Применение производной к решению экономических задач

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ

РЕСПУБЛИКИ КАЗАХСТАН

ПРИМЕНЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ К РЕШЕНИЮ ЭКОНОМИЧЕСКИХ ЗАДАЧ

НАПРАВЛЕНИЕ: МАТЕМАТИЧЕСКОЕ

МОДЕЛИРОВАНИЕ ЭКОНОМИЧЕСКИХ

И СОЦИАЛЬНЫХ ПРОЦЕССОВ

СЕКЦИЯ: МАТЕМАТИКА

ВЫПОЛНИЛИ:

МОРОЗОВА Т. С.

КУРИШБЕКОВА Д. М.

УЧЕНИЦЫ 10 «Б» КЛАССА

ГИМНАЗИИ № 38

РУКОВОДИТЕЛЬ:

АБЛЯЕВА Ф. М.

МАХАШЕВ С. Т. –

К. М.Н.

ДОЦЕНТ КАФЕДРЫ

МАТЕМАТИКИ КАРГУ

ИМ. Е. А. БУКЕТОВА

КАРАГАНДА – 2009

Содержание

1.  Абстракт...................................................................................................... 3

2.  Введение..................................................................................................... 5

3.  Производная:

3.1  Задачи, приводящиеся к понятию производной............................... 6

3.2  Определение производной.................................................................. 8

3.3  Правило дифференцирования............................................................. 9

3.4  Экономический смысл производной. Использование понятия производной в экономике.................................................................... 10

3.5  Приложение производной в экономической теории........................ 14

3.6  Решение задач...................................................................................... 16

4.  Заключение................................................................................................ 20

5.  Отзыв.......................................................................................................... 21

6.  Список использованной литературы....................................................... 22

Абстракт

1.  Цель исследования:

Изучить исследование высшей математики в частности понятие производной при решении экономических задач.

2.  Гипотеза:

Данный проект поможет использовать теоретический материал математики для решения прикладных задач.

3.  Этапы, процедуры исследования:

a) Диагностический: Выявление проблемы и обоснования актуальности.

b) Прогностический: Разработка программы исследования.

c) Организационный: Сбор информации. Анализ. Консультации.

4.  Методика исследования:

a) Обзор литературы.

b) Разбор общих экономических задач.

c) Консультации учителей гимназии, преподавателей КарГУ.

d) Составление плана работы.

e) Выполнение работы.

5.  Новизна исследования:

Проверка статистических данных по выполнению дорожной карты нашей гимназии.

6.  Степень самостоятельности:

Самостоятельное изучение литературы, составление плана, проверка статистических данных по выполнению фронта работ по дорожной карте.

7.  Результаты работы:

Углубленное изучение использования производной, применение ее в реальной жизни.

8.  Выводы:

Работая над проектом, мы попытались обосновать использование элементов математического анализа в реальной жизни. Подтверждением этому являются проведенные нами исследования, позволяющие сделать определенные выводы, что производную можно использовать при решении многих экономических задач на нахождение:

-производительности труда;

-темпа работы;

- скорости работы;

-объем работы;

Abstract

1.  The purpose or research work:

To study higher mathematics research in particular concept of a derivative at the decision of economic problems.

2.  The hypothesis:

The given project will help to use a theoretical material of mathematics for the decision of applied problems.

3.  Stages, research procedures:

a) Diagnostic: Revealing of a problem and an urgency substantiation.

b) Prognostics: Working out of the program of research.

c) Organizational: information gathering. The analysis. consultations.

4.  An experiment technique:

a) The literature review.

b) Analysis of the general economic problems.

c) Consultations of teachers of gymnasium, teachers the Karaganda State University.

d) Work scheduling.

e) Work performance.

5.  Novelty of research:

Checking of the statistical information on performance of a road map of our gymnasium

6.  Independence degree:

Independent studying of the literature, scheduling, check of the statistical information on performance of a field of operations on a road map

7.  Results of work:

Profound studying of use of a derivative, its application in a real life.

