Методические разработки по организации самостоятельной работы студентов по молекулярной физике и термодинамике

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

МЕТОДИЧЕСКИЕ РАЗРАБОТКИ ПО ОРГАНИЗАЦИИ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ СТУДЕНТОВ ПО МОЛЕКУЛЯРНОЙ ФИЗИКЕ И ТЕРМОДИНАМИКЕ

Методические разработки к курсу общей физики

Составители: , д. ф.-м. н.,

, к. ф.-м. н.

НОВОСИБИРСК 2001

Печатается по решению редакционно-

издательского совета НГПУ

Методические разработки по организации самостоятельной работы студентов по молекулярной физике и термодинамике. Для студентов заочного отделения физического и математического факультетов. Новосибирск: Изд. НГПУ, 2001. – 45 с.

В пособии представлены варианты контрольных заданий по молекулярной физике и термодинамике. При отборе задач авторы руководствовались соображениями достаточной простоты и их учебно-прикладным характером. Даны примеры решения задач.

Ответственный за выпуск - , проф.,

заведующий кафедрой общей физики НГПУ.

Рецензент –,

к. ф.-м. н., с. н.с., доцент НГПУ.

© Новосибирский государственный педагогический университет

ВВЕДЕНИЕ

Контрольные задания составлены для студентов заочного отделения, но, конечно, могут быть использованы и в учебном процессе на дневном отделении физического факультета педагогического университета. В разделе "Молекулярная физика и термодинамика" представлено 96 задач по восьми подразделам. При составлении сборника были отобраны задачи среднего уровня сложности, если считать за нижний уровень задачи из известного сборника , а за верхний - задачи из не менее известного университетского сборника под редакцией .

Для удобства пользования в предлагаемой ниже таблице приведены варианты заданий. Номер варианта для каждого студента определяет лектор потока и фиксирует записью номера на контрольном листе.

Таблица вариантов контрольных заданий

Номер Варианта	Номера задач
1	2
1	1.8	2.1	3.1	4.11	5.6	6.6	7.9	8.7
2	1.6	2.5	3.12	4.10	5.2	6.3	7.8	8.4
3	1.5	2.4	3.2	4.4	5.4	6.8	7.2	8.1
4	1.4	2.9	3.5	4.8	5.8	6.6	7.5	8.5
5	1.10	2.6	3.7	4.3	5.11	6.9	7.1	8.3
6	1.1	2.12	3.11	4.1	5.7	6.3	7.2	8.9
7	1.2	2.6	3.10	4.7	5.3	6.6	7.4	8.8
8	1.4	2.2	3.1	4.6	5.8	6.11	7.6	8.12
9	1.10	2.3	3.8	4.9	5.7	6.12	7.5	8.9
10	1.12	2.7	3.11	4.4	5.9	6.7	7.11	8.11
11	1.8	2.10	3.3	4.9	5.10	6.8	7.7	8.5
12	1.7	2.3	3.2	4.10	5.11	6.9	7.8	8.10
13	1.8	2.11	3.5	4.8	5.1	6.7	7.3	8.4
14	1.3	2.9	3.7	4.7	5.12	6.4	7.10	8.7
15	1.9	2.3	3.2	4.11	5.8	6.2	7.4	8.2
16	1.1	2.6	3.12	4.4	5.5	6.2	7.5	8.11
17	1.12	2.7	3.6	4.8	5.11	6.7	7.4	8.1
18	1.7	2.10	3.9	4.3	5.3	6.10	7.1	8.8
19	1.5	2.11	3.7	4.9	5.6	6.12	7.12	8.12
20	1.9	2.8	3.10	4.1	5.1	6.1	7.7	8.6
21	1.11	2.1	3.8	4.12	5.5	6.5	7.11	8.11
22	1.8	2.3	3.4	4.11	5.2	6.11	7.6	8.6
23	1.12	2.8	3.5	4.4	5.10	6.2	7.10	8.10
24	1.9	2.9	3.4	4.6	5.7	6.3	7.4	8.3
25	1.6	2.5	3.3	4.8	5.1	6.1	7.7	8.11
26	1.10	2.8	3.1	4.2	5.4	6.3	7.5	8.12
27	1.7	2.12	3.3	4.5	5.10	6.9	7.9	8.8
28	1.6	2.9	3.9	4.1	5.6	6.2	7.6	8.10
29	1.11	2.8	3.3	4.2	5.2	6.5	7.10	8.5
30	1.12	2.1	3.4	4.12	5.5	6.11	7.2	8.2
31	1.2	2.10	3.11	4.3	5.6	6.9	7.5	8.4
32	1.4	2.12	3.1	4.10	5.4	6.8	7.1	8.9
33	1.1	2.2	3.12	4.5	5.10	6.3	7.3	8.7
34	1.6	2.3	3.9	4.6	5.11	6.2	7.12	8.6
35	1.7	2.1	3.6	4.12	5.12	6.10	7.9	8.3
36	1.5	2.11	3.10	4.7	5.4	6.5	7.2	8.12
37	1.4	2.9	3.12	4.5	5.7	6.12	7.11	8.7
38	1.2	2.7	3.2	4.8	5.1	6.1	7.6	8.2
39	1.12	2.2	3.5	4.2	5.3	6.7	7.8	8.3
40	1.10	2.12	3.4	4.9	5.12	6.5	7.2	8.11
41	1.5	2.6	3.9	4.7	5.9	6.6	7.12	8.5
42	1.3	2.5	3.6	4.3	5.3	6.1	7.5	8.3
43	1.9	2.8	3.8	4.10	5.8	6.10	7.12	8.1
44	1.5	2.7	3.10	4.6	5.5	6.8	7.3	8.6
45	1.11	2.2	3.1	4.12	5.9	6.11	7.10	8.5
46	1.6	2.9	3.12	4.3	5.12	6.6	7.1	8.4
47	1.1	2.12	3.5	4.4	5.1	6.4	7.3	8.10
48	1.4	2.1	3.11	4.5	5.12	6.9	7.12	8.9
49	1.9	2.4	3.8	4.11	5.3	6.4	7.9	8.1
50	1.1	2.5	3.2	4.1	5.4	6.7	7.7	8.6
51	1.3	2.11	3.6	4.10	5.10	6.1	7.11	8.8
52	1.11	2.6	3.10	4.6	5.5	6.12	7.1	8.7
53	1.8	2.10	3.2	4.11	5.6	6.10	7.7	8.12
54	1.2	2.4	3.5	4.2	5.11	6.4	7.10	8.4
55	1.1	2.11	3.8	4.9	5.4	6.7	7.4	8.2
56	1.3	2.7	3.5	4.4	5.2	6.4	7.8	8.10
57	1.2	2.10	3.9	4.5	5.9	6.10	7.9	8.1
58	1.3	2.4	3.6	4.7	5.3	6.5	7.11	8.8
59	1.7	2.5	3.5	4.2	5.10	6.8	7.8	8.6
60	1.10	2.7	3.7	4.3	5.2	6.5	7.3	8.9

Требования и рекомендации по решению задач

Прежде чем приступить к решению задачи, необходимо изучить теоретическую часть по рекомендуемым учебным пособиям, записям лекций и практических занятий. Внимательно прочитать условие задачи, все данные необходимо привести в одну из систем единиц измерения (рекомендуется Международная система единиц СИ), установить, все ли нужные для решения задачи данные приведены в условии (зачастую это можно выяснить лишь в ходе решения задачи).

