Тема урока: «Исследование квадратичной функции»

Тема урока: «Исследование квадратичной функции».

Формы организации урока: индивидуальная, фронтальная, групповая.

Цели урока:

образовательные:

*повторить, обобщить, углубить приобретённые знания по теме «Квадратичная функция и её график»;

*совершенствовать умения уч-ся применять имеющиеся знания в изменённой ситуации;

*учить учащихся выполнять исследовательскую работу.

развивающие:

*формировать логическое мышление, внимание;

*развивать общий и математический кругозор;

*развивать интуицию, догадку, умение анализировать.

воспитательные:

*формировать устойчивый интерес к предмету;

*вырабатывать умение слушать ответы учащихся и учителя;

*вырабатывать навыки самостоятельной работы, навыки работы в группе;

*воспитывать у учащихся чувство ответственности перед товарищами, взаимопомощи;

*воспитывать культуру поведения;

*здоровьесберегающие:

*увеличить двигательную активность учащихся;

*снять напряжение с органов зрения.

Оборудование: мультимедийный проектор, дидактические карточки-задания, фломастеры, чистые листы А-4.

Ход урока.

1.Организационный этап

Учитель: Ребята! Вы научились решать квадратные неравенства графическим способом. Сегодня на уроке мы с вами узнаем, какая существует зависимость между старшим коэффициентом квадратного трёхчлена, знаком дискриминанта и знаком квадратичной функции.

2 этап. Систематизация теоретического материала

Учащиеся разделены на группы

Учитель: Начнём с устной работы.

На доске изображены графики квадратичной функции.

Вопросы учителя Ответы учащихся

1. Графики какой функции Квадратичная функция

изображены?

2. Дайте определение Функция у = ах² + вх + с, где а, в, с – заданные

квадратичной функции действительные числа, а ≠ 0, х – действительная

переменная, называется квадратичной функцией.

3. Как зависит расположение Если а > 0, ветви направлены вверх;

параболы от коэффициента а? если а < 0, ветви направлены вниз.

4. Как будет располагаться Парабола имеет 2 точки пересечения с осью Ох.

парабола, если дискриминант Д>0?

5. Если Д < 0? Парабола не имеет точек пересечения с осью абсцисс.

6. Если Д = 0? Парабола касается оси абсцисс.

7. Укажите, какие из парабол

иллюстрируют случаи

а) а < 0 № 3, № 5, № 6

б) как расположен график, Если в = 0, то вершина находится

если в = 0? Назовите такую на оси Оу.

параболу. № 7

в) Д = 0 № 4, № 5

г) Д > 0 № 2, № 3, № 8

8. Какие из функций не принимают № 1, № 4, №7

отрицательных значений?

3этап. Этап исследовательской работы

Учитель: Подписали в тетрадях дату, классную работу. Тема урока «Исследование квадратичной функции». На уроках мы с вами строили много парабол. От чего зависит

расположение параболы на координатной плоскости?

Ответ: От знака коэффициента а и знака дискриминанта Д.

Задача: Найти условия, при которых квадратичная функция у = ах² + вх

+ с, где а, в, с – заданные действительные числа, а ≠ 0,

х – действительная переменная принимает положительные

значения, когда отрицательные значения, когда значения,

равные 0.

Проблема: Научиться выяснять знак квадратичной функции, не строя

ее график.

Выдвижение гипотез.

Учитель: Как вы думаете, от чего будет зависеть знак квадратичной функции, то есть когда квадратичная функция принимает положительные значения, когда отрицательные значения, когда значения, равные 0. Ваши предположения.

Ответы учащихся: Знак квадратичной функции будет зависеть от знака

коэффициента а и знака дискриминанта Д.

Учитель: Какие случаи нам придётся рассмотреть?

Свои варианты выдвигает каждая группа.

Ответ: Д > 0 а > 0 Д < 0 а > 0 Д = 0 а > 0

Д > 0 а < 0 Д < 0 а < 0 Д = 0 а < 0

Учитель: Эти случаи можно объединить в 3 группы по знаку дискриминанта. Сегодня мы рассмотрим случаи, когда Д < 0.