8.  Conclusions:

Working over the project, we have tried to prove use of elements of the mathematical analysis in a real life. Acknowledgement to it is conducted by us the researches, allowing drawing certain conclusions that the derivative can be used at the decision of many economic problems on a finding:

- Labour productivity;

- Rate of work;

- Speeds of work;

- Work volume.

Введение

Академик выделяет четыре периода развития математики: зарождения математики, элементарной математики, математики переменных величин, современной математики.

Потребности развития самой математики, «математизация» различных областей науки, проникновение математических методов во многие сферы практической деятельности, прогресс вычислительной техники привели к появлению ряда новых математических дисциплин, например исследование операций, теория игр, математическая экономика и др.

Математика играет важную роль в естественно – научных, инженерно – технических и гуманитарных исследованиях. Она стала для многих отраслей знаний не только орудием количественного расчета, но также методом точного исследования и средством предельно четкой формулировки понятий и проблем. Без современной математики с ее развитым логическим и вычислительным аппаратом был бы невозможен прогресс в различных областях человеческой деятельности.

Производная

3.1 Задачи, приводящиеся к понятию производной

1. Задача о касательной. Пусть на плоскости Оху дана непрерывная кривая y = f(x) и необходимо найти уравнение касательной к этой кривой в точке М0 (х0 , у0) (рис. 3.1).

Прежде всего необходимо выяснить, что мы понимаем под касательной кривой. Касательную нельзя определить как прямую, имеющей с кривой одну точку. В самом деле, прямая (1) на рис. 3.2а имеет одну общую точку с кривой (2) , но не является касательной к ней. А прямая (3) на рис. 3.2б, хотя имеет две общие точки с кривой (4), очевидно, касается ее в точке А. Поэтому для определения касательной к кривой должен быть реализован другой подход.

Дадим аргументу х0 приращение х и перейдем на кривой y = f(x) от точки М0 (х0 ; f(x0)) к точке М1(х0 +х; f(х0 +х)). Проведем секущую М0М1 (см. рис. 3.1)

Под касательной кривой y = f(x) в точке М0 естественно понимать предельное положение секущей М0М1 при приближении точки М1 к точке М0, т. е. при х.

Уравнение прямой, проходящей через точку М0 , имеет вид

y – f (x0) = k (x – x0).

Угловой коэффициент (или тангенс угла наклона) секущей kM1M0 может быть найден из М0М1N : kM0M1 = tg = (см. рис. 3.1). Тогда угловой коэффициент касательной

k = =.

2. Задача о скорости движения. Пусть вдоль некоторой прямой движется точка по закону s = s(t), где s – пройденный путь, t – время, и необходимо найти скорость точки в момент t0.

К моменту времени t0 пройденный путь равен s0 = s(t0), а к моменту (t0 + t) – путь

s0 + s = s (t0 + t) (рис.3.3).

Тогда за промежуток t средняя скорость будет vср = . Чем меньше t, тем лучше средняя скорость характеризует движение точки в момент t0.

Поэтому под скоростью точки в момент t0 естественно понимать предел средней скорости за промежуток от t0 до t0 + t , когда t 0 , т. е.

v = = .

3. Задача о производительности труда. Пусть функция u = u(t) выражает количество произведенной продукции u за время t и необходимо найти производительность труда в момент t0.

За период времени от t0 до t0 + t количество произведенной продукции изменится от значения u0 + u = u(t0 + t); тогда средняя производительность труда за этот период времени zср = . Очевидно, что производительность труда в момент t0 можно определить как предельное значение средней производительности за период времени от t0 до t0 + t при t 0, т. е.

z = .

3.2 Определение производной

Определение. Производной функции y = f(x) называется предел отношения приращения функции к приращению независимой переменной при стремлении последнего к нулю (если этот предел существует):

y’ =

Производной функции имеет несколько обозначений: y’, f’(x), , . Иногда в обозначении производной используется индекс, указывающий, по какой переменной взята производная, например, y’x .

