место равенство , которое означает, в силу произвольности и , что . Отсюда вытекает требуемое.

2. Ответ: ,

3. Ответ:

4. Решение:

Без ограничения общности мы считаем, что . В точке (1;1;0) функция f достигает максимума 1.

5. Решение: Каждое слагаемое в развернутой записи равно 0 или 1 или -1. Общее число слагаемых – четное, число нулевых слагаемых – нечетное, следовательно, число ненулевых слагаемых – нечетное, поэтому .

6. Ответ: Окружность с центром в точке О и радиуса 1 и пара прямых y=x и y= -x

7. Решение: Примем дороги за оси координат и направим их туда, куда идут пешеходы. Пусть в момент времени t=0 положения пешеходов (a,0) и (0,b). В момент времени t их положения будут, соответственно, (a+vt,0) и (0,b+vt). Середина отрезка между ними будет иметь координаты x=(a+vt)/2 и y=(b+vt)/2. Исключаем t и получаем уравнение траектории середины отрезка между пешеходами: y=x+(b-a)/2.