Очень полезно, а иногда и необходимо, представить условие задачи в графическом виде. Например, если решается задача на термодинамические процессы, то желательно нарисовать график процесса, нанести на рисунок обозначения термодинамических параметров, характеризующие состояния системы, указать направление развития процесса.

Для описания объекта разумно использовать предельно простые модели (идеальный газ, тепловая машина Карно и т. п.). Все сделанные в ходе решения задачи упрощения необходимо указывать в записи решения.

Решение задачи необходимо проводить в общем виде. Использование в промежуточных вычислениях конкретных численных значений физических величин очень часто ведет к серьезным ошибкам в конечном результате и не дает возможности делать обобщения, которые всегда более интересны, чем частные ответы. После вывода расчетной формулы необходимо проверить соответствие полученной размерности с искомой. Затем, если возможно, исследовать полученное решение в предельных случаях (например, как ведет себя решение, если числитель и знаменатель сложной дроби стремятся к нулю и т. п.). Полученное значение искомой величины рекомендуется оценить, исходя из соображений здравого смысла, и общих законов (первое и второе начала термодинамики, газовые законы, распределение Больцмана и т. п.).

В ходе вычислений необходимо следить, чтобы значения получаемых величин имели количество значащих цифр, соответствующее точности исходных данных.

В заключение специально отметим, что последовательность выписанных формул не является решением задачи, даже если формулы адекватны и ответ правилен. Задача считается решенной в том случае, если решение основано на общих законах и в заключении проведен анализ полученной расчетной формулы и получены, если требуется, численные оценки искомых физических величин.

Для иллюстрации изложенных выше требований и рекомен-даций приведем примеры решения задач.

Пример 1. Газовый термометр состоит из шара с припаянной к нему горизонтальной стеклянной трубкой. Капелька ртути, помещенная в трубку, отделяет объем шара с газом от атмосферы. Площадь поперечного сечения трубки S = 0.1 см2. При T1 = 273 K капелька ртути находилась на расстоянии x1 = 30 см от поверхности шара, при T2 = 278 K – на расстоянии x2 = 50 см. Найдите объем шара V. Давление считайте постоянным.

Решение

Во время измерения считается, что внешнее давление не изменяется и поскольку система находится в состоянии термодинамического равновесия, то давление внутри термометра равно внешнему давлению , следовательно, процесс изменения температуры изобарический. Запишем для этого процесса закон Шарля, связывающий начальное и конечное состояния

, (1.1)

где , (см. рис.1). Подставляем выражения для V1, и V2 в (1.1) и получаем

(1.2)

Размерности левой и правой частей, как легко убедиться, совпадают. Подставляем численные значения физических величин в (1.2) и получаем:

Ответ: объём пустотелого шара равен 0.106 л.

Пример 2. Некоторое количество воздуха нагревается при постоянном давлении от температуры t1 =150 C до температуры t2 =650 C, поглощая при этом Q1 = 5 кДж теплоты. Нагревание воздуха при постоянном объёме при тех же начальной и конечной температурах требует Q2 = 3.5 кДж теплоты. Каков объём воздуха при температуре t1 =150 C и давлении Па?

Первый процесс является изобарическим и представлен на рис.1 отрезком AB. Для этого процесса закон сохранения энергии (первое начало термодинамики) записывается в виде

(2.1)

где работа газа при изобарическом расширении

(2.2)

Выразим работу через разность температур. Для этого воспользуемся уравнением Менделеева-Клапейрона (воздух при данных значениях давления можно считать идеальным газом)

(2.3)

в итоге получаем следующее выражение

(2.4)

Второй процесс является изохорическим и представлен на рис.1 отрезком CD. Для изохорического процесса работа равна нулю, тогда первое начало термодинамики имеет вид

(2.5)

Для идеального газа внутренняя энергия зависит только от температуры, поэтому в обоих случаях одно и то же. Подставляя (2.5) и (2.4) в (2.1), мы получаем

(2.6)

Чтобы получить выражение для объема, вновь воспользуемся уравнением Менделеева – Клапейрона (2.3), тогда

Ответ: искомый объем воздуха, равен 43.2 л.

Пример 3. Энергию атомных и субатомных частиц часто измеряют в электрон-вольтах, 1 эВ = Дж. Найти, при какой температуре средняя кинетическая энергия молекулы азота равна 1 эВ. Определить, при какой температуре 50% всех молекул имеют кинетическую энергию, превышающую 1 эВ.

Решение

Кинетическая энергия молекулы состоит из поступательной и вращательной энергий, суммарное значение которых равно 1 эВ. Двухатомная молекула азота имеет 5 степеней свободы. По закону равнораспределения на одну степень свободы молекулы приходится средняя энергия

(3.1)

Поэтому для молекулы азота имеем

, (3.2)

тогда температура, при которой энергия молекулы азота равна 1 эВ

Для определения искомой температуры воспользуемся распределением молекул идеального газа по скоростям (распределение Максвелла), которое табулировано в Приложения 2. Из таблицы А.2 видно, что значение W = 0.5 соответствует величине безразмерной скорости , где u1 = 1.05 и u2 = 1.10. Следовательно, искомая скорость лежит в интервале от u1 = 1.05 до u2 = 1.10. Для более точного определения u используем интерполяцию Лагранжа (Приложение 3)

(3.3)

Температура T2, при которой 50% молекул имеют кинетическую энергию больше 1 эВ, получается из соотношений:

,

,

,

Ответ: T1 = 4600 К, T2 = 9800 К.

Пример 4. Идея динамического отопления, высказанная Томпсоном (1852 г.), заключается в следующем. Топливо сжигается в топке теплового двигателя, который приводит в действие холодильную машину. Холодильная машина отнимает теплоту от природного резервуара воды (например, от грунтовой воды) и отдает ее воде отопительной системы. Одновременно вода в отопительной системе служит холодильником теплового двигателя. Определить теоретическое (без учета потерь) количество теплоты, которое получает отапливаемое помещение от сжигания 1 кг каменного угля, приняв следующие условия: удельная теплотворная способность угля λ=8000 ккал/кг, температура в котле паровой машины t1 = 2100 C; температура в отопительной системе t2 = 600 C; температура грунтовой воды t3 = 150 C.

Отопительная система получает теполоту от обеих машин

. (4.1)

Считаем, что обе машины работают по идеальному циклу Карно, тогда коэффициент полезного действия (кпд) теплового двигателя и холодильный коэффициент равны соответственно

. (4.2)

. (4.3)

Считая, что вся поизведенная двигателем работа тратится на приведение в действие холодильной машины:

(4.4)

Из (4.2) следует

Из (4.3) и (4.2) получаем

Таким образом, получаемая отопительной системой теплота

При сгорании 1 кг угля выделяется теплота Q1 равная

Использование динамического отопления по приведенной схеме увеличивает “полезное” количество теплоты втрое:

Ответ: Q2=100.2 МДж.