Нахождение производной функции называется дифференцированием этой функции.

Если функция в точке х имеет конечную производную, то функция называется дифференцируемой в этой точке. Функция, дифференцируемая во всех точках промежутка Х, называется дифференцируемой на этом промежутке.

3.3 Правила дифференцирования.

1.  Производная постоянной равна нулю, т. е.

c' = 0

Правило очевидно, так как любое приращение постоянной функции у=с равно нулю.

2.  Производная аргумента равна 1, т. е.

x’=1.

В следующих правилах будем полагать, что u=u(x) и v=v(x) – дифференцируемые функции.

3.  Производная алгебраической суммы конечного числа дифференцируемых функций равна такой же сумме производных этих функций, т. е.

(u + v)’ = u’ + v’.

4.  Производная произведения двух дифференцируемых функций равна произведению производной первого сомножителя на второй плюс

произведение первого сомножителя на производную второго, т. е.

(uv)' = u'v + uv'.

Следствие 1. Постоянный множитель можно выносить за знак производной:

(cu) = cu’.

Следствие 2. Производная произведения несколько дифференцируемых функций равна сумме произведений производной каждого из сомножителей на все остальные, например:

(uvw)’ = u’vw + uv’w + uvw’.

5.  Производная частного двух дифференцируемых функций может быть найдена по формуле

(при условии, что v 0).

3.4 Экономический смысл производной.

Использование понятия производной в экономике

Рассмотрим еще одно понятие, иллюстрирующее экономический смысл производной. Издержки производства у будем рассматривать как функцию количества выпускаемой продукции х. Пусть х - прирост продукции, тогда у- приращение издержек производства и - среднее приращение издержек производства на единицу продукции. Производная у’= выражает предельные издержки производства и характеризует

приближенно на производство единицы дополнительной продукции.

Предельные издержки зависят от уровня производства (количества выпускаемой продукции) х и определяются не постоянными производственными затратами, а лишь переменными (на сырье, топливо и т. д.). Аналогичным образом могут быть определены предельная выручка, предельный доход, предельный продукт, предельная полезность, предельная производительность и другие предельные величины.

Применение дифференциального исчисления к исследованию экономических объектов и процессов на основе анализа этих предельных величин получило название предельного анализа. Предельные величины характеризуют не состояние (как суммарная или средняя величины), а процесс, изменение экономического объекта. Таким образом, производная выступает как скорость изменения некоторого экономического объекта (процесса) по времени или относительно другого исследуемого фактора. Следует, однако, что экономика не всегда позволяет использовать предельные величины в силу неделимости многих объектов экономических расчетов и прерывности (дискретности) экономических показателей во времени (например, годовых, квартальных, временных, месячных и т. д.) Вместе с тем в ряде случаев можно отвлечься от дискретности показателей и эффективно использовать предельные величины.

Рассмотрим в качестве примера соотношение между средним и предельным доходами в условиях монопольного и конкурентного рынков

Суммарный доход (выручку) от реализации продукции r можно определить как произведение цены единицы продукции р на количество продукции q, т. е. r=pq.

В условиях монополии одна или несколько фирм полностью контролирует предложение определенной продукции, а следовательно, цены на них. При этом, как правило, с увеличением цены спрос на продукцию падает. Будем полагать, что происходит по прямой, т. е. кривая спроса p(q)- есть линейная убывающая функция p=aq + b, где а 0, b .Тогда суммарный доход от реализованной продукции составит r=(aq + b)q=aq2+bq(рис. 3.4). В этом случае средний доход на единицу продукции r = =aq + b,а предельный доход, т. е. дополнительный доход от реализации единицы дополнительной продукции составит r’=2aq+ b. Следовательно, в условиях монопольного рынка с ростом количества реализованной продукции предельный доход снижается, что приводит к уменьшению (с меньшей скоростью) среднего дохода.

