Диаметр фигуры.
1. Докажите, что диаметром прямоугольника является его диагональ.
2. Докажите, что диаметром треугольника является его наибольшая сторона.
3. Докажите, что диаметром многоугольника является либо наибольшая сторона, либо наибольшая диагональ.
Организация процесса с улучшением, полуинвариант.
1. Докажите, что любые 2n точек на плоскости являются концами n непересекающихся отрезков.
2. Задано несколько красных и несколько синих точек, некоторые точки соединены отрезками. Назовем точку особой, если более половины соединенных с ней точек имеют цвет, отличный от ее цвета. Если есть хотя бы одна особая точка, то выбирается любая особая точка и перекрашивается в другой цвет. Докажите, что через конечное число шагов не останется ни одной особой точки.
3. С невыпуклым многоугольником производятся следующие операции. Если он лежит по одну сторону от прямой АВ, где А и В – несмежные вершины многоугольника, то одна из частей, на которые контур многоугольника делится точками А и В, центрально симметрично отражается относительно середины отрезка АВ. Докажите, что после нескольких таких операций многоугольник станет выпуклым.
4. На плоскости дано N точек, некоторые из которых соединены отрезками. Известно, что из любой точки выходит не более 11 отрезков. Докажите, что эти точки можно раскрасить в четыре цвета так, чтобы отрезков с одноцветными концами было не более N.
5. Дан выпуклый многоугольник площади 9. Его пересекают десять параллельных прямых на расстоянии 1 друг от друга. Докажите, что сумма длин отрезков, высеченных многоугольником на этих прямых, не более десяти.
Спуск, бесконечный спуск. Ограничение спуска принципом крайнего.
1. На плоскости проведено n³3 прямых общего положения (нет параллельных и никакие три не пересекаются в одной точке). Докажите, что среди частей, на которые плоскость разбивается этими прямыми, есть треугольник.
2. На доске нарисовали выпуклый многоугольник. В нем провели несколько диагоналей, не пересекающихся внутри него, так что он оказался разбит на треугольники. Затем возле каждой вершины записали число треугольников, примыкающих к этой вершине, после чего все диагонали стерли. Можно ли по оставшимся возле вершин числам восстановить стертые диагонали?
3. Дан выпуклый многогранник и точка внутри него. Докажите, что хотя бы один из перпендикуляров к плоскостям граней, проведённых через эту точку, пересекается с соответствующей гранью. Верен ли этот факт для невыпуклого многогранника?
4. Можно ли куб разрезать на несколько различных кубиков?
5. Докажите, что основание и боковая сторона равнобедренного треугольника с углом при вершине 36° несоизмеримы.
Совсем нелирическое отступление.
1. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием ВС угол при вершине А равен 80°. Внутри треугольника взята точка М так, что ÐМВС=30° и ÐМСВ=10°. Доказать, что ÐАМС=70°.
2. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС угол при вершине В равен 20°. На сторонах ВС и АВ взяты точки D и Е соответственно так, что ÐDAC=60° и ÐЕСА=50°. Доказать, что ÐADE=30°. (см. «Квант», №5, 1995 год)
Множество точек как граф.
1. На плоскости отмечено 6 точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Каждую пару этих точек соединили красным или синим отрезком. Доказать, что найдутся три точки, образующие треугольник одного цвета.
2. На листе клетчатой бумаги отмечено некоторое конечное множество М узлов. Всегда ли можно окрасить некоторые точки множества М в белый цвет, а остальные – в красный так, чтобы на каждой линии сетки разность между числом белых и красных узлов по модулю не превосходила 1?
3.Часть клеток доски n´m закрашена так, что в любом столбце и любой строке чётное количество закрашенных клеток, при этом ладья может пройти с любой закрашенной клетки на любую другую закрашенную клетку, останавливаясь только на закрашенных клетках. Докажите, что ладья может пройти по всем закрашенным клеткам так, чтобы встать на каждую такую клетку ровно 1 раз.
4. На окружности взяли 10 точек. Какое наибольшее число отрезков с концами в этих точках можно провести так, чтобы никакие три из этих отрезков не образовывали треугольник с вершинами в этих точках? (см. теорему Турана в книге Харари - с.32)
5. Вершины выпуклого многогранника, все грани которого треугольники, покрасили в три цвета. Докажите, что число граней, все три вершины которых разноцветные, – чётно.
ПЛОСКИЕ ГРАФЫ.
1. На плоскости дано 5 точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Докажите, что какие-то четыре из них лежат в вершинах выпуклого четырёхугольника.
2. На плоскости даны 5 кругов, каждые два из которых пересекаются. Докажите, что какие-то три из них имеют общую точку.
3. На плоскости дано 6 точек (по 3 синих и красных), никакие три из которых не лежат на одной прямой. Доказать, что некоторые 2 синие и 2 красные точки лежат в вершинах выпуклого четырёхугольника.
4. На клетчатом поле лежит полный комплект домино (каждая доминошка занимает 2 клетки). Назовем областью множество клеток, на которые попали одинаковые цифры доминошек. Область назовем связной, если из любой её клетки хромая ладья может попасть в любую другую. Какое наибольшее число связных областей может быть на поле?
