Задание 3

Задание 3.

Дать геометрическое описание множества точек комплексной плоскости, удовлетворяющих условию.

Решение:

– действительная часть числа.

Изображением множество точек комплексной плоскости, удовлетворяющих условию, являются две пересекающихся прямых

Задание 4.

Представить комплексные числа в тригонометрической форме.

Решение: Изобразим данные числа на комплексной плоскости.

Любое комплексное число можно представить в виде:

где – модуль комплексного числа z (обозначают ),

– аргумент комплексного числа z (обозначают ).

Представим комплексное число в тригонометрической форме.

Имеем

Представим в тригонометрической форме.

Имеем

.

Задание 5.

Для комплексных чисел найти

Решение:

Задание 6. Для комплексного числа найти

Решение:

Согласно формуле Муавра степень комплексного числа z равна

Используем запись комплексного числа в тригонометрической форме

Подставим эти значения в формулу Муавра, получим

Задание 7.

Найти корни многочлена на множестве комплексных чисел.

Решение: Перепишем многочлен 2-й степени в виде. и найдем его корни.

Многочлен можно представить в виде разложения на множители:

Задание 8.

Найти корни многочлена на множестве комплексных чисел и разложить многочлен на множители.

Решение. Представим 1-е слагаемое многочлена в виде суммы и выполним группировку слагаемых.

Остается найти нули многочлена . Многочлен обращается в ноль, если хотя бы один их его сомножитель равен нулю.

Имеем

- нули многочлена.

Задание 9. Составить многочлен с действительными коэффициентами четвертой степени, если - два его корня.

Решение. Если многочлен с действительными коэффициентами иметь комплексный корень, то он обязательно имеет корень, комплексно сопряженный, данному. То есть комплексные корни такого многочлена обязательно имеют комплексно сопряженную пару. Таким образом, можно утверждать, что данный многочлен 4-й степени имеет следующие корни: .

Запишем многочлен в виде разложения его на множители.

Раскроем скобки и приведем подобные.

Ответ: