УДК 537.311.322

ОЦЕНКА ТОЧНОСТИ РАСЧЕТА ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ПОЛЕЙ

ПОСТОЯННОГО ТОКА В АНИЗОТРОПНЫХ

ПОЛУПРОВОДНИКОВЫХ ПЛАСТИНАХ

,

Липецкий государственный педагогический университет

398020 Липецк, ул. Ленина, д. 42

*****@***ru

Выполнен расчет потенциала электрического поля стационарного электрического тока в анизотропной прямоугольной области. Проведена оценка погрешностей в распределении потенциала и токовых линий, полученных методом комплексных рядов Фурье. Показаны условия, при которых погрешность измерения потенциала минимальна. Даны практические рекомендации по применению полученного решения для потенциала в анизотропных полупроводниках.

Ключевые слова: полупроводник, тензор электропроводности, потенциал, ряд Фурье, плотность тока, погрешность.

Современный этап развития полупроводниковой электроники практически исчерпал значительную часть ресурсов изотропных полупроводниковых материалов, поэтому в последнее время все большее внимание уделяется структурам с электрофизической анизотропией свойств из-за огромного спектра их возможного применения. В связи с этим возникает необходимость построения математических моделей распределения электрических полей в материалах подобного рода, появляющихся при контактных методах измерения физических свойств данных материалов [1].

Рассмотрим методику расчета распределения электрического поля в анизотропном образце в случае, когда монокристалл вырезан так, что главные оси тензора электропроводимости составляют углом с границами образца. Образец имеет следующие размеры: – длина, – ширина и – толщина. Через контакты 1 и 2, имеющие ширину и расположенные на противоположных боковых гранях образца, пропускается постоянных ток . Положение токовых контактов задается величинами и соответственно для 1 и 2 контакта (рис. 1) [1, 2].

Рис. 1. Расположение контактов на анизотропном полупроводниковом образце прямоугольной формы

В данном случае тензор удельной электропроводности принимает вид:

(1)

а его компоненты определяются равенствами [3]:

, (2)

, (3)

. (4)

Здесь и – главные компоненты тензора удельной электропроводности полупроводникового кристалла.

На современном этапе полупроводниковые пластины делают очень малой толщины (порядка нескольких мкм), поэтому целесообразно принять, что , а токовые контакты изготовлены на периметре образца по всей его толщине. Таким образом, рассматриваем двумерную задачу. Кроме того, примем условие, что ширина контактов много меньше длины и ширины образца, т. е. . При этом условии особенности распределения тока в образце будут определяться только анизотропией электропроводимости монокристалла.

При пропускании постоянного тока через образец плотность электрического тока связана с потенциалом в области образца следующим равенством [4]:

. (5)

В области стационарных внешних электрических полей при отсутствии источников и стоков электрических зарядов полагаем:

. (6)

Отсюда следует уравнение для потенциала электрического поля в образце:

. (7)

Граничные условия для потенциала должны удовлетворять требованию, чтобы нормальная составляющая плотности тока была равна нулю всюду на поверхности образца, кроме точек под токовыми электродами [4, 5]:

(8)

. (9)

Уравнение (7) с граничными условиями (8), (9) в виде наклонной производной составляют задачу, решение которой в теории потенциала представляет известные математические трудности [6, 7]. Нами разработан способ решения задач такого типа с применением математического аппарата комплексных рядов Фурье [8, 9].

Несложно проверить, что путем замены переменных:

; (10)

, (11)

уравнение (7) переходит в уравнение:

. (12)

В соответствии с этим комплексный потенциал представим в виде ряда Фурье:

, (13)

Опуская весьма громоздкую процедуру решения данной краевой задачи, запишем окончательное выражение для комплексного потенциала:

; (14)

(15)

Действительная часть комплексного потенциала (14), имеющая смысл потенциала электрического поля в образце, принимает вид:

. (16)

Для более полного отражения электродинамических свойств анизотропных полупроводников определим выражения для плотности тока. Согласно (5) и (16) находим проекции вектора плотности тока на координатные оси:

; (17)

. (18)

В известной литературе [2, 10, 11] достаточно подробно описываются особенности распределения электрического потенциала в анизотропных полупроводниковых пластинах. В работах [10, 11] представлена экспериментальная проверка распределения потенциала для случая симметричного расположения токовых контактов, т. е. при . В этом случае погрешность экспериментальных значений не выходила за рамки инструментальной. В данной работе предлагается методика применимости развиваемой теории расчета электрических полей к конкретным полупроводниковым образцам при ассиметричном положении контактов.

Для определения решения уравнения для потенциала (7) накладываются граничные условия, требующие равенства нулю нормальной составляющей плотности тока всюду на поверхности образца, кроме точек под токовыми электродами. Для оценки степени выполнения данного условия нами проведено моделирование электрического тока в области образца. Необходимо отметить, что граничное условие на верхней и нижних гранях (рис. 1) заменяется использованием комплексных рядов, что вызывает ограничение точности получаемого решения для потенциала при значительных параметрах анизотропии и углах поворота кристаллографических осей относительно граней образца.