Пример 5. Как впервые указал (1892 г.), для приведения в критическое состояние жидкости, заключенной в данный объем, должно быть взято вполне определенное количество ее. Рассмотреть следующий пример. В сосуд, объем которого V = 15 см3, должно быть помещено некоторое количество воды при температуре t0 = 180 С с таким расчетом, чтобы при нагревании ее в данном сосуде (предварительно откачанном и запаянном) до критической температуры в нем установилось критическое давление. В предположении, что вода подчиняется уравнению состояния Ван-дер-Ваальса, найти, какой объем воды должен быть налит в сосуд, если известно, что критическая температура воды tK = 3740 С, критическое давление PK = 205.5 атм, молярная масса μ = 0.018 кг/моль, плотность при 180 С равна ρ = 1000 кг/м3.

На рис.2 показаны две изотермы водяного пара в сосуде. Изотерме 1 на участке AB соответствует двухфазное состояние “жидкость-пар” при постоянном давлении. При этом в сосуде наблюдается четкая граница, отделяющая жидкость от пара (рис.1а). При нагревании горизонтальный участок AB изотермы уменьшается и при строго определенной критической температуре T = TK, существование которой было открыто в 1860 году, этот участок стянется в точку. В этом состоянии исчезнет граница между жидкостью и ее паром (рис.1b) из-за того, что плотности этих фаз становятся одинаковыми. Такое состояние называется критическим. Связь между параметрами воды в этом состоянии, можно получить исходя из модели реального газа Ван-дер-Ваальса. Уравнение состояния Ван-дер-Ваальса имеет вид

(5.1)

где - число молей воды в сосуде. Критическое состояние характеризуется тем, что уравнение (5.1) относительно объема имеет в этой точке изотермы тройной корень, т. е. мы можем записать его в виде

(5.2)

или

. (5.3)

Приведем уравнение (5.1) к виду (5.3). Для этого необходимо его умножить на и привести подобные члены:

(5.4)

Сравнивая коэффициенты в (5.3) и (5.4) при равных степенях объема, получаем для критического состояния следующие связи между параметрами:

(5.5)

Решая систему уравнений (5.5) относительно a, b, VK , получаем

(5.6)

Для нас важно последнее соотношение, так как именно из него можно найти массу воды. Действительно, в замкнутом сосуде в критическом состоянии плотность пара одинакова во всем объеме

(5.7)

Тогда из (5.6) получаем

(5.8)

и масса воды

(5.9)

Подставляя численные значения из условия задачи, получаем

При температуре 180 С плотность воды равна 1000 кг/м3, тогда объем этого количества воды равен

Ответ: для достижения критического состояния в данном объеме сосуда необходимо 2.78 см3 воды (при температуре 180 С).

Пример 6. В цилиндре под поршнем находится воздух с относительной влажностью φ1 = 80% при температуре T1 = 300 К. Объем воздуха V1 = 1.5 л. Какой станет влажность φ2, если объем воздуха уменьшить до V2 = 0.37 л, а температуру повысить до T2 = 373 К? Давление насыщенного водяного пара равно PS1 = 3500 Па при температуре T1 и PS1 = 100000 Па при температуре T2.

Относительная влажность воздуха, по определению,

(6.1)

где ρ , P – плотность и давление водяного пара, соответственно, а ρS, PS - плотность и давление насыщенного водяного пара, соответственно, при той же температуре. Давление насыщенного водяного пара является важнейшей термодинамической характеристикой, основой для определения влажности воздуха, поэтому его значения измерены с хорошей точностью и данные сведены в таблицу (см., например, Приложение 1, таблица А.1.1).

Так как система изолирована (см. рис.1), то масса водяного пара в начальном и конечном состояниях одинакова, следовательно, можно воспользоваться уравнением Менделеева-Клапейрона для описания состояний водяного пара (считая его идеальным газом, что хорошо выполняется, поскольку поправка к давлению , возникающая вследствие взаимодействия молекул и оцениваемая из уравнения Ван-дер-Ваальса (см. предыдущий пример), составляет около 0.03% для состояния 1 и 0.5% для состояния 2)

(6.2)

где

(6.3)

парциальные давления водяных паров в сосуде для начального и конечного состояний. Из (6.2) следует

(6.4)

Подставляя сюда соотношения (6.4), получаем

(6.5)

Подставляем численные значения величин в (6.5), получаем относительную влажность воздуха в конечном состоянии

Таким образом, при повышении давления и температуры влажность воздуха уменьшилась.

Ответ: относительная влажность воздуха в конечном состоянии равна 14 %.

Пример 7. В Новосибирске занимающем площадь 48 тысяч га за 10 минут во время ливневого дождя выпало h = 20 мм осадков. Подсчитайте энергию E и мощность P тепловыделения от слияния капель во время дождя, если капли, достигшие поверхности Земли, имели диаметр D = 3 мм, а образовались из мельчайших капель диаметром d = 0.003 мм

Решение

Решение задачи разбивается на два этапа. Первый этап заключается в подсчете количества тепловой энергии, которое выделяется в атмосфере при слиянии мельчайших капель в одну крупную. Второй этап состоит в определении числа крупных капель и затем в оценки энергии и мощности тепловыделения

Первый этап.

Число мельчайших капель необходимых для образования одной крупной определяется отношением их объемов

(7.1)

где V2 – объем крупной капли, а V1 – объем мельчайшей капли

тогда

Энергия, которая высвобождается при слиянии капель, равна разности поверхностных энергий капель в начальном и конечном состояниях

(7.2)

Второй этап.

Суммарное тепловыделение найдем по формуле

(7.3)

где число крупных капель можно найти из общего объема осадков

Мощность тепловыделения в нашем случае равна

Отметим, что полученный результат на самом деле является верхней оценкой полученных величин, так как в представленном расчете неявно предполагалось постоянство температуры, хотя на самом деле из-за нагревания атмосферы коэффициент поверхностного натяжения воды капель должен уменьшаться. Интересно сравнить эти оценки с параметрами взрыва американской атомной бомбы, сброшенной над Хиросимой. Согласно официальным данным, энергия этой адской машины имела тротиловый эквивалент в 20 тысяч тонн. Тогда энергия атомного взрыва равна . Таким образом, тепловыделение во время ливневого дождя меньше всего на два порядка, по сравнению с энергией атомного взрыва, однако этот процесс растянут во времени и в пространстве, поэтому мы не обращаем внимание во время ливня на столь чудовищные значения выделяемой во время дождя энергии.

Ответ: энергия 1.4 ТДж, мощность 2.3 ГВт.

Пример 8. Теплопроводность. Сколько теплоты протекает через окно с двойной рамой за один час, если окно имеет размеры 0.76х1.12 м? Толщина слоя воздуха между рамами 0.16 м, температура наружнего воздуха –350 С, а внутри дома 200 С.

Теплопотери через окно можно вычислить на основе эмпирического закона Фурье (см., например, [3] )

(8.1)

Здесь Q - количество теплоты, переданное через окно, площадью S = a b. В качестве разумного предположения примем, что градиент температуры является постоянной величиной, тогда

(8.2)

где . На самом деле (8.2) есть выражение для среднего градиента температуры. Он в принципе не может быть постоянным вдоль оси X, поскольку коэффициент теплопроводности зависит от температуры, а поток тепла, разумеется, одинаков в любом поперечном сечении. Таким образом, также должен быть усреднен.

Теплопроводность воздуха является одной из важнейших характеристик, используемых при проектировании различных сооружений, в двигателестроении, в химической технологии и т. п., поэтому имеются обширные таблицы этой величины, измеренной при различных давлениях и температурах. Воспользуемся опытными данными, взятыми из справочника [7] и приведенными в Приложении 1. Как видно из рис. А.1.1 зависимость хорошо аппроксимируется линейной функцией

(8.3)

где значения и находим из таблицы А.1.2 с помощью интерполяции Лагранжа (см. Приложение 3)

При линейной зависимости среднее значение коэффициента равно полусумме значений на границах интервала T1 и T2 , таким образом,

(8.4)

Подставляем численные значения физических величин, получаем следующую оценку теплопотерь через окно

Ответ: за час через данное окно при данной разности температур потери тепла составят 24.6 кДж.

Список рекомендуемой литературы

Основная

1. Волькенштейн задач по общему курсу физики. - М.: Наука, 1985.

2. Савельев общей физики. Т.1. Механика. Молекулярная физика. - М.: Наука, 1986. –432 с.

3. , Детлаф по физике. М.: Наука, 1977. –944 с.

Дополнительная

4. Сборник задач по общему курсу физики. Термодинамика и молекулярная физика. /под ред. . - М.: Наука, 19с.

5. Фирганг к решению задач по курсу общей физики. - М.: Высшая школа, 1977. –351 с.

6. Беликов задач по физике. Общие методы. - М.: Высшая школа, 1986. –256 с.

7. Физические величины. Справочник./ под ред. , . М.: Энергоатомиздат, 1991. –1232 с.

ЗАДАЧИ

1. Уравнение состояния идеального газа

1.1. Два одинаковых баллона соединены трубкой с клапаном, пропускающим газ из одного баллона в другой при разности давлений в 1.1 атм. Сначала в одном баллоне был вакуум, а в другом идеальный газ при температуре 300 К и давлении 1.00 атм. Затем оба баллона нагрели до 380 К. Каким стало давление газа в баллоне, где был вакуум?

1.2. Сосуд объемом 20 л содержит смесь водорода и гелия при температуре 293 К и давлении 4.00 атм. Масса смеси 5.0 г. Найти отношение массы водорода к массе гелия в данной смеси.

1.3. В сосуде находится смесь 7.0 г азота и 11.0 г углекислого газа при температуре 290 К и давлении 1.0 атм. Найти плотность этой смеси, считая газы идеальными.

1.4. В вертикальном закрытом с обоих торцов цилиндре находится легкоподвижный поршень, по обе стороны которого - по одному молю воздуха. В равновесном состоянии при температуре 300 К объем верхней части цилиндра в 4.0 раза больше объема нижней части. При какой температуре отношение этих объемов станет равным 3.0?

1.5. Баллон емкостью 20 л наполнен сжатым воздухом. При температуре 293 К манометр показывает 120 атм. Какой объем воды можно вытеснить из балластной цистерны подводной лодки воздухом этого баллона, если вытеснение производится на глубине 30 м и температура равна 278 К? Плотность морской воды равна 1000 кг/м3, давление атмосферного воздуха 1 атм.

1.6. Из баллона со сжатым водородом емкостью 10 л вследствие неисправности вентиля утекает газ. При температуре 280 К манометр показывал 48.4 атм. Через некоторое время при температуре 290 К манометр показал такое же давление. Сколько утекло газа?

1.7. Объем воздуха в комнате 100 м. Какова масса вышедшего из него воздуха при повышении температуры от 283 до 298 К, если атмосферное давление 1.02 105 Па?

1.8. Баллон емкостью 20 л наполнен сжатым воздухом. При температуре 200 С манометр показывает давление 120 кгс/см2. Какой объем воды можно вытеснить из цистерны подводной лодки воздухом этого баллона на глубине 30 м при температуре 50 С?

1.9. В баллоне емкостью 14 л находится смесь гелия и кислорода массой 64 г при температуре 280 К и давлении . Найти массу гелия и массу кислорода в смеси.

1.10. Гремучим газом называется смесь, состоящая из одной части водорода и восьми частей кислорода. Определить плотность гремучего газа при нормальных условиях (температура 273 К, давление 105 Па).

1.11. Аэростат наполнен водородом при температуре 150 С. Под влиянием солнечных лучей при неизменном давлении температура газа поднялась до 370 С, и излишек газа вышел через аппендикс, благодаря чему масса аэростата уменьшилась на 6 кг. Считая, что средняя плотность водорода 0.089 кг/м3, определить объем аэростата.

1.12. Цилиндрический сосуд длины 85 см разделен на две части легкоподвижным поршнем. При каком положении поршня давление в обеих частях цилиндра будет одинаково, если одна часть заполнена кислородом, а другая часть водородом такой же массы? Температура в обеих частях цилиндра одинакова.

2. Первое начало термодинамики

2.1. Два моля идеального газа при температуре 300 К изохорически охладили, вследствие чего его давление уменьшилось в 2 раза. Затем газ изобарически расширили так, что в конечном состоянии его температура стала равной первоначальной. Найти количество тепла, поглощенного газом в данном процессе.

2.2. Три моля идеального газа, находившегося при температуре 273 К, изотермически расширили в 5 раз и затем изохорически нагрели так, что в конечном состоянии его давление стало равным первоначальному. За весь процесс газу сообщили количество тепла равное 80 кДж. Найти показатель адиабаты для этого газа.

2.3. Каково изменение внутренней энергии 100 г азота, имеющего при нормальном давлении объем 10 л при расширении до объема 12 л: а) при неизменном давлении, б) адиабатно.

2.4. В комнате размером 90 м3 воздух сменяется полностью через два часа. Какое количество теплоты требуется для обогревания воздуха в комнате за сутки, если температура воздуха в комнате должна быть 180 С, а наружный воздух имеет температуру –50 С? Принять, что средняя плотность воздуха 1.25 кг/м3 . Считать воздух идеальным газом.

2.5. Некоторую массу азота сжали в 5 раз (по объему) один раз адиабатически, другой раз изотермически. Начальное состояние газа в обоих случаях одинаково. Найти отношение соответствующих работ, затраченных на сжатие.

2.6. В закрытом сосуде 100 г азота и 200 г кислорода. Найти изменение внутренней энергии этой смеси газов при охлаждении ее на 25 К.