В условиях совершенной конкуренции, когда число участников рынка велико, и каждая фирма не способна контролировать уровень цен, устойчивая продажа товаров возможна по преобладающей рыночной цене, например, p= b. При этом суммарный доход составит r=bq и соответственно средний доход r= =b и предельный доход r’q=b(рис. 3.5). Таким образом, в условиях свободного конкурентного рынка в отличие от монопольного средний и предельный доходы совпадают.

 

Для исследования экономических процессов и решения других прикладных задач часто используется понятие эластичности функции.

Определение. Эластичностью функции называется предел отношения относительного приращения функции у к относительному приращению переменной х при 0:

Эластичность функции показывает приближенно, на сколько процентов изменится функция у=f(x) при изменении независимой переменной х на 1%.

Выясним геометрический смысл эластичности функции.

,

где tg - тангенс угла наклона касательной в точке М(х, у). Учитывая, что из треугольников МВN MN = x tg ,МС = у, а из подобия треугольников МВN и АМС , получим Е(у)= ,т. е. эластичность функции (по абсолютной величине) равна отношению расстояний по касательной от данной точки графика функции до точек ее пересечения с осями Ох и Оу. Если точки пересечения касательной к графику функции А и В находятся по одну сторону от точки М, то эластичность Ех(у) положительна(рис. 3.6(а)), если по разные стороны, то Ех(у) отрицательна(рис. 3.6(б)).

Отметим свойства эластичности функции.

1.  Эластичность функции равна произведению независимой переменной х на темп изменения функции Ту=(In y)’= ,т. е.

Ех(у)=хТу

2.  Эластичность произведения (частного) двух функций равна сумме (разности) эластичности этих функций:

Ех (uv)=Ex(u) +Ex(v),

ЕхEx(u) + Ex (v).

3.  Эластичности взаимно-обратных функций – взаимно обратные величины:

Ex(y)=

Эластичность функций применяется при анализе спроса и потребления. Например эластичность спроса у относительно цены х (или дохода х) –коэффициент, определяемый по формуле и показывающий приближенно, на сколько процентов изменится спрос( объем потребления) при изменении цены (или дохода)на 1%.

Если эластичность спроса ( по абсолютной величине) 1,то спрос считают эластичным, если 1- неэластичым относительно цены (или дохода). Если =1, то говорят о спросе с единичной эластичностью.

Выясним, например как влияет эластичность спроса относительно цены на суммарный доход r=pq при реализации продукции. Выше мы не предполагали, что кривая спроса p=p(q)- линейная функция; теперь будем полагать, что p=p(q) - произвольная функция. Найдем предельный доход

.

Учитывая, что в соответствии с формулой для эластичности взаимно-обратных функций эластичность спроса относительно цены обратно эластичности цены относительно спроса, т. е. Eq(p)= , а также то, что Ep(q) 0, получим при произвольной кривой спроса

rq‘ =

Если спрос неэластичен, т. е. 1, то в соответствии предельный доход rq‘ отрицателен при любой цене; если спрос эластичен, т. е. 1, то предельный доход rq‘ положителен. Таким образом, для неэластичного спроса изменения цены и предельного дохода происходят в одном направлении, а для эластичного спроса - в разных. Это означает, что с возрастанием цены для продукции эластичного спроса суммарный доход от реализации продукции увеличивается, а для товаров с неэластичным спросом уменьшается.

3.5Приложение производной в экономической теории

Рассмотрим некоторые примеры приложения производной в экономической теории. Как мы увидим, многие, в том числе базовые, законы теории производства и потребления, спроса и предложения оказываются прямыми следствиями математических теорем, сформулированных в данном пункте.

Вначале рассмотрим экономическую интерпретацию теоремы Ферма.

