Номера задач

Номера задач

101, 121, 221, 251, 301, 361, 401, 441

Задача 101. Легковой автомобиль длиной l1 = 4,5 м, движущийся со скоростью v1 = 90 км/ч, обгоняет авто-поезд длиной l2 = 15 м, движущийся со скоростью v2 = 60 км/ч. Определить длину участка обгона L, т. е. расстояние между точкой, в которой передний бампер автомобиля поравняется с задним бампером автопоезда, и точкой, в которой задний бампер автомобиля поравняется с передним бампером автопоезда. Как изменится L, если скорость автомобиля уменьшится до км/ч?

Дано:

l1 = 4,5 м = 0,0045 км,

v1 = 90 км/ч,

l2 = 15 м = 0,015 км,

v2 = 60 км/ч.

Определить:

L – длину участка обгона,

и L1 – длину участка обгона при км/ч?

Решение:

Пусть искомое время обгона равно t; расстояние, которое автомобиль преодолевает за это время t равно L + l1, расстояние, которое авто-поезд преодолевает за это время t равно L – l2,

При равномерном движении этих автомобилей можно записать.

V1t = L + l1

V2t = L – l2

t =	L + l1			t =	L – l2
V1			V2

Приравниваем время t и получаем

L + l1	=	L – l2
V1	V2

В результате преобразований получаем.

(L – l2) V1 = (L + l1) V2

V1L– V1l2 = V2L + V2l1

V1L – V2L = V1l2 + V2l1

L(V1 – V2) = V1l2 + V2l1

L =	V1l2 + V2l1
V1 – V2

L =	90×0,015 + 60×0,0045	=	1,35 + 0,27	=	1,62	= 0,054 км
90 – 60	30	30

Длина участка обгона L = 0,054 км = 54 м

Рассмотрим случай когда V/1 = 75 км/ч

Расчетная формула остается такая же что и в предыдущем случае

L1 =	75×0,015 + 60×0,0045	=	1,125 + 0,27	=	1,395	= 0,093 км
75 – 60	15	15

Длина участка обгона L = 0,093 км = 93 м

Ответ:

Для первого случая длина участка обгона L = 54 м

Для второго случая длина обгона с уменьшением скорости автомобиля увеличится до 93 метров.

Задача 121. В "рельсотроне", или электромагнитной пушке, снаряд разгоняется магнитным полем. Какова должна быть длина разгонного участка "рельсотрона", чтобы снаряд за t = 0,01 с разгонялся до скорости v = 8 км/с? Считая силу магнитного воздействия на снаряд постоянной, определить, во сколько раз она превышает вес снаряда на поверхности Земли.

Дано:

t = 0,01 с

v = 8 км/с

Решение:

Решаем задачу относительно неподвижной системы отчета – земли. Снаряд разгоняется равноускоренно. Значит а – const.

Для равноускоренного движения запишем следующие соотношения.

1. v = vо + аt

2. S = vо + аt2/2

Так как vо = 0 Запишем для первого уравнения.

v = аt. Из данного соотношения определим величину ускорения а.

а = v/t = v/t = 8/0,01= 800 км/с2

Из второго уравнения определим длину разгонного участка S.

S = аt2/2 = 800 × 0,012/2 = 800 × 0,012/2 = 0,04 км = 40 м

Для определения силу магнитного воздействия и веса в конце разгона применим следующие формулы.

Второй закон Ньютона перед началом разгона.

F1 = mg

Но второй закон Ньютона имеет и другую формулировку.

Изменение импульса тела равно импульсу силы действующего на него.

Математически записывается следующим образом

Перепишем полученные соотношения через массу m

m =	F1			m =	F2t
g			V2 – V0

Приравняем правые части уравнений

F1	=	F2t
g	V2 – V0

Преобразуем данное равенство

F1	=	g t
F2	V2 – V0

В полученное равенство подставим числовые значения

F1	=	g t	=	9,81× 0,01	=	0,0981
F2	V2 – V0	8000 – 0	8000

Данные значения в правой части разделим на 0,0981 и получим

F1	=	0,0981	=	1
F2	8000	81549,44

Ответ: вес снаряда на поверхности Земли был в 81549,44 раз меньше чем в конце разгона.