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

В результате моделирования нами установлено, что при смещение токовых электродов относительно оси их симметрии некоторые линии плотности тока выходят за край образца, чего не наблюдается, если электроды находятся ровно на данной оси симметрии. Для оценки степени нарушения условия равенства нулю нормальной составляющей плотности тока на гранях нами был произведен расчет данной погрешности по формуле

, (19)

где – значение тока, пропускаемого через контакты 1 и 2, – теоретически вычисляемое значение тока по формуле

, (20)

где определяется из выражения (17).

Результаты зависимости погрешности от относительной координаты представлены на рис. 2 для двух различных параметров анизотропии: (для полупроводников CdAs2) и (для полупроводников ZnAs2), при различных углах анизотропии и для различных положений токовых электродов. Для наглядности в одном ряду стоят графики при разных значениях анизотропии, но одинаковом угле .

а) ,

b) ,

c) ,

d) ,

e) ,

f) ,

Рис. 2. Зависимости от при различных углах анизотропии и различных параметров анизотропии . Для всех изображений введено следующее: - сплошная линия, - пунктирная линия, - линия из точек, - линия точка-тире

Анализ полученных результатов позволяет заключить следующее:

1)  погрешность очень сильно зависит от параметра анизотропии . Расчеты показали, что для изотропного образца погрешность равна нулю;

2)  возрастает при увеличении угла . При погрешность равна нулю;

3)  при ассиметричном расположении контактов относительно оси погрешность увеличивается на порядок. Если контакты находятся на данной оси, то погрешность равна нулю.

Необходимо также отметить, что при симметричном сдвиге токовых электродов относительно серединной линии при любых параметрах анизотропии на линии и в углах образца погрешность обращается в нуль. При данных условиях она достигает максимума при различных заданных параметрах анизотропии в областях и (рис. 2).

Подобного не наблюдается, если происходит ассиметричное сдвижение токовых электродов. В данном случае погрешность достигает своего максимального значения в области и обращается в нуль на углах образца.

Из всего сказанного можно сделать следующий вывод: для уменьшения погрешности при практическом применении описанной выше методики необходимо соблюдать следующие правила:

1) располагать токовые электроды как можно ближе к оси симметрии . В этом случае методика не дает ошибочных результатов, а погрешность пренебрежимо мала;

2) стараться избегать ассиметричного расположения электродов.

Проведенные расчеты показывают, что величина погрешности вычислений электрического тока и потенциала на основе применения комплексных рядов наименьшая в случае симметричного положения токовых электродов при . При примыкании токовых контактов к одной общей грани погрешность расчета тока и потенциала максимальна. Для практического применения данного метода расчета необходимо, чтобы погрешность его применения не превышала погрешностей эксперимента, как правило, составляющей для таких измерений около 5%, т. е. 95% токовых линий должны располагаться в области образца и не пересекать боковые грани образца.

Литература.

1. Филиппов, В. В. Методы измерения и контроля электронного переноса анизотропных полупроводников: монография / , . – Липецк: ЛГПУ, 2011. – 110 с.

2. Поляков, Н. Н. Анализ распределения потенциала и плотности тока в полупроводниковых монокристаллах / // Известия вузов. Физика. – 1989. - №12. – С. 14-19.

3. Най, Дж. Физические свойства кристаллов и их описание при помощи тензоров и матриц / Дж. Най. – М.: Мир, 1967. – 380 с.

4. Ландау, Л. Д. Электродинамика сплошных сред / , . – М.: Физматлит, 2003. – 656 с.

5. Бредов, М. М. Классическая электродинамика / , , И. Н Топтыгин. – М.: Наука. Главная редакция физ.-мат. лит., 1985. – 400 с.

6. Гуревич, Ю. Г. О задаче с косой производной в теории гальваномагнитных явлений / , , Э. Рамирес де Арейано // Математические заметки. – 1999. – Т. 65. – №4. – С. 520-532.

7. Gonzalez, G. New mechanism of magnetoresistance in bulk semiconductors: Boundary condition effects / G. Gonzales, Yu. G. Gurevich, V. V. Prosentsov // Solid State Commun. – 1996. – V.97. – №12. – P. .

8. Лаврентьев, М. А. Методы теории функций комплексного переменного / , . – М.: Наука, 1973. – 736 с.

9. Корн, Г. Справочник по математике для научных работников и инженеров / Г. Корн, Т. Корн. – М.: Наука, 1974. – 832 с.

10. Поляков, Н. Н. Измерение сопротивлений контактов и компонент электропроводимости анизотропных кристаллов и пленок / // ЖТФ. – 1993. – Т.63. – № 7. – С. 167-175.

11. Филиппов, В. В. Особенности гальваномагнитных явлений в пленках анизотропных полупроводников / , // Известия вузов. Электроника. – 2004. – № 2. – С. 9-16.

ASSESSMENT OF ACCURACY OF DIRECT CURRENT

ELECTRIC FIELDS IN ANISOTROPIC

SEMICONDUCTORS WAFERS

V. V. Filippov, A. A. Zavorotniy

Lipetsk State Pedagogical University

Lipetsk st. Lenina 42

The article contains the calculation of the electric potential of the stationary electric current in anisotropic rectangular area. The odds in the allocation of capacity and then-acoustic lines obtained by the complex Fourier series have been estimated. The article also shows the conditions under which the potential measurement odds are minimal. The article also contains practical recommendations for the use of the resulting solutions for the potential in anisotropic semiconductors.

Key words: semiconductor, tensor of conductivity, potential, Fourier series, the current density, odds.