2.7. При изобарическом расширении азота была совершена работа 200 Дж. Какое количество теплоты было сообщено газу?

2.8. Один моль двухатомного идеального газа совершает процесс от начального состояния, при котором температура и объем соответственно равны 300 К и 20 л, к конечному, в котором температура и объем равны 315 К и 22.5 л. Процесс изображается на P - V диаграмме прямой линией. Найти совершенную системой работу и поглощенную теплоту.

2.9. Один килограмм воздуха при 293 К и давлении 105 Па сжимается, причем получается окончательное давление 106 Па. Определить работу, которая производится при сжатии воздуха, если: а) сжатие идет при постоянной температуре, б) сжатие происходит адиабатно.

2.10. Восемь граммов кислорода при температуре 300 К занимают объем 0.41 л. Вычислить работу газа в следующих случаях: а) газ адиабатно расширяется до 4.1 л, б) газ изотермически расширяется до объема 4.1 л, а затем охлаждается до той же температуры, которая получилась по окончании адиабатного расширения. Чем объясняется разница в величине этих работ?

2.11. Один киломоль идеального двухатомного газа расширяется изобарически, изотермически, адиабатически до объема, в 5 раз большего первоначального. В каком из этих процессов работа по расширению будет больше? Определить также изменение внутренней энергии и количество подведенной теплоты. Считать первоначальное состояние нормальным, (температура 00 С, давление 760 мм рт. ст.).

2.12. Смешано две части водорода и одна часть кислорода (по объему). Общая масса смеси газов равна 72 г. Температура 170 С. Определить внутреннюю энергию смеси.

3. Молекулярно-кинетическая теория. Распределение Максвелла-Больцмана. Барометрическая формула.

3.1. Какое давление создастся при температуре 273 К в сферической колбе объемом 100 см3, если в нее испарятся молекулы кислорода, покрывающие мономолекулярным слоем внутреннюю поверхность колбы и если на каждую молекулу слоя кислорода приходится площадь 9 10-20 м2 ?

3.2. Азот массой 12 г находится в закрытом сосуде при температуре 300 К. Какое количество теплоты необходимо передать азоту, чтобы средняя квадратичная скорость молекул возросла в 2 раза?

3.3. Газ, состоящий из жестких двухатомных молекул, находится при температуре 300 К. Вычислить среднюю квадратичную угловую скорость вращения молекулы, если ее момент инерции равен кг м2.

3.4. Из ядра атома радия вылетают альфа-частицы (ядра атомов гелия) со скоростью 1м/с. При какой температуре атомы гелия имели бы такую же среднюю квадратичную скорость?

3.5. Найти отношение числа молекул водорода, скорости которых лежат в пределах от 3000 м/с до 3010 м/с, к числу молекул, имеющих скорости в пределах от 1500 м/с до 1510 м/с, если температура водорода 573 К.

3.6. Какая часть молекул кислорода обладает скоростями, отличающимися от наивероятнейшей не больше чем на 10 м/с при температурах 273 К и 573 К?

3.7. Определить отношение числа молекул водорода, обладающих скоростями в интервале от 2500 м/с до 2600 м/с, к числу молекул, обладающих скоростями от 1500 м/с до 1600 м/с, если температура водорода 273 К.

3.8. На поверхности Земли барометр показывает . Каково будет показание барометра при подъеме его на Останкинскую башню, высота которой 538 м? Температуру считать всюду одинаковой и равной 280 К.

3.9. При подъеме вертолета на некоторую высоту барометр, находящийся в кабине вертолета, изменил свое показание на 10 кПа. На какой высоте летит вертолет, если на взлетной площадке барометр показывал 100 кПа? Температуру воздуха считать всюду одинаковой и равной 290 К.

3.10. Вблизи поверхности Земли отношение объемных концентраций кислорода и азота в воздухе равно 20.95/78.08=0.268. Полагая температуру атмосферы не зависящей от высоты и равной 273 К, определить отношение объемных концентраций на высоте 10 км.

3.11. Вычислить, какой процент молекул газа, находящихся в поле силы тяжести, имеет потенциальную энергию большую, чем их средняя кинетическая энергия поступательного движения. Считать, что для этого газа имеет место распределение Больцмана. Гравитационное поле считать однородным.

3.12. Для определения числа Авогадро Перрен измерял распределение по высоте шарообразных частиц гуммигута, взвешенных в воде. Он нашел, что отношение количества частиц в слоях, отстоящих друг от друга на расстоянии 30 мм, равно 2.08. Плотность частиц 1194 кг/м3, воды 1000 кг/м3. Радиусы частиц 0.212 мкм. На основании этих данных вычислите число Авогадро. Температура воды 180 С.

4. Второе начало термодинамики. Тепловые машины. Энтропия

4.1. Некоторая масса водорода совершает цикл Карно. Найти коэффициент полезного действия цикла, если при адиабатическом расширении: а) объем газа увеличился в два раза; б) давление уменьшилось в 2 раза.

4.2. Один моль одноатомного идеального газа совершает в тепловой машине цикл Карно между тепловыми резервуарами с температурами 400 К и 300 К. Наименьший объем газа в ходе цикла 5 л, наибольший объем 20 л. Какую работу совершает эта машина за один цикл? Сколько тепла берет она от высокотемпературного резервуара за один цикл? Сколько тепла поступает за цикл в низкотемпературный резервуар?

4.3. Кпд паровой машины составляет 50% от кпд идеальной тепловой машины, которая работает по циклу Карно в том же интервале температур. Температура пара, поступающая из котла в паровую машину, 500 К, температура конденсата 350 К. Определить мощность паровой машины, если она за один час потребляет уголь массой 200 кг с теплотворной способностью 31 МДж/кг.

4.4. В идеальной холодильной машине, работающей по обратному циклу Карно, совершается перенос теплоты от тела с температурой 253 К к воде, имеющей температуру 283 К. Определить, какое количество теплоты будет отнято от охлаждаемого тела за один цикл, если известно, что данная холодильная машина приводится в действие с помощью теплового двигателя, который работает в интервале температур от 380 К до 475 К и передает за каждый цикл холодильнику 504 кДж теплоты.

4.5. Двухатомный газ совершает цикл Карно. Определить кпд цикла, если известно, что на каждый моль этого газа при его адиабатическом сжатии затрачивается работа 2 кДж. Температура нагреваК.

4.6. Наименьший объем газа, совершающего цикл Карно, 12. Определить наибольший объем, если объем газа в конце изотермического расширения 60 дм3, в конце изотермического сжатия 19.

4.7. Цикл Карно совершается одним киломолем азота. Температура нагреваС, холодильника 3000 С. Известно также, что отношения максимального объема к минимальному за цикл равно 10. Определить кпд цикла, количество теплоты, полученной от нагревателя и отданной холодильнику, а также работу за один цикл машины.

4.8. Смешиваются 5 л и 3 л разнородных, химически не реагирующих друг с другом газов, имеющих одинаковую температуру 300 К и давление 10 Па. Определить при этом изменение энтропии.

