Вариант 2 (2б)

1.  Найти неопределенный интеграл:

Решение:

Используем интегрирование по частям:

Ответ:

2.  Вычислить определенный интеграл:

Решение:

Так как подынтегральная функция является неправильной дробью, то выделим целую часть:

Получим:

Ответ:

3.  Вычислить определенный интеграл:

Решение:

Ответ:

4.  Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:

, , .

Решение:

Построим заданные линии и найдем координаты точек их пересечения. Как видно из рисунка, площадь заштрихованной фигуры состоит из двух частей. Чтобы определить отрезки интегрирования, решаем системы уравнений:

1)

2)

3)

Таким образом, получили отрезки интегрирования: и .

Искомую площадь заштрихованной фигуры находим по формуле:

, где - площадь фигуры, ограниченной сверху линией , а снизу – линией , а - площадь фигуры, ограниченной сверху линией , а снизу – линией .

Следовательно, площадь фигуры равна:

Вычислим отдельно интегралы:

Итак, искомая площадь равна:

Ответ:

5.  Найти частные производные функции:

Решение:

При нахождении частной производной по х будем рассматривать у как величину постоянную. Получим:

Аналогично, дифференцируя по у, считаем х постоянной величиной, т. е.:

Ответ:

6.  Экспериментальные данные о значениях переменных х и у приведены в таблице:

xi

2

3

4

5

6

yi

2

5

15

20

30

В результате их выравнивания получена функция . Используя метод наименьших квадратов, аппроксимировать эти данные линейной зависимостью (найти параметры a и b). Выяснить, какая из двух линий лучше (в смысле метода наименьших квадратов) выравнивает экспериментальные данные. Сделать чертёж.

Решение:

Расчёты будем проводить в MS Excel (файл Задача 6_Карточка1.xls).

Составим расчётную таблицу:

i

1

2

2

4

4

4

2

3

5

9

25

15

3

4

15

16

225

60

4

5

20

25

400

100

5

6

30

36

900

180

S

20

72

90

1554

359

Вычислим параметры прямой регрессии У на Х:

,

.

Выборочное уравнение прямой регрессии У на Х:

,

.

Согласно методу наименьших квадратов вычислим квадраты отклонения прямой регрессии от экспериментальных данных, а также отклонения параболы от экспериментальных данных.

Вычисления сведём в таблицу.

i

1

2

2

0,2

1

3,24

1

2

3

5

7,3

6

5,29

1

3

4

15

14,4

13

0,36

4

4

5

20

21,5

22

2,25

4

5

6

30

28,6

33

1,96

9

S

20

72

13,1

19

Поскольку сумма квадратов отклонений для прямой меньше, чем для параболы (13,1<19), то прямая лучше выравнивает экспериментальные данные, чем парабола (с точки зрения метода наименьших квадратов).

Сделать чертёж.

Кривая экспериментальных данных изображена ниже голубым цветом, парабола – зелёным цветом, прямая регрессии – красным.

Ответ: Прямая лучше выравнивает экспериментальные данные, т. к. для её суммы квадратов отклонения меньше, с точки зрения метода наименьших квадратов.