Задания

1.  Изобразить на комплексной плоскости множество всех точек z, удовлетворяющих условию:

а);

Решение. Все точки окружности с центром в точке и радиусом .

Каждому комплексному числу ставится в соответствие точка координатной плоскости, где -координаты конца радиус-вектора, скажем . Модулем числа называют длину вектора . Как известно из аналитической геометрии, расстояние между двумя точками, находят по формуле или . Если начало радиус- вектора лежит в точке О(0;0), то формула примет вид . Но эта формула и выражает модуль комплексного числа . Исходя из этого определения, рассмотрим заданную задачу: , где Re-действительная часть комплексного числа. Значит, мнимая часть равна 0. Тогда можно записать наше комплексное число в такой форме: . Найдем модуль заданного комплексного числа . Тогда, если можно записать, что действительная часть имеет вид . То есть, начало радиус-вектора лежит в точке, скажем , а конец радиус-вектора описывает окружность радиуса 1. Ведь, если подставить в уравнение данные, мы получим . Возведем в квадрат обе части уравнения, получим . А это не что иное, как уравнение окружности в точке с радиусом 1.

б).

Решение. Область между лучами круга с центром в точке и радиусом .

В этом задании, комплексное число имеет вид . Как вы уже поняли(надеюсь), радиус - вектор описывает окружность, в данном случае центр окружности расположен в точке (1;1), и, по условию задачи, нас удовлетворяют все точки окружности, которые в кругу. И еще наложено условие , где -аргумент комплексного числа, то есть угол между радиус-вектором и положительным направлением оси абсцисс. Поскольку у нас наложено условие , то угол берем как положительный, так и отрицательный, то есть и все точки внутри лучей, образующих этот угол.

2.  Где расположены точки , для которых ?

Решение. Точки расположены на окружности радиуса и с центром в точке .

Надеюсь, в этом задании уже все понятно! Модуль равен 1 (), действительная часть 1, мнимая 2. Имеем окружность, смещенную центром в точку (1;2), радиусом 1. И, поскольку , то все точки на окружности. Если -в окружности, то есть круг, если -поза кругом, если -только сама окружность.