Классический метод расчета переходных процессов. Метод переменных состояний. Порядок схемы. Устойчивость

48.Классический метод расчета переходных процессов. Метод переменных состояний. Порядок схемы. Устойчивость.

Классический метод расчета переходных процессов

В основе классического метода расчета переходных процессов в электрических цепях лежит составление интегрально-дифферен­циальных уравнений для мгновенных значений токов и напряже­ний. Эти уравнения составляются на основе законов Кирхгофа, методов контурных токов, узловых напряжений и могут содержать как независимые, так и зависимые переменные. Для удобства ре­шения обычно принято составлять дифференциальные уравнения относительно независимой переменной, в качестве которой может служить iL или иC. Решение полученных дифференциальных уравнений относительно выбранной переменной и составляет сущ­ность классического метода.

Учитывая, что в ряде случаев решение дифференциальных уравнений проще интегрально-дифференциальных, полученную си­стему сводят к одному дифференциальному уравнению соответст­вующего порядка относительно выбранной независимой перемен­ной iL или иCПорядок дифференциального уравнения определяется

числом независимых накопителей энергии электрического и магнитного полей.

Обозначим независимую переменную (iL или uC) через х = x(t).

Дифференциальное уравнение т-го порядка, описывающее пе­реходный процесс в электрической цепи, находящейся под воздей­ствием источника w(t), описывается уравнением:

(6.3)

Где b0,b1…,bm-1,bm — коэффициенты параметров цепи; w(t) — функция, описывающая характер воздействия на цепь.

Цепь, параметры которой b0,b1…,bm-1,bm — неизменны, называют цепью с постоянными параметрами. Если же какой-либо из коэффициентов b0,b1…,bm-1,bm — переменен, то цепь назы­вают параметрической. В дальнейшем будем рассматривать цепи с постоянными параметрами.

Дифференциальное уравнение (6.3) относится к линейным не однородным уравнениям m-го порядка. Как известно, его решение находится как сумма общего решения xсв однородного дифферен­циального уравнения m-го порядка:

(6.4)

И частного решения xпр уравнения (6.3)

(6.5)

де хсв и хпр — общее и частное решения. Общее решение хсв оп­ределяет свободные процессы, которые протекают в цепи без уча­стия источника w(t) (отсюда индекс «св»). Частное решение хпр определяет принудительный процесс (отсюда индекс «пр»), кото­рый протекает в цепи под влиянием w(t). В теории цепей хпр обычно находят одним из ранее рассмотренных методов расчета цепей в установившемся режиме.

Свободная составляющая переходного процесса хсв будет за­висеть от характера корней характеристического уравнения:

(6.6)

В случае, когда корни p1,p2,…,pm характеристического урав­нения (6.6) вещественные и различные, решение (6.4) имеет вид

(6.7)

где А1, А2,…,, Ат — постоянные интегрирования, которые нахо­дятся из начальных условий.

В случае, когда корни уравнения (6.6) вещественные и равные, т. е. p1 = р2 = ...= pm = р, свободная составляющая определяется уравнением

(6.8)

Представляет практический интерес и случай, когда корни по­парно комплексно-сопряженные

. При этом в формуле (6.7) соответствующая пара корней заменяется сла­гаемыми вида

Где A, Ө — постоянные интегрирования, определяемые также из начальных условий.

Метод переменных состояния

В настоящее время для анализа переходных процессов в це­пях широкое применение находит метод переменных состояния, позволяющий при расчетах эффективно использовать ЭВМ. Суть метода заключается в том, что переходный процесс в цепи рассматривается как траектория в m-мерном пространстве (где т — порядок цепи) с начальной точкой при t = 0 (начальное состояние) и конечной при t=∞. Например, переходный про­цесс в последовательном RLC-контуре (см. § 6.4, апериодиче­ский разряд и рис. 6.12) можно в пространстве состояний пред­ставить кривой, изображенной па рис. 6.19, где iL(0) = 0 и uc(0) = U характеризуют начальное состояние цепи, a iL(t) и uc(t) определяют состояние цепи в любой заданный момент времени. Достоинства этого метода — наглядность, простота, удобство программирования на ЭВМ, возможность анализа как линейных, так и нелинейных цепей, а также цепей с перемен­ными параметрами.