Задача 221. Баллон объемом V = 20 л заполнен азотом при температуре t° = 27 °С. Когда часть газа израсходовали, давление в баллоне снизилось на DP = 50 кПа. Определить массу израсходованного азота при изотермическом процессе.

Дано:

V = 20 л

t° = 27 °С.

DP = 50 кПа.

Определить:

∆m – массу израсходованного азота при T – const

Решение:

Согласно уравнению Менделеева-Клайперона для первого состояния можно записать

Р1V1	=	m1	R
T	μ

для второго состояния можно записать

Р2V2	=	m2	R
T	μ

Запишем разницу давлений

DP = Р1 – Р2 =	(m1– m2)	RT	=	D m	RT
μ	V		μ	V

Существует соотношение

D m	=	N
μ	NA

где:

N – количество потерянных молекул

NA – число Авогадро NA = 6,02*1023 моль–1

Подставив данное значение получаем следующее соотношение

DP =	N	RT	=	NkT
NA	V		V

где:

k – постоянная Больцмана k = 1,38*10–23 Дж/К

Преобразуем данное уравнение

N =	DPV
kT

Из данного соотношения, подставив численные значения определим количество потерянных молекул.

N =	DPV	=	50×20	=	1000	= 2,9439*1023
kT	1,38*10–23×246,15	349,347*10–23

Зная количество потерянных молекул N определим массу израсходованного азота при изотермическом процессе для этого подставим с существующее соотношение

Dm	=	μ N
NA

где:

μ – молярная масса азота μ 0,028 кг/моль

Dm =	μ N	=	0,028×2,9439*1023	= 0,01369*10–4 кг
NA	6,02*1023

Задача 251. Найти силу электростатического притяжения между ядром атома водорода и электроном. Радиус атома водорода 0,5·10-8 см, заряд ядра численно равен и противоположен по знаку заряду электрона. Сравнить эту силу с их силой гравитационного взаимодействия.

Дано:

r – радиус атома водорода r = 0,5*10–8 см = 0,5*10–10 м

q1 и q2 – электрические заряды тел. q1 = [ q2] = 1,6*10–19 Кл

ε – относительная диэлектрическая проницаемость среды. Так как в условии задачи не указано в какой среде находятся заряды считаем, что эти заряды находятся в воздухе. ε = 1

ε0 – электрическая постоянная. ε0 = 8,85*10–12 Ф/м

По закону Кулона сила электростатического взаимодействия между двумя заряженными телами, размеры которых малы по сравнению с расстоянием r между ними, определяется формулой

F =	q1q2
4πε0εr2

Подставим числовые значения в данную формулу.

F =	1,6*10–19 × 1,6*10–19	= 92,3 *10–19 Н
4×3,14159*×8,85*10–12×1×(0,5*10–10)2

Определим силу гравитационного взаимодействия применяя закон всемирного тяготения.

F = G	mаmе
r2

где:

mа – масса ядра атома водорода.

Ядро атома водорода состоит из одного протона и одного нейтрона

mН – масса покоя нейтрона mН = 1,6749543*10–27 кг

mП – масса покоя протона mП = 1,6726485*10–27 кг

mа = (mН + mП) = (1,6749543*10–27 + 1,6726485*10–27) = 3,3476028*10–27 кг

mе – масса покоя электрона mе = 9,109534*10–31 кг

G – гравитационная постоянная G = 6,72*10–11 Нм2/кг2

Подставим числовые значения в данную формулу.

F = 6,72*10–11	3,3476028*10–27 × 9,109534*10–31	= 819,7 *10–49 Н
(0,5*10–10)2

Как видно из приведенных расчетов сила гравитационного взаимодействия во много десятков раз меньше силы электростатического взаимодействия.

Задача 301. По контуру в виде равностороннего треугольника течет ток силой 50 А. Сторона треугольника равна 20 см. Определить магнитную индукцию В в точке пересечения высот.

Дано:

а – 20 см = 0,2 м

I = 50A

Определить:

В – Магнитную индукцию

Решение: Для определения магнитной индукции необходимо решение пояснить рисунком.

