Слабонелинейные нетеровы краевые задачи, не разрешенные относительно производной

УДК 517.9

СЛАБОНЕЛИНЕЙНЫЕ НЕТЕРОВЫ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ,

НЕ РАЗРЕШЕННЫЕ ОТНОСИТЕЛЬНО ПРОИЗВОДНОЙ

, ,

Аннотация: Найдены необходимые и достаточные условия существования решений слабонелинейной нетеровой краевой задачи для систем обыкновенных дифференциальных уравнений, не разрешенных относительно производной.

Ключевые слова: нелинейная краевая задача, краевая задача, не разрешенная относительно производной, уравнение типа Дюффинга.

Semi-nonlinear Noether boundary value problem unsolvable by derivative

S. M. Chuiko, O. V. Starkova, O. E. Pirus

Donbas State Pedagogical University, Ukraine,

Abstract: We construct necessary and sufficient conditions for the existence of solution of Noether weakly nonlinear boundary value problem for a system of unsolvable by derivative ordinary differential equations.

Keywords: nonlinear boundary value problem, boundary value problem unsolvable by derivative, Duffing equation.

1. Постановка проблемы.

Исследуем задачу о построении решения краевой задачи

в малой окрестности решения порождающей задачи

Здесь – -мерная матрица и – -мерный вектор-столбец, элементы которых – непрерывные на отрезке действительные функции, – линейный ограниченный векторный функционал Нелинейности и нетеровой краевой задачи (1) предполагаем непрерывно дифференцируемыми по неизвестной и ее производной в малой окрестности порождающего решения и его производной и по малому параметру в малой положительной окрестности нуля. Кроме того, считаем вектор-функцию непрерывной по независимой переменной на отрезке При этом считаем нелинейную вектор-функцию линейной по производной :

функцию и матрицу считаем непрерывно дифференцируемыми по неизвестной в малой окрестности порождающего решения и по малому параметру в малой положительной окрестности нуля, а также непрерывными по независимой переменной на отрезке Исследован критический случай причем предполагается выполненным условие

в этом случае порождающая задача (2) имеет семейство решений

Здесь – нормальная фундаментальная матрица однородной части системы (2), – -матрица, – -матрица, составленная из линейно-независимых столбцов -матрицы-ортопроектора -матрица, составленная из линейнонезависимых строк -матрицы-ортопроектора

– обобщенный оператор Грина краевой задачи (2),

– оператор Грина задачи Коши для системы (2), – псевдообратная матрица по Муру-Пенроузу [12].

2. Условия существования решения. Необходимые условия существования решения задачи (1) в критическом случае определяет следующая лемма. Доказательство леммы аналогично [12].

Лемма. Пусть краевая задача представляет критический случай и выполнено условие разрешимости порождающей задачи . Предположим также, что задача имеет решение, обращающееся при в порождающее . Тогда вектор удовлетворяет уравнению

Пример 1. Условия доказанной леммы выполняются в случае задачи о нахождении -решения уравнения типа Дюффинга

в малой окрестности порождающего решения. Задача (5) приводится к виду (1) при

.

Поскольку постольку в случае -периодической задачи для уравнения (5) имеет место критический случай. Порождающая задача имеет решение

Единственный корень уравнения (4) для порождающих амплитуд

определяет решение порождающей задачи в малой окрестности которого может существовать решение -периодической задачи для уравнения типа Дюффинга (5). Фиксируя одно из решений уравнения (4), приходим к задаче об отыскании решения задачи (1) в окрестности порождающего решения При условии

краевая задача

является невырожденной [9] и равносильна следующей

Здесь

В окрестности точек и имеет место следующее представление:

где . Аналогично выделяем линейную часть по и линейную часть по функционала

Обозначая постоянную -матрицу

приходим к операторной системе

равносильной задаче о нахождении решений задачи (7). Предположим, что для краевой задачи (7) выполнено условие гарантирующее [12] разрешимость второго уравнения операторной системы (11); здесь – -матрица-ортопроектор: В этом случае второе уравнение системы (11) имеет по меньшей мере одно решение вида

При этом операторная система (11) имеет по меньшей мере одно решение, при обращающееся в порождающее Для построения приближенного решения краевой задачи (7) в критическом случае при условии применим метод простых итераций. Этот метод отличают простота вычислительной схемы, показательная скорость сходимости, затухание ошибок округления и численная устойчивость [2, 3, 6, 7, 12]. Таким образом, доказана следующая теорема.