4.9. Во сколько раз следует увеличить изотермически объем 4 моль идеального газа, чтобы его энтропия испытала приращение равное 23 Дж/К?

4.10. Гелий массой 1.7 г адиабатически расширяется в 3 раза и затем изобарически сжимается до первоначального объема. Найти приращение энтропии газа в этом процессе.

4.11. Найти приращение энтропии алюминиевого бруска массы 3 кг при нагревании его от температуры 300 К до 600 К, если в этом интервале температур удельная теплоемкость алюминия

где a= 0.77 Дж/(г К), b=0.46 мДж/(г К2 ).

4.12. Кислород массой 0.45 г имеет в начальном состоянии объем 2 л и температуру 100 С, в конечном – объем 10 л и температуру 500 С. Найти изменение энтропии кислорода при переходе из первого состояния во второе.

5. Реальные газы. Критическое состояние.

5.1. Вычислить, пользуясь формулой Ван-дер-Ваальса, давление углекислого газа массой 1.1 кг, заключенного в баллон емкостью 20 л, при температуре 280 К. Сравнить результат с давлением идеального газа при тех же условиях.

5.2. Один моль азота изотермически сжимается от объема 22.4 л при нормальных условиях до объема в 100 раз меньшего. Рассчитать: а) изменение внутренней энергии; б) количество выделенной теплоты.

5.3. Аргон массой 4.0 г занимает объем 0.10 дм3 под давлением 2.5 МПа. Найти температуру газа, считая его а) идеальным, б) реальным.

5.4. Вычислить внутреннее давление воды, если известна постоянная а в уравнении Ван-дер-Ваальса.

5.5. В баллоне вместимостью 2.2 л находится азот массой 0.7 кг при температуре 273 К. Определить давление газа на стенки баллона, внутреннее давление газа и собственный объем молекул.

5.6. Объем кислорода массой 4.0 г увеличивается от 1.0 до 5.0 л. Рассматривая газ как реальный, найти работу внутренних сил при этом расширении.

5.7. Какова масса воды, налитой в сосуд вместимостью 30 см3, при которой ее можно привести в критическое состояние путем нагревания запаянного сосуда?

5.8. Определить диаметр молекулы кислорода по известным для него значениям критических параметров Тk и Рk. Критическая температура Тk = 154 К, критическое давление Рk = 5.07 МПа.

5.9. Вычислить постоянные Ван-дер-Ваальса для углекислого газа, если его критическая температура равна 304 К и критическое давление 73 атм.

5.10. Найти удельный объем бензола (C6H6) находящимся в критическом состоянии, если его критическая температура равна 562 К и критическое давление 47 атм.

5.11. В сосуде объемом 200 л находится 300 моль водорода при давлении 760 мм рт. ст. Во сколько раз надо увеличить температуру, чтобы давление увеличилось в три раза? Сравнить с результатом для идеального газа.

5.12. В баллоне емкостью 8 л находится 300 г кислорода при температуре 270 С. Определить: какую часть объема сосуда составляет собственный объем молекул; какую часть давления газа на стенки сосуда составляет внутреннее давление, обусловленное силами притяжения молекул.

6. Поверхностное натяжение. Капиллярные явления.

6.1. Какую работу надо совершить, чтобы выдуть мыльный пузырь диаметром 14 см, если процесс раздувания пузыря изотермический? Чему равно давление внутри этого пузыря? Коэффициент поверхностного натяжения мыльного раствора принять равным 0.045 Н/м.

6.2. Рамка с подвижной нижней перекладиной длиной 15 см затянута мыльной пленкой. Какую надо совершить работу против сил поверхностного натяжения, чтобы растянуть пленку на 4.0 см, если коэффициент поверхностного натяжения мыльного раствора равен 0.045 Н/м.

6.3. На какую высоту поднимается под действием капиллярных сил вода в образовавшихся в почве капиллярах диаметром 0.3 мм и в стеблях ржи, имеющих средний диаметр пор 20 мкм? Смачивание считать полным.

6.4. Какое количество теплоты получает капля ртути, образовавшаяся при слиянии 64 капель радиусом по 1 мм каждая?

6.5. Капиллярная трубка, внутренний диаметр которой равен 0.4 мм, наполнена водой. Часть воды повисла внизу трубки в виде капельки, которую можно принять за часть сферы радиусом 2 мм. Определить высоту столбика воды в трубке. Считать, что вода полностью смачивает стенку.

6.6. Вычислить разность уровней воды в капиллярах диаметром 0.5 и 1.0 мм, которые погружены в сосуд с водой. Какова была бы разность уровней, если бы капилляры погрузили в сосуд с ртутью? Смачивание считать полным в случае воды и нулевым для ртути.

6.7. В сосуд с водой при температуре 200 С опущен капилляр диаметром внутреннего канала 0.10 мм. При нагревании воды до 700 С уровень воды в капилляре снизился на 3.2 см. Определить коэффициент поверхностного натяжения воды при температуре 700 С. Расширением стекла при нагревании пренебречь.

6.8. При плавлении серебряной проволочки диаметром 2.0 мм образовалось 12 капель серебра, при этом проволока укоротилась на 205 мм. Определить поверхностное натяжение жидкого серебра.

6.9. В жидкость на очень малую глубину опущена капиллярная трубка с диаметром канала 2.0 мм. Какова масса вошедшей в трубку жидкости, если поверхностное натяжение ее 0.043 Н/м? Смачивание считать полным.

6.10. Стеклянный капилляр длины 110 мм с диаметром внутреннего канала 20 мкм опустили в вертикальном положении в воду. Верхний конец капилляра запаян. Наружное давление нормальное. Какая часть капилляра должна быть погружена в воду, чтобы уровень воды в нем совпадал с поверхностью воды вне капилляра?

6.11. Вертикально расположенная капиллярная трубка длиной 20 см с запаянным верхним концом приведена в соприкосновение своим нижним концом с водой. На какую высоту поднимется вода в трубке, если ее радиус 0.2 мм? Атмосферное давление принять равным 1 атм. Вода полностью смачивает трубку.

6.12. Два мыльных пузыря, радиусы которых R1 и R2 (R1 > R2), выдуты на разных концах одной и той же тонкой трубки. Если пузыри предоставить самим себе, какой из них будет увеличиваться, а какой уменьшаться?

7. Явления переноса

7.1. Найти среднюю длину свободного пробега и среднее время между столкновениями молекул газообразного азота, находящегося: а) при нормальных условиях; б) при температуре 273 К и давлении 1 нПа (такое давление позволяют получать современные вакуумные насосы). Эффективный диаметр молекулы азота равен 0.37 нм.

7.2. В межзвездном пространстве содержится одна молекула в объеме 15 см3 . Какова средняя длина свободного пробега молекул, если предположить, что это молекулы водорода?

7.3. Катод рентгеновской трубки имеет вид диска площадью 1.0 см2. Определить число молекул воздуха, ударяющихся за 1 секунду о катод при температуре 290 К и давлении 0.0133 Па.

