Численное сравнение скалярной и векторной моделей дифракции

А. Е. ГОРЮНОВ, Н. В. ПЕТРОВ

Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет информационных технологий, механики и оптики

ЧИСЛЕННОЕ СРАВНЕНИЕ СКАЛЯРНОЙ И ВЕКТОРНОЙ МОДЕЛЕЙ ДИФРАКЦИИ

В работе рассматривается процесс дифракции линейно-поляризованного излучения на отверстиях различной формы. Явление описывается при помощи скалярной и дипольно-волновой векторной теорий дифракции. Математические модели данных теорий реализованы программно и исследованы методами численного моделирования. В результате были получены двумерные распределения электромагнитного поля в плоскости регистрации изображения. На основе полученных результатов проведено численное сравнение двух теорий.

В настоящее время скалярная теория дифракции Кирхгофа является наиболее распространённым способом описания взаимодействия световой волны с микро - и нанообъектами. Это вызвано лёгкостью в плане её применения для практических расчётов, что, в свою очередь, достигается за счёт существенных ограничений, накладываемых на её использование [1]. Самое важное из них состоит в том, что интеграл Релея Зоммерфельда, которым задаётся распределение электрического поля, заведомо не содержит информацию об изменении его направления. Данное ограничение не позволяет её применять в тех задачах, где требуется учитывать векторную природу света. В частности это касается учета влияния такого параметра как поляризация. С этой точки зрения интерес представляет развитие векторных теорий дифракции. Интерес вызван множеством приложений в различных областях, где эти теории могут быть применимы. В частности, это такие области, как: цифровая голография, поляризационная микроскопия и др. Поляризация – важный параметр в голографии. Для обеспечения регистрации изображения, необходимо получать опорный и объектный пучки с одной поляризацией. Выполнение этого условия также можно учесть с помощью адекватной векторной модели. В поляризационной микроскопии проводятся исследования свойств анизотропных материалов, путём анализа изменений поляризации света, проходящего через изучаемый препарат. Таким образом, можно сделать вывод о том, что проблема освоения векторных моделей дифракции – весьма актуальна. Одной из таких моделей является дипольно-волновая теория дифракции [2]. Сравнивая данную модель, метод FDTD и теорию Кирхгофа стоит отметить, что первая имеет существенные преимущества как над одним, так и над другим методом. Она менее ресурсоёмка, чем метод FDTD, который основан на численных решениях уравнений Максвелла и в тоже время, довольно полно описывает природу электромагнитного излучения, в отличие от теории Кирхгофа. В данной работе проводилось численное сравнение дипольно-волновой и скалярной моделей дифракции путём программного моделирования с помощью пакетов Mathcad 14 и LabView 8.5. В рамках решаемой задачи рассматривался случай дифракции на прямоугольной щели. Исходная формула [2], позволяющая производить расчёт распределения электрического поля дифракции в угловых координатах, в рамках дипольно-волновой теории дифракции, имела следующий вид:

где – векторная функция, определяющая направление поля на отверстии (в данном случае вектор E0 – начальное распределение поля – параллелен плоскости отверстия E0|| y), и - векторы в направлении поля.

;;;

где k – волновое число, r – радиус вектор в точку рассмотрения дифракционной картины, θ, φ – угловые координаты. Для программного расчёта поля в плоскости, отстоящей от объекта на некоторое расстояние, данная формула была записана в системе декартовых координат для плоского экрана, в результате следующих преобразований:

Здесь ,– координаты точек экрана, , – координаты точек объекта,– расстояние от объекта до плоскости экрана, s,l и i,j – индексы элементов матриц координат экрана и объекта соответственно.

Список литературы

1. Гудмен Д. Введение в Фурье-оптику. M.: Мир, 1970.

2. Низьев -волновая теория дифракции электромагнитного излучения. Успехи физических наук. 2002. Т.172. №5.С.601-607.