Поясним сущность данного метода на примере цепи, находя­щейся при ненулевых начальных условиях: iL(0) = i0, uc(0) = uo (рис. 6.20). Для этой цепи при t ≥ 0 молено записать:

или

(6.92)

Уравнения (6.92) называются уравнениями состояния цепи, a iL и uc - переменными состояния. Начальные условия iL(0) = i0 и ис(0)=u0 определяют с помощью (6.92) состояния цепи в любой момент t≥ 0. Величины iL и uC можно считать компонентами век­тора состояния х:

Тогда (6.92) можно переписать в матричной форме:

(6.93)

где

В случае, если цепь находится после коммутации под воздейст­вием источников, уравнение состояния принимает вид

x(t) = Ax(t) + Bw(t), (6.94)

где w(t) — вектор воздействий источников; В — матрица парамет­ров цепи.

Например, для случая включения RLC-контура на постоянное напряжение уравнение состояния имеет вид (6.94), где

Зная состояние цепи x(t), реакцию цепи y(t) (токи и напряже­ния в любой ветви) можно найти как линейную комбинацию век­торов состояния x(t) и входных воздействий w(t):

y(t) = Cx(t) + Dw(t), (6.95)

где y(t) — вектор искомых реакций цепи; С, D — матрицы, зави­сящие только от параметров цепи. Уравнение (6.95) называют уравнением реакции цепи.

Так, если в качестве компонентов вектора y(t) в предыдущем примере RLC-контура взять uR и uL искомые реакции цепи (uR и uL) определяются согласно системе уравнений:

которую можно переписать в форме (6.95), где

Следует подчеркнуть, что уравнения (6.93) —(6.95) справедли­вы для линейных цепей с постоянными параметрами (матрицы А. В. С, D не зависят от t). Для цепей с переменными параметрами (параметрические цепи) матрицы A(t), B(t), C(t), D(t) являются функциями времени.

Уравнения (6.94), (6.95) .— основные в методе переменных со­стояний. Для решения уравнений состояния могут использоваться как аналитические, так и численные методы. Аналитически урав­нение (6.94) может быть решено в области как действительного переменного t, так и комплексного переменного р (см. § 7.3). Рассмотрим некоторые основные методы решения уравнения со­стояния.

Метод матричных экспонент. Решение этим методом ищут в форме

(6.96)

где eAt— матричная экспонента (матрица перехода). Из (6.96) следует, что решение уравнения состояния содержит два слагае­мых: первое — реакция цепи при нулевом входном сигнале; вто­рое—реакция цепи при нулевом начальном состоянии.

Для вычисления eAt обычно используют разложение

(6.97)

Метод Рунге—Кутта - метод численного решения уравнения состояния (6.94), при котором интервал 0...t разбивается на т ма­лых участков ∆t = h, на каждом из которых значение переменной х определяется с помощью линейной комбинации некоторых вспо­могательных функций ki(h) с постоянными коэффициентами. В зависимости от способа выбора коэффициентов и требуемой точ­ности решения существуют различные модификации алгоритмов Рунге—Кутта.

Проиллюстрируем суть метода Рунге-Кутта на примере ска­лярного уравнения состояния]

(6.102)

Наиболее распространенный алгоритм Рунге-Кутта имеет вид

(6.103)

При этом порядок погрешности составляет h5.

Разностные методы. Существенным недостатком метода Рунге —Кутта является то, что для получения каждого значения реше­ния x необходимо вычислять правую часть уравнения (6.94) в не­скольких точках (для алгоритма (6.103) — в четырех точках). Это приводит к большому объему вычислений, особенно для сложной правой части. Применение разностных методов позволяет сущест­венно сократить объем вычислений и затраты машинного времени, так как на каждом шаге правая часть вычисляется только один раз.

В основе разностных методов лежит использование различных интерполяционных алгебраических многочленов (многочлены Нью­тона, Стирлинга, Эрмита и др.). При этом решение х на (п + 1) шаге определяется алгоритмом

(6.105)

где h — шаг; βi — постоянные коэффициенты; fk — значение ал­гебраического многочлена в точке k. Как следует из (6.105) для оп­ределения решения xk+j; необходимо знать значения х1, х2, ..., xj — они находятся обычно либо аналитически, либо методом Рунге —Кутта.