Рамку можно условно разбить на три проводника длиной 0,2 м. Каждый из которых создаёт магнитное поле напряженностью Н. А/м

Н0 =	I	(cos300 – cos 1500)
4πа

Н0 =	50	(0.866 – (– 0.866) =	50	×1,732 = 4,353
4×3,14159×0,2	2,513274

Напряженность магнитного поля и магнитная индукция находится в следующем соотношении.

В1 = μ0μН

μ0 – магнитная постоянная μ0 = 12,566*10*10–7 Гн/м

В1 = 12,566*10*10–7×1,0×4,353 = 5,47*10–6 Тл

В = 3 В1 = 3 × 5,47*10–6 = 16,41*10–6 Тл

Задача 361. Число витков в соленоиде N = 800, его длина l = 20 см, а поперечное сечение равно S = 4 см2. При какой скорости изменения силы тока в соленоиде индуцируется ЭДС самоиндукции, равная 0,4 В?

Дано:

N = 800

l = 20 см = 0,2 м

S = 4 см2 = 0,0004 м2

ЕS = 0,4 В

Решение:

Самоиндукция это частный случай явления электромагнитной индукции

Явление самоиндукции заключается в возникновении ЭДС индукции в проводящем контуре при изменении силы тока в нем или индуктивности контура.

Электрический ток, идущий в контуре, создает собственный магнитный поток через поверхность, ограниченную контуром.

Этот поток Ф пропорционален силе тока в контуре

Ф = LI

где:

L – индуктивность контура

При изменении собственного магнитного потока в контуре, согласно закону электромагнитной индукции, возникает ЭДС самоиндукции.

ЕS =	– ∆Ф
∆t

Как видно из приведенной формулы, что собственный магнитный поток Ф изменяется, если изменяется сила тока I или индуктивность L

В случае если L=const, а изменяется только сила тока то ЭДС самоиндукции

ЕS =	– L ∆I
∆t

где:

∆I/∆t – скорость изменения силы тока

Определим индуктивность соленоида. Для этого применим следующую формулу.

L = μ0μ	N 2S
l

где:

μ0 – магнитная постоянная μ0 = 12,566*10*10–7 Гн/м

L =	12,566*10*10–7 ×	8002×0,0004	= – 0,001608*10–3 Гн
0,2

Зная индуктивность соленоида определим скорость изменения силы тока.

∆I	=	ЕS	=	0,4	= – 248,69 А/с
∆t	–L	–0,001608*10–3

Задача 401. Световая волна, частота которой равна n=5×1014 Гц, переходит из вакуума в диамагнитную среду с диэлектрической проницаемостью e = 2. Какова будет длина волны и скорость света в этой среде? Укажите цветовую окраску для данного диапазона световых волн.

Дано:

n = 5×1014 Гц

e = 2

μ = 1

Решение:

Существует соотношение связывающее длину волны со скоростью распространения.

λ =	с
ν

где:

λ – длина электромагнитной волны.

с – скорость света (скорость распространения света в вакууме)

ν – частота распространения электромагнитной волны

λ =	с
ν

Скорость распространения в других средах определяется следующими соотношениями.

λ =	υ
ν

где:

υ – скорость распространения света в среде.

Применим следующие соотношения

λ =	υ	=	с	=		c
ν	nν	√e μ	ν

Подставим числовые значения

λ =		2,9979*108	= 4,2397*10–7 м
√2×1	5×1014

Цветовая окраска для данного диапазона световых волн будет иметь фиолетовый цвет, так как данный цвет имеет длину волны 380—440 нанометров.

Задача 441. Протон движется со скоростью равной 99,99975% от скорости света в вакууме. С какой точностью может быть определена координата протона?

Дано:

mП – масса покоя протона mП = 1,6726485*10–27 кг

n = 1

∆vПР = с*0,9999975

Определить:

∆х

Решение:

Применяя соотношение неопределенности для движущейся частицы можно записать

mυr = nħ

где:

ħ – постоянная Планка ħ = 1,05*10–27 Дж×с

так как n = 1 запишем mυr = ħ

откуда определим

υ = ħ/mr

∆vПР = с*0,9999975

ħ = h/2π

∆х∆p ≥ h

∆хm∆vПР = h

∆х = h/m∆vПР

Подставив числовые значения получаем

∆х = h/m∆vПР = 6,63*10–27 /1,6726485*10–27×0,9999975 × 2,9979*108 = 1,322*10–8 м