7.4. Коэффициент диффузии кислорода при нормальных условиях равен 14.1 мм2/с. Определить, каким будет коэффициент диффузии при температуре 323 К, если нагревание газа происходит при постоянном объеме.

7.5. Найти динамическую вязкость воздуха при температуре 373 К и нормальном давлении, если при нормальных условиях она равна .

7.6. Найти массу азота, прошедшего вследствие диффузии через площадку 100 см2 за 10 с, если градиент плотности в направлении, перпендикулярном площадке, равен 1.26 кг/м4 . Температура азота 300 К; средняя длина свободного пробега молекул азота 10 мкм.

7.7.Коэффициенты диффузии и внутреннего трения кислорода равны, соответственно, и . Найти при этих условиях: а) плотность кислорода; б) среднюю длину свободного пробега его молекул; в) среднюю арифметическую скорость его молекул.

7.8. Самолет летит со скоростью 360 км/час. Считая, что слой воздуха у крыла самолета, увлекаемый вследствие вязкости, равен 4 см, найти касательную силу, действующую на каждый квадратный метр поверхности крыла. Диаметр молекулы воздуха принять равным 0.3 нм. Температура воздуха 273 К.

7.9. Стальной стержень длиной 20 см и площадью поперечного сечения 3 см2 нагревается с одного конца до температуры 573 К, а другим концом упирается в лед. Предполагая, что передача тепла происходит исключительно вдоль стержня (без потерь через стенки), подсчитать массу льда, растаявшего за 10 минут. Теплопроводность стали . Температура льда 00 С.

7.10. Медный кофейник нагревается на электроплитке. Вода доведена до кипения и выделяет каждую минуту 2 грамма пара. Толщина дна кофейника 2 мм, а площадь дна 300 см2. Определить разность температур между внутренней и наружной поверхностями дна кофейника, предполагая, что все дно кофейника нагревается равномерно. Теплопроводность меди .

7.11. Для расчета отопительной системы рассчитывают потерю теплоты через 1 м2 поверхности стен здания в течение суток. Толщина кирпичной стены равна 40 см, температура стены внутри и снаружи здания соответственно равна 180 С и -200 С. Определите потери энергии через 1 м2 поверхности кирпичной стены. Какой толщины должна быть деревянная стена, чтобы потеря теплоты была такой же? Коэффициент теплопроводности кирпичной стены , а коэффициент теплопроводности деревянной стены .

7.12. Ветер дует над поверхностью воды со скоростью 10 м/с. Считая, что толщина слоя воздуха, взаимодействующего с водой, равна 1 см, найти силу, действующую со стороны ветра на один квадратный метр воды.

8. Тепловые свойства твердых тел

8.1. Часы с латунным маятником идут правильно при 00 С. Насколько отстанут часы за сутки, если температура воздуха повысится до 200 С?

8.2. Часы с металлическим маятником спешат на 8 секунд в сутки при температуре 30 С и отстают на 7 секунд в сутки при температуре 230 С. Найти коэффициент расширения материала маятника и температуру, при которой часы будут идти правильно.

8.3. При температуре 00 С стеклянный баллон вмещает 100 г ртути. При 200 С баллон вмещает 99.7 г ртути (в обоих случаях температуру ртути считать равной температуре баллона). Найти температурный коэффициент линейного расширения стекла, учитывая, что температурный коэффициент объемного расширения ртути равен К-1.

8.4. Железный бак вмещает 40 литров бензина при 00 С. Сколько бензина выльется из бака, если его внести в комнату с температурой 200 С.

8.5. Нефть содержится в железной цилиндрической цистерне, высота которой 6 м, а диаметр основания 10 м. При температуре 00 С нефть не доходит до краев цистерны на 20 см. При какой температуре нефть начнет переливаться через край цистерны? Учесть тепловое расширение цистерны.

8.6. Определить длины железного и медного стержней при температуре 00 С, если разности их длин при 500 С и 4500 С одинаковы по модулю и равны 2 см. Температурные коэффициенты линейного расширения железа и меди равны, соответственно, и . Рассмотреть два случая, когда разность длин стержней: а) не зависит от температуры, б) зависит от температуры.

8.7. К стальной проволоке сечением 1 мм подвешен груз. Под действием этого груза проволока получила такое же удлинение, как и при нагревании на 200 С. Найти массу груза.

8.8. Стальной бандаж (металлическое кольцо) насаживается на вагонное колесо при температуре 3000 С. Определить силу натяжения бандажа при температуре 200 С, если сечение бандажа 20 см2, модуль Юнга равен , а коэффициент линейного расширения .

8.9. Колесо локомотива имеет диаметр 1 м при температуре 00 С. На сколько отличаются расстояния, пройденные поездом за один час зимой и летом при температурах -350 С и +350 С, если в обоих случаях колесо делало 480 оборотов в минуту. Температурный коэффициент линейного расширения металла колеса .

8.10. На нагревание медной болванки массой 1 кг, имеющей первоначальную температуру 00 С, затрачено . Во сколько раз при этом увеличится её объем? Теплоемкость меди найти по закону Дюлонга-Пти.

8.11. Пользуясь законом Дюлонга-Пти, найти из какого материала сделан металлический шарик массой 25 г, если известно, что для его нагревания от 100 С до 300 С потребовалось117 Дж теплоты.

8.12. Пользуясь законом Дюлонга-Пти, найти во сколько раз удельная теплоемкость алюминия больше удельной теплоемкости платины.

ПРИЛОЖЕНИЕ

ПРИЛОЖЕНИЕ 1

Справочный раздел

Давление

Физическая атмосфера 1 атм = 760 мм рт. ст. = 101800 Па

Техническая атмосфера 1 ат =1 кгс/см2=1кГ/см2=98100 Па

1 мм рт. ст. = 133 Па

Температура

10 С = 1 К

T K = t0 С +273

Нормальные условия

Давление 760 мм рт. ст., температура 00 С.

Приставки для образования десятичных дольных и кратных единиц

Тера 1012 Деци 10-1 Пико 10-12

Гига 109 Санти 10-2 Фемто 10-15

Мега 106 Милли 10-3

Кило 103 Микро 10-6

Дека 101 Нано 10-9

1.1 Давление насыщенных водяных паров

t, 0 C	P, Па, 103	t, 0 C	P, Па, 104	t, 0 C	P, Па, 104
0	0.6108	34	0.53182	68	2.8561
2	0.7054	36	0.59401	70	3.1161
4	0.8129	38	0.66240	72	3.3957
6	0.9346	40	0.73749	74	3.6963
8	1.0721	42	0.81983	76	4.9190
10	1.2271	44	0.90998	78	4.3650
12	1.4015	46	1.0085	80	4.7359
14	1.5974	48	1.1161	82	5.1328
16	1.8170	50	1.2335	84	5.5572
18	2.0626	52	1.3612	86	6.0107
20	2.3368	54	1.5001	88	6.4947
22	2.6424	56	1.6510	90	7.0108
24	2.9824	58	1.8146	92	7.5607
26	3.3600	60	1.9919	94	8.1460
28	3.7785	62	2.1837	96	8.7685
30	4.2417	64	2.3910	98	9.4301
32	4.7536	66	2.6148	100	10.1325

Теплопроводность воздуха при постоянном давлении

1.2

T, K	, Вт/(м К)
100
150	1
200	1
300	2
400	3

Рис. А.1.1 Зависимость коэффициента теплопроводности воздуха от температуры

ПРИЛОЖЕНИЕ 2

Распределение Максвелла

Среднее любой физической величины f можно найти, зная функцию распределения вероятности W(f) этой величины по формуле

(А.1)

Здесь интегрирование ведется по области определения величины f , r(z) – плотность распределения вероятности величины f. Так например, чтобы найти давление P одноатомного идеального газа

(А.2)

необходимо найти среднее квадрата скорости по формуле (А.1)

(А.3)

Здесь F(u) есть функция распределения молекул по скоростям молекул (распределение Максвелла), которая имеет вид [3]

(А.4)

где m - масса молекулы газа, – постоянная Больцмана. Оказывается, более удобно работать с выражением, где используется безразмерная скорость u

(А.5)

где наиболее вероятная скорость равна

(А.6)

Тогда закон распределения Максвелла принимает вид

(А.7)

На рис. А.1 представлен график функции распределения Максвелла (кривая 1).

Для того, чтобы найти долю частиц, у которых скорости находятся в диапазоне от u1 до u2 , необходимо вычислить интеграл

(А.8)

Используя свойство аддитивности интеграла (А.7), можно представить в виде разности двух интегралов

(А.9)

где

(А.10)

Выделенная черным область под кривой 1 определяет долю молекул, чьи скорости лежат в указанном скоростном интервале [u1, u2] или, что тоже самое, вероятность для молекулы идеального газа иметь значение скорости в указанном интервале.

На рис. А.1 представлен график функции W(u) (кривая 2).

Рис. А.1. Распределение Максвелла F(u) (кривая 1), вероятность W(u) (кривая 2)

График функции W(u) определяет долю молекул, чьи скорости больше скорости u. Например, W(1.2) = 0.4 означает, что 40% молекул имеют скорости больше чем 1.2.

Таким образом, ключом к решению любых задач, связанных с нахождением числа молекул, чьи скорости лежат в некотором интервале, будет следующий алгоритм:

1.  Найти наиболее вероятную скорость по формуле (А.6).

2.  Найти границы интервала u1, u2 по формуле (А.5).

3.  По таблице А.1 определить значение интегралов W(u1), W(u2)

4.  Найти их разность.

2. Распределение Максвелла F(u) и доля частиц W(u), чьи скорости больше, чем u.

u	F	W	u	F	W
0	0	1.0000	2.55	0.02201	0.004626
0.05	0.005628	0.9999	2.6	0.01768	0.003637
0.10	0.02234	0.9993	2.65	0.01413	0.002845
0.15	0.04965	0.9975	2.7	0.01123	0.002213
0.20	0.08673	0.9941	2.75	0.008867	0.001713
0.25	0.1325	0.9887	2.8	0.006965	0.001319
0.3	0.1856	0.9808	2.85	0.00544	0.00101
0.35	0.2446	0.97	2.9	0.004225	0.0007696
0.4	0.3077	0.9562	2.95	0.003263	0.0005833
0.45	0.3732	0.9392	3	0.002507	0.0004398
0.5	0.4394	0.9189	3.05	0.001915	0.0003299
0.55	0.5045	0.8953	3.1	0.001454	0.0002462
0.6	0.5668	0.8685	3.15	0.001099	0.0001828
0.65	0.6249	0.8387	3.2	0.0008253	0.000135
0.7	0.6774	0.8061	3.25	0.0006166	9.917e-005
0.75	0.7233	0.771	3.3	0.0004582	7.248e-005
0.8	0.7616	0.7339	3.35	0.0003386	5.27e-005
0.85	0.7917	0.695	3.4	0.0002489	3.812e-005
0.9	0.8132	0.6549	3.45	0.0001819	2.743e-005
0.95	0.826	0.6138	3.5	0.0001323	1.964e-005
1	0.8302	0.5724	3.55	9.566e-005	1.399e-005
1.05	0.8261	0.531	3.6	6.881e-005	9.912e-006
1.1	0.8143	0.4899	3.65	4.922e-005	6.988e-006
1.15	0.7953	0.4497	3.7	3.503e-005	4.9e-006
1.2	0.77	0.4105	3.75	2.479e-005	3.419e-006
1.25	0.7391	0.3728	3.8	1.745e-005	2.373e-006
1.3	0.7037	0.3367	3.85	1.222e-005	1.639e-006
1.35	0.6647	0.3024	3.9	8.511e-006	1.126e-006
1.4	0.6231	0.2702	3.95	5.897e-006	7.696e-007
1.45	0.5796	0.2402	4	4.063e-006	5.233e-007
1.5	0.5352	0.2123	4.05	2.785e-006	3.541e-007
1.55	0.4906	0.1866	4.1	1.899e-006	2.383e-007
1.6	0.4466	0.1632	4.15	1.288e-006	1.596e-007
1.65	0.4037	0.142	4.2	8.69e-007	1.063e-007
1.7	0.3625	0.1228	4.25	5.832e-007	7.046e-008
1.75	0.3232	0.1057	4.3	3.893e-007	4.646e-008
1.8	0.2864	0.09045	4.35	2.585e-007	3.048e-008
1.85	0.252	0.07701	4.4	1.708e-007	1.99e-008
1.9	0.2204	0.06521	4.45	1.122e-007	1.292e-008
1.95	0.1915	0.05492	4.5	7.336e-008	8.347e-009
2	0.1653	0.04601	4.55	4.77e-008	5.366e-009
2.05	0.1419	0.03834	4.6	3.086e-008	3.431e-009
2.1	0.121	0.03178	4.65	1.985e-008	2.183e-009
2.15	0.1025	0.0262	4.7	1.271e-008	1.382e-009
2.2	0.08637	0.02149	4.75	8.093e-009	8.704e-010
2.25	0.07232	0.01753	4.8	5.127e-009	5.454e-010
2.3	0.06019	0.01423	4.85	3.231e-009	3.4e-010
2.35	0.0498	0.01149	4.9	2.025e-009	2.109e-010
2.4	0.04096	0.009222	4.95	1.263e-009	1.301e-010
2.45	0.03349	0.007366	5	7.835e-010	7.989e-011
2.5	0.02723	0.005853

Приложение 3

Интерполяционные формулы Лагранжа

1.  Линейная интерполяция на интервале [x1, x2] (заданы и )

2.  Квадратичная интерполяция на интервале [x1, x3] (заданы и )

Издание подготовлено в авторской редакции

Подписано к печати 20.11.01. Формат бумаги 60х84.16.

Уч. - из. л. 2,4. Ус. п. л. 2.2. Тираж 100 экз.

___________________________________________________________

Педуниверситет, 630126. 8