Один из базовых законов теории производства звучит так: оптимальный для производителя уровень выпуска товара определяется равенством предельных издержек и предельного дохода.

То есть уровень выпуска х0 является оптимальным для производителя, если MS(x0) = MD(x0), где MS – предельные издержки, а MD – предельный доход.

Обозначим функцию прибыли за С(х). Тогда С(х) = D(х) – S(x).

Очевидно, что оптимальным уровнем производства является тот, при котором прибыль максимальна, т. е. такое значение выпуска х0 , при котором функция С (х) имеет экстремум (максимум). По теореме Ферма в этой точке C’(x) = 0. Но C’(x) = D’(x) – S’(x), поэтому D’(x0) = S’(x0), т. е. MD(x0) =

=MS(x0).

Другое важное понятие теории производства – это уровень наиболее экономичного производства, при котором средние издержки по производству товара минимальны. Соответствующий экономический закон гласит: уровень наиболее экономичного производства определяется равенством средних и предельных издержек.

Получим это утверждение как следствие теоремы Ферма. Средние издержки AS (x) определяются как , т. е. издержки по производству товара, деленные на произведенное его количество. Минимум этой величины достигается в критической точке функции y = AS (x), т. е при условии

, откуда S’x – S = 0 или S’ = , т. е. MS(x) = AS(x).

Понятие выпуклости также находит свою интерпретацию в экономической теории.

Один из наиболее знаменитых экономических законов – закон убывающей

доходности – звучит следующим образом: с увеличением производства дополнительная продукция, полученная на каждую новую единицу ресурса (трудового, технологического и т. д.), с некоторого момента убывает.

Иными словами, величина , где х – приращение ресурса, а у – приращение выпуска продукции, уменьшается при увеличении х. Таким образом, закон убывающей доходности формулируется так: y = f(x), где выражающая зависимость выпуска продукции от вложенного ресурса, является функцией, выпуклой вверх.

Другим базисным понятием экономической теории является функция полезности U = U(x), где х – количество товара, U – полезность. Эта величина очень субъективная для общества в целом. Закон убывающей полезности звучит следующим образом: с ростом количества товара дополнительная полезность от каждой новой его единицы с некоторого момента убывает. Очевидно, этот закон можно переформулировать так: функция полезности является функцией, выпуклой вверх. В такой постановке закон убывающей полезности служит отправной точкой для математического исследования теории спроса предложения.

3.6Решение задач

Пример 1 Зависимость между издержками производства у и объемом выпускаемой продукции х выражается функцией у=50х-0,05х3(ден./ед.) определить средние и предельные издержки при объеме продукции 10 ед.

Решение. Функция средних издержек (на единицу продукции) выражается отношением уср= =50-0,05х2, при х = 10 средние издержки (на единицу продукции) равны уср=50-0,05*102=45 (ден. ед.) . Функция предельных издержек выражается производной у’(х)=50-0,15х2; при х=10 предельные издержки составят у’(10)=50- 0,15*102=35 (ден. ед.)

Итак, если средние издержки на производство единицы продукта составляют 45 ден. ед., то предельные издержки, т. е. дополнительные затраты на производство дополнительной единицы продукции при данном уровне производства(объеме выпускаемой продукции 10 ед.), составляют 35 ден. ед.

Пример 2 Зависимость между себестоимостью единицы продукции у (тыс. руб.) и выпуском продукции х (млрд. руб.) выражается функцией у=-0,5х+80. Найти эластичность себестоимости при выпуске продукции равном 60 млн. руб.

Решение. По формуле эластичность себестоимости

Ех(у)=

При х=60 Ех=60(у)=-0,6, т. е. при выпуске продукции, равном 60 млн. руб., увеличение его на 1% приведет к снижению себестоимости на 0,6%.

Пример 3 Объем продукции u, произведенный бригадой рабочих, может описан уравнением u= - +100t + 50 (ед),1,где t рабочее время в часах. Вычислить производительность труда, скорость и темп ее изменения через час после начала работы и за час до ее окончания.

