Наименование дисциплины: Теория нормальных форм
Направление подготовки: 010400 Прикладная математика и информатика
Профиль подготовки: Математическое моделирование и вычислительная математика
Квалификация (степень) выпускника: бакалавр
Форма обучения: очная
Автор: к. ф-м. н., ст. преподаватель кафедры дифференциальных уравнений
1. Целью освоения дисциплины специализации «Теория нормальных форм» является знакомство с основными положениями метода нормальных (и квазинормальных) форм, широко используемого при исследовании динамических систем, в частности, моделей физических, механических, экономических, биологических и других систем. Аппарат метода нормальных форм, позволяющий успешно решать задачи локального анализа динамических систем, является важным инструментом современной нелинейной динамики. Знание такого инструментария отличает хорошего специалиста-математика.
2. Курс входит в круг дисциплин специализации и является неотъемлемым этапом подготовки хорошо образованного специалиста.
Для изучения и освоения дисциплины требуются первоначальные знания из курсов математического анализа, линейной алгебры, обыкновенных дифференциальных уравнений, уравнений математической физики.
Знания и умения, приобретенные студентами в результате изучения курса, могут использоваться при выполнении курсовых и дипломных работ, связанных с математическим моделированием и дифференциальными уравнениями, при исследовании моделей различных систем.
3. В результате освоения дисциплины обучающийся должен:
Знать:
основные положения курса дифференциальных уравнений, принципы построения нормальных форм
Уметь:
решать обыкновенные дифференциальные уравнения, простейшие задачи на устойчивость, определять бифуркационные значения параметров и типы бифуркаций.
Владеть:
аппаратом метода нормальных форм и тех математических дисциплин, на которых он основан.
4. Общая трудоемкость дисциплины составляет 2 зачетные единицы, 72 часа.
5. Содержание дисциплины:
№ п/п | Раздел дисциплины |
1 | Введение в предмет курса. Понятие динамической системы. Бифуркации динамических систем. Определение динамической системы. Фазовое пространство и пространство параметров. Грубые и негрубые динамические системы. Бифуркационное значение параметра и бифуркация. Коразмерность бифуркации. Бифуркационная диаграмма. |
2 | Изучение бифуркаций. Обзор бифуркаций коразмерности один. Примеры исследования динамических систем с точки зрения бифуркационного анализа. Простейшие бифуркации в системе Лоренца. |
3 | Нормализация Пуанкаре-Дюлака. Резонанс, порядок резонанса, резонансный моном. Теорема Пуанкаре-Дюлака. Теорема о центральном многообразии. |
4 | Построение простейших нормальных форм. Нормальные формы систем дифференциальных уравнений в случаях бифуркаций обмена устойчивости и вилки. Связь нормальных форм с локальной динамикой исходных систем. |
5 | Бифуркация Андронова-Хопфа. Постановка задачи. Алгоритм построения нормальной формы для системы ОДУ общего вида. Простейшие свойства нормальной формы. |
6 | Бифуркация Андронова-Хопфа в системе с запаздыванием. Уравнение Хатчинсона. Устойчивость нулевого решения. Свойства систем с запаздыванием. Модификация алгоритма построения нормальной формы для уравнения с запаздыванием. |
7 | Бифуркация Богданова-Такенса. Нулевое собственное значение кратности два в линеаризованной задаче. Жорданова клетка в структуре нормальной формы. Пример построения нормальной формы задачи с запаздыванием. |
8 | Обзор бифуркаций коразмерности два. Общий вид нормальных форм. Два нулевых собственных значения без присоединенных векторов. Нулевое и пара чисто мнимых собственных чисел. Две пары чисто мнимых собственных значений без резонансов. Нормальные формы в случаях резонансов 1:1 и 1:2. |
9 | Понятие квазинормальной формы. Построение квазинормальной формы в простейшем случае. Общий алгоритм построения параболических краевых задач в частных производных как квазинормальных форм сингулярно возмущенных систем с запаздыванием. |
6.Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины:
а) основная литература:
1., Колесов методы анализа динамических систем. Учебное пособие. – Ярославль. ЯрГУ, 2006. – 92 с.
2.Арнольд главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений. – М., Наука, 1978. – 304 с.
б) дополнительная литература:
1., Кащенко уравнений первого порядка с запаздыванием. Учебное пособие. – Ярославль. ЯрГУ, 2006. – 132 с.
2.Кузнецов хаос. – М.: Физматлит, 2001. – 298 с.
3.Малинецкий проблемы нелинейной динамики. М.: Эдиториал УРСС, 20с.
