Задания

I.  Дана функция , точка , вектор . Требуется

а) Найти частные производные I и II порядка;

б) Составить уравнения касательной плоскости и нормали в точке ;

в) Исследовать на экстремум;

г) Найти производную функции в направлении вектора в точке .

, ,

А)

=-x+2y-6

Б) Определим третью координату точки касания, подставив x=-1, y=0 в уравнение поверхности. Получим z = 12. Точка касания имеет координаты (-1;0;12)

Перепишем уравнение в виде x2-xy+y2+9x-6y+20-z и найдем частные производные:

2x-y+9; -x+2y-6 .

Подсчитаем их значения в точке касания

; ; .

Уравнение касательной плоскости:

7(x-1)-5y-1(z-12)=0

7x-7-5y-z+12=7x-5y-z+5=0

Уравнение нормали:

В)

=-x+2y-6

2x-y+9=0

-x+2y-6=0

Решим систему уравнений:

X=2y-6, тогда 2(2y-6)+9=0

4y-12+9=0

4y=3

y=3/4

x=-9/2

Получили точку, в которой может быть экстремум (-9/2;3/4)

Найдем , , по формулам :

,

,

,

= 4 -1 = 3 больше 0, экстремум есть

больше нуля, значит в этой точке минимум

Г)

Найдем частные производные функции и подсчитаем их значения в точке М(-1;0)

= 7

=-x+2y-6 =-5

Чтобы найти производную по направлению (10), найдем направляющие косинусы вектора ,

;

Найдем производную по направлению:

,

7*(5/13)+(-5)*(12/13)=-15/13

II.  Полученные из опыта значения функции при различных значениях независимой переменной приведены в таблице. Методом наименьших квадратов найти функцию в виде . Сделать чертеж.

9.

	-1,9	-0,5	0,3	1,1	1,7	2,1	2,7	3,2	3,8	4,2	4,7
	-13,5	-12,1	-0,8	-7,1	-2,4	-0,8	5,6	9,7	14,5	17,5	21,7

Решение:

	x	y	x*x	x*y
1	-1,9	-13,5	3,61	25,65
2	-0,5	-12,1	0,25	6,05
3	0,3	-0,8	0,09	-0,24
4	1,1	-7,1	1,21	-7,81
5	1,7	-2,4	2,89	-4,08
6	2,1	-0,8	4,41	-1,68
7	2,7	5,6	7,29	15,12
8	3,2	9,7	10,24	31,04
9	3,8	14,5	14,44	55,1
10	4,2	17,5	17,64	73,5
11	4,7	21,7	22,09	101,99
сумма	21,4	32,3	84,16	294,64

A 84,16 + b21,4=294,64

A21,4 +11b = 32/3

84,16a + 21,4b = 294,64

21,4a+11b=32,3

B = 2,936 – 1,945a

84,16a + (2,936 – 1,945a)21,4 = 294,64

84,16a – 62,83 – 41,623a = 294,64

42,537a = 357,47

A= 8,4

B= 13,4

Y = 8,4x+13,4