Решение. Производительность труда выражается производной

Z(t)=u’(t)=- + 15t+100(ед/ч.),

А скорость и темп изменения производительности – соответственно производной z’(t) и логарифмической производной T2(t)={Inz(t)]’:

z(t) =-5t+15(ед/ч.2)

T2(t)= (ед/ч.)

В заданные моменты времени t1=1 и t2=8-1=7 соответственно имеем z(I)=112(ед/ч), z’(I)=10(ед/ч), T2(I)=0,09(ед/ч), z(7) =82,5(ед/ч),

z’(7)=-20(ед/ч), T2(7)=-0,24 (ед/ч).

Итак, к концу работы производительность труда существенно снижается; при этом изменение знака z’(t) и T2(t) с плюса на минус свидетельствует о том, что увеличение производительности труда в первые часы рабочего дня сменяется ее снижением в последние часы.

Пример 4 Опытным путем установлены функции спроса q = и предложения s=p+0,5, где q и р – количество товара, соответственно покупаемого и предлагаемого на продажу в единицу времени, р – цена товара. Найти: а) равновесную цену, т. е. цену, при которой спрос и предложение уравновешиваются; б) эластичность спроса и предложения для этой цены; в) изменение дохода при увеличении ценына 5% от равновесной.

Решение. а) Равновесная цена определяется из условия q=s:

=р+0,5 , откуда р=2, т. е. равновесная цена равна 2 ден. ед.

б) Найдём эластичности по спросу и предложению по формуле, определяющей эластичность функции:

Еp(q)= - ; Еp(s)= .

Для равновесной цены р=2 имеем Ep=2(q)= -0,3; Еp=2(s)=0,8 .

Так как полученные значения эластичностей по абсолютной величине меньше 1, то и спрос и предложение данного товара при равновесной (рыночной) цене неэластичны относительно цены. Это означает, что изменение цены не приведёт к резкому изменению спроса и предлжения. Так, при увеличении цены р на 1% спроc уменьшится на 0,3%, а предложение увеличится на 0,8%.

в) При увеличении цены р на 5% от равновесной спрос уменьшается на 5*0,3=1,5%, следовательно, доход возрастает на 3,5%.

Пример 5 Как связаны предельные и средние полные затраты предприятия, если эластичность полных затрат равна 1?

Решение. Пусть полные затраты предприятия у выражаются функцией у=f(х), где х – объём выпускаемой продукции. Тогда средние затраты уср на производство единицы продукции уср=. Найдём предельные издержки предприятия у…. По условию Еx(у)=1, т. е. учитывая формулу эластичности спроса, у'=1, откуда у’=. Итак, у’=уср, т. е. предельные издержки равны средним издержкам (заметим, что полученное утверждение справедливо только для линейных функций издержек).

Пример 6 Капитал в 1 млрд. рублей может быть размещен в банке под 50% годовых или инвестирован в производство, причем эффективность вложения ожидается в размере 100%, а издержки задаются квадратичной зависимостью. Прибыль облагается налогом в р%. При каких значениях р вложение в производство является более эффективным, нежели чистое размещение капитала в банке?

Решение. Пусть х (млрд. рублей) инвестируется в производство, а (1 – х) – размещается под проценты. Тогда размещенный капитал через год станет равным (1 – х)(1 + ) = х , а капитал, вложенный в производство: х(1 + ) = 2х. Издержки составят , т. е. прибыль от вложения в производство С = 2х - . Налоги составят (2х - ) , т. е. чистая прибыль окажется равной (1 – )(2х - ).

Общая сумма через год составит:

A(x) = х +(1 – )(2х - ) = + [2(1 – ) ] x – α(1 – ) и требуется найти максимальное значение этой функции на отрезке [0;1].

Имеем A’(x) = 2(1 – ) - 2α(1 – )x и

A’(x) = 0 при x0 = .