Теорема. Пусть для краевой задачи имеет место критический случай и выполнено условие разрешимости порождающей задачи . Тогда для каждого корня уравнения при условиях и задача имеет по меньшей мере одно решение, определяемое операторной системой

для обращающееся в порождающее

Оценка длины отрезка на котором сохраняется сходимость итерационной процедуры, построенной по методу простых итераций, может быть получена аналогично [2, 8] с использованием метода мажорирующих уравнений Ляпунова, либо из условия сжимаемости оператора, соответствующего системе (11) аналогично [13].

3. Периодическая задача для уравнения Дюффинга. Условия доказанной теоремы выполняются в случае -периодической задачи для уравнения типа Дюффинга (5). Выше было установлено, что уравнение для порождающих амплитуд имеет единственное решение. Невырожденность матрицы

гарантирует выполнение условия таким образом, -периодическая задача для уравнения типа Дюффинга (5) имеет единственное решение, при обращающееся в порождающее Для проверки выполнения условий представим нелинейность уравнения типа Дюффинга (5) в виде где

при этом заметим, что матрица невырождена и имеет обратную

Аналогично [11, 14] нами построено приближение к решению уравнения Дюффинга

Для оценки точности найденного приближения к периодическому решению уравнения типа Дюффинга (5) определим невязку

В частности, при имеем Уравнение типа Дюф-финга (5) может быть разрешено относительно старшей производной при условии В этом случае уравнение типа Дюффинга (5) является невырожденным; это условие выполняется для найденного нами приближения, например, при имеем

Литература

1.  Лекции по теории аппроксимации. – М: Наука, 1965. – 408 с.

2.  , Конструктивные методы анализа нелинейных систем. – М: Наука, 1979. – 432 с.

3.  , Функциональный анализ. – М: Наука, 1977. – 744 с.

4.  Вибрані математичні праці. – К.: Нью-Йорк, 2002. – 792 с.

5.  Избранные труды. Том 1. – К: Изд. Академии наук УССР, 1961. – 268 с.

6.  Проекционно-итеративные методы решения операторных уравнений. – К.: Наук. думка, 1968. – 244 с.

7.  Проекционно-итеративные методы. – К.: Наук. думка, 1993. – 288 с.

8.  , Построение периодических решений нелинейных систем в критических случаях // Укр. мат. журнал. – 1988. – Т. 40, № 1. – С. 62 – 69.

9.  , Шкіль М. І., Лінійні системи диференціальних рівнянь з виродженням. – К.: Вища школа, 2000. – 296 c.

10.  , , Нелинейные нетеровы краевые задачи, не разрешенные относительно производной // Динамические системы. – 2 (30). – №1 – 2. – 2012. C. 169 – 186.

11.  Boichuk I.А., Starkova O. V., Chuiko S.М. Weakly perturbed nonlinear boundary-value problem in critical case // Studies of the University of Zilina. Math. series. – 2009. – Vol. 23, Issue 1. – P. 1 – 8.

12.  Boichuk A. A., Samoilenko A. M. Generalized inverse operators and Fredholm boundary-value problems. – Utrecht; VSP, 2004. – XIV + 317 pp.

13.  Chuiko A. S. Domain of Convergence of an Iteration Procedure for a Weakly Nonlinear Boundary-Value Problem // Nonlinear Oscillations (N. Y.). – 2005. – Vol. 8, Issue 2. – P. 278 – 288.

14.  Chuiko S. M. On approximate solution of boundary value problems by the least square method // Nonlinear Oscillations (N. Y.) – 2008. – Vol. 11, Issue 4. –P. 585 – 604.

Информация об авторах

Чуйко Сергей Михайлович – доктор физико-математичесих наук, профессор, заведующий кафедрой математики Донбасского государственного педагогического университета (84116, Украина, Донецкая обл., 9). Контактный адрес: 84112, Украина, Донецкая обл., г. Славянск, , кв. 31, e-mail: *****@***ru. Область научных интересов: нетеровы краевые задачи для систем дифференциальных уравнений.

– кандидат физико-математичесих наук, доцент кафедры математики Донбасского государственного педагогического университета (84116, Украина, Донецкая обл., 9). Контактный адрес: 84121, Украина, Донецкая обл., г. Славянск, ул. Г. Батюка, 18А, кв. 120, e-mail: *****@***net. Область научных интересов: нетеровы краевые задачи для систем обыкновенных дифференциальных уравнений.

– аспирантка кафедры математики Донбасского государственного педагогического университета (84116, Украина, Донецкая обл., 9). Контактный адрес: 84116, Украина, Донецкая обл., г. Славянск, ул. Г. Батюка, 17, к. 209(2), e-mail: olya. *****@***ru. Область научных интересов: нетеровы краевые задачи для систем обыкновенных дифференциальных уравнений.