Вы будете работать по группам. На ваших столах лежат вопросы, которые помогут в вашем исследовании. В результате вы должны будете ответить, как же знак квадратичной функции зависит от коэффициента а в случае, когда Д < 0. Ответы на все вопросы записывайте в тетради. Эскизы изображайте на приготовленных листах.

Сбор фактического материала

Вопрос 1. Есть ли точки пересечения графика функции с осью Ох при Д < 0?

Если есть, то сколько их?

Ответ: Точек пересечения с осью Ох нет.

Вопрос 2. Изобразите возможные эскизы графиков квадратичной функции

при Д < 0.

Эскизы вывешиваются на доске.

Учитель: 1) Покажите параболы, которые иллюстрируют случаи а > 0, Д < 0.

2) каким условиям соответствуют остальные эскизы?

Ответ: а < 0, Д < 0

Учитель: Продолжайте своё исследование.

Вопрос 3. Выясните, какой знак имеет любая из функций при а > 0.

Ответ: при а > 0 у > 0

Вопрос 4. Выясните, какой знак имеет любая из функций при а < 0.

Ответ: при а < () у < 0

Вопрос 5. Сделайте вывод о том, как зависит знак квадратичной функции от

коэффициента а в случае Д < 0.

Ответ: при Д < 0 при всех действительных х знак квадратичной функции

совпадает со знаком коэффициента а.

Проверка гипотез.

Учитель: Давайте попробуем применить в решении задач то, что мы сегодня узнали.

№1. Выясните, какой знак имеет функция у = - Зх² + х - 2. С чего начнем решение?

Ответ: а = - 3, а < 0. Надо найти дискриминант.

Д = = 1 – 24 = - 23 , Д < 0

Учитель: Какой вывод можно сделать?

Ответ: Д < 0, а < 0, значит у < 0 при всех действительных значениях х.

Доказательство (опровержение) гипотезы:

У учителя заранее построен график данной функции.

Учащиеся по графику выясняют, какой знак имеет функция у = - Зх² + х – 2, сверяют получившиеся ответы и убеждаются, что можно выяснить знак квадратичной функции без графика.

Учитель: В чем помогло нам сегодняшнее исследование?

Ответ: Мы выяснили знак квадратичной функции без графика, а до этого нам приходилось обязательно строить график.

4 этап. Решение задач.

№ 000(3 ) стр 191. (уч. Алимова, 8 класс)

2х2 - 3х + 5 0

2х2 - 3х + 5 = 0

Д = 9 - 4∙2∙5 = 9 – 40 = - 31

Д < 0, а = 2, а > 0, значит у 0 при всех действительных х.

Ответ: (- ).

№ 2. Докажите, что функция у = (х-4) (х-6) + 3 при любых значениях х принимает только положительные значения.

у = (х-4)(х-6)+3

у = х²- 4х - 6х + 24 + 3

у = х² - 10х + 27

Д = ∙ 27 = 100 – 108 = - 8 < 0

а = 1, а > 0, значит у > 0.

Ответ: так как а > 0, Д < 0, то у > 0.

5. Домашнее задание: № 1 , № 000 (1, 2).

6. Итог урока.

Учитель: Сегодня на уроке мы исследовали знак квадратичной функции в случае, когда Д < 0. На следующих уроках мы рассмотрим случаи, когда Д > 0, Д = 0.

Спасибо за урок!

Решение домашнего задания:

№1. Доказать, что функция у = - 2х² + 4х - 3 принимает только

отрицательные значения.

Д =) = 16 – 24 = - 8 < О у < О

№ 000 1) х2 - 3х + 8 > 0

Д = 9 – 48 = 9 – 32 = - 23 < 0

а = 1, 1 >0, у >0

Ответ: (-).

2) х² - 5х + 10 < 0

Д =∙ 1 0 = 25 – 40 = - 15 < 0

а = 1, 1 > 0, у >0.

Ответ: Решений нет.