A”(x) = – 2α(1 – ) 0, т. е. согласно второму достаточному условию экстремума x0 – точка максимума.

Чтобы x0 принадлежало отрезку [0;1] , необходимо выполнение условия

0 2(1 – ) 2α(1 – ) , откуда р 25.

Таким образом, если р 25, то выгоднее ничего не вкладывать в производство и разместить весь капитал в банк. Если р 25, то можно показать, что при х = х0

A(x0) = + = A(0),

т. е. вложение в производство является более выгодным, чем чистое размещение под проценты.

Пример 7. Расход бензина y (л) автомобиля на 100 км пути в зависимости от скорости х (км/ч) описывается функцией у = 18 – 0,3х + 0,003. Оценить относительную погрешность вычисления расхода бензина при скорости

х = 90 км/ч, определенной с точностью до 5%.

Решение. Найдем эластичность функции (по абсолютной величине)

= . При х = 90 = 1,41 и по формуле (относительная погрешность) =1,41*57,1%.

Заключение

Настоящая работа даёт учащимся новый подход к многим преобразованиям в математике, которые стандартным путём трудно разрешимы или разрешимы, но громоздкими способами. Рассмотренные подходы нестандартного характера для учащихся покажутся новыми и необыкновенными, что расширит их кругозор и повысит интерес к производной.

Экономический смысл производной: производная выступает как интенсивность изменения некоторого экономического объекта (процесса) по времени или относительно другого исследуемого фактора.

Производная является важнейшим инструментом экономического анализа, позволяющим углубить геометрический и математический смысл экономических понятий, а также выразить ряд экономических законов с помощью математических формул.

Наиболее актуально использование производной в предельном анализе, то есть при исследовании предельных величин (предельные издержки, предельная выручка, предельная производительность труда или других факторов производства и т. д.).

Производная применяется в экономической теории. Многие, в том числе базовые, законы теории производства и потребления, спроса и предложения оказываются прямыми следствиями математических теорем

Знание производной позволяет решать многочисленные задачи по экономической теории намного легче.

Отзыв на работу по теме «Применение производной к решению экономических задач» учениц 10 «Б» класса Морозовой Татьяны и Куришбековой Даны

Работа интересна тем, что учащиеся отошли от стандартных задач использования производных при нахождении скорости ускорения функций и углового коэффициента касатательной графиков функции, а рассмотрели использование производной, при решении экономических задач, что, как правило, не рассматривается в средней школе.

При выполнении данной работы глубже было изучено понятие производной и ее использования в прикладных задачах. Особенный интерес представляют задачи, использовавшие данные при выполнении программы «Дорожная карта» по нашей гимназии. Решая эту задачу, ученицы самостоятельно нашли несколько параметров, таких как заработная плата рабочих, сроки выполнения работы, производительность труда, объем работы. Решение этой задачи находится в стадии изучения.

При выполнении этой задачи можно проверить результаты выполнения программы «Дорожная карта» по нашей гимназии и ее эффективность.

Абляева

Список используемой литературы

1. Высшая математика для экономистов: учебник для студентов вузов, обучающихся по экономическим специальностям/[ и др.]; под ред. проф. . – 3 – е изд. – М.: ЮНИТИ – ДАНА, 2006. – 479 с. – (Серия «Золотой фонд российских учебников»)

2. , , Савельева высшей математики для экономических вузов. М.: Высшая математика, 1982, Ч. 1,

3. Колесников курс математики для экономистов: Учебное пособие. М.: ИНФРА-М, 1999.

4. , Плясунов в экономике. М.: ВИТА-ПРЕСС, 1996.

5., , Шевченко задач по высшей математике. 1 курс. – М.: Рольф, 2001.

6.Сборник задач по высшей математике для экономистов: Учебное пособие/ Под ред. . – М.: ИНФРА-М, 2001

7.Четыркин математика: Учеб.- М.:Дело,2000