Научно-практическая конференция школьников «Первые шаги в науку»

Муниципальное общеобразовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа №53 г. Брянска»

Научно-практическая конференция школьников

«Первые шаги в науку»

Исследовательская работа

Метод неопределенных коэффициентов

Математика

Выполнила:

ученица 11 класса

Руководитель:

учитель математики

Брянск 2013

Цель работы:

Научится решать уравнения методом неопределенных коэффициентов.

Задачи работы:

-изучить теоретический материал по данной теме;

-узнать алгоритм метода неопределённых коэффициентов;

-разобрать примеры, иллюстрирующие использование этого метода;

-применить изученный материал для уравнений, не решенных этим методом.

Введение

В школе мы узнаём что-то новое, проводим исследования и эксперименты, так как полученные знания пригодятся нам в будущем. В начальной школе на уроках математики мы выясняли, при каких допустимых значениях буквы обе части того или иного равенства принимают одинаковые числовые значения. На равенство в этом случае мы смотрим как на уравнение относительно указанной неизвестной величины. В 8 классе мы познакомились с решением квадратных уравнений с одной переменной.

В этом учебном году при подготовке к ЕГЭ я столкнулась с задание, в котором нужнол было найти значения a и b при, которых равенство выполняется при всех допустимых значениях переменной x. Приводя в правой части равенство дроби к общему знаменателю и учитывая, что знаменатели в левой и правой частях равны, получим: 5x+31=ax+2a+bx-5b. Так как многочлены в левой и правой частях равны, то получаем систему . Решив эту систему, я получила a=8, b=-3. Значит равенство верно при a=8, b=-3. Метод решения, который был применен при выполнении этого задания, называется методом неопределенных коэффициентов. Из дополнительного материала известно, что метод неопределенных коэффициентов применяется для представления дроби в виде суммы дробей. Появилось желание узнать больше про данный метод и при решении каких заданий его можно применять. Так была определенна тема моей работы «Метод неопределенных коэффициентов».

Метод неопределенных коэффициентов.

Существуют различные способы и методы решения задач и наиболее удобным, простым и понятным всем является метод неопределённых коэффициентов. Метод неопределённых коэффициентов – это метод, применяемый в математике для отыскания коэффициентов выражений, вид которых заранее известен.

Этот метод впервые применил французский философ Рене Декарт () в своей книге «Рассуждение о методе»(1637). Для Декарта самым ясным и точным языком для выражения научных истин был язык математики. Он стремился и в философии, и в науке найти математические законы, свести каждый вопрос или каждую задачу к математической. Декарт хотел создать такой универсальный математический метод, который позволил бы всякому, овладевшему им, решать любую задачу. Таким и стал, разработанный им метод неопределённых коэффициентов.

Теоретической основой метода неопределённых коэффициентов являются следующие теоремы:

Теорема 1 (о многочлене тождественно равном нулю). Если при произвольных значениях аргумента x значение многочлена A(x)=a0+a1x+a2x²+….+anxⁿ, заданного в стандартном виде, равно нулю, то все его коэффициенты a0, a1, a2….an равны 0.

Теорема 2. Два многочлен равны тогда и только тогда, когда равны их коэффициенты. A(x)=a0+a1x+a2x²+….+anxⁿ

B(x)=b0+b1x+b2x²+….+bnxⁿ Для того чтобы A(x)=B(x) необходимо и достаточно чтобы a0=b0, a1=b1, a2=b2, ….an = bn.

Итак, очевидно, что равные многочлены принимают при всех значениях x одинаковые значения. И наоборот, если значения двух многочленов равны при всех значениях x, то многочлены равны, то есть их коэффициенты при одинаковых степенях x совпадают.

Значит, идея применения метода неопределённых коэффициентов к решению задач состоит в следующем: пусть нам известно, что в результате некоторых преобразований получается выражение определённого вида и неизвестны лишь коэффициенты в этом выражении. Тогда эти коэффициенты обозначают буквами и рассматривают как неизвестные. Затем для определения этих неизвестных составляется система уравнений.

Примеры, иллюстрирующие использование метода неопределенных коэффициентов.

1.  Представление дроби в виде суммы дробей.

Алгоритм:

1.  Разложить знаменатель на множители.

2.  Раскладываемую дробь представить в виде суммы простейших дробей с неопределенными коэффициентами.

3.  Привести полученную сумму дробей с неопределенными коэффициентами к общему знаменателю.

4.  сгруппировать в числителе слагаемые с одинаковыми степенями.

5.  Приравнять коэффициенты при одинаковых степенях х.

6.  Решить систему уравнений и найти неопределенные коэффициенты.

7.  Записать ответ.

Рассмотрим на примере:

Представим дробь в виде суммы дробей. Отношение многочленов раскладывают на простейшие дроби, если степень многочлена числителя меньше степени многочлена в знаменателе.

Решение:

Во-первых, раскладываем знаменатель на множители x3-x=x(x2-1)=x(x-1)(x+1). Во-вторых, раскладываемую дробь представляем в виде суммы простейших дробей с неопределенными коэффициентами , a, b и c – коэффициенты, которые необходимо найти. В-третьих, приводим полученную сумму простейших дробей с неопределенными коэффициентами к общему знаменателю и группируем в числителе слагаемые при одинаковых степенях x.

.

Пришли к равенству: При x≠0, x≠±1 это равенство сводится к равенству двух многочленов. (a+b+c)x2+(b-c)x-a=2x2-5x-1. Два многочлена являются равными тогда и только тогда, когда коэффициенты при одинаковых степенях одинаковые. В-четвертых, приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях x. Таким образом, получаем систему линейных уравнений с неопределенными коэффициентами в качестве неизвестных. В-пятых, решаем полученную систему уравнений, находим неопределенные коэффициенты. Так как, а=1, то получаем , , , итак, a=1, b=-2, c=3. Следовательно, . В данной дроби степень многочлена числителя меньше степени многочлена в знаменателе. Как быть, если степень многочлена числителя больше степени многочлена в знаменателе. В этом случае сначала проводят деление многочлена числителя на многочлен знаменателя, а уже затем проводят представление правильной дробно-рациональной дроби.

2.  Деление многочлена на многочлен.

Алгоритм:

1.  Записать формулу деления многочленов с остатком.

2.  Подставить в формулу деления многочленов с остатком частное и раскрыть скобки.

3.  Приравнять многочлен-делимое, к формуле деления многочленов с остатком.

4.  По теореме о равных многочленах составить систему.

5.  Решить систему.

6.  Записать ответ.

Рассмотрим на примере:

Разделить многочлен A(x)=x3-2x2+x-1 на многочлен B(x)=x-2.

Решение:

Запишем формулу деления многочленов с остатком x3-2x2+x-1=(x-2)Q(x)+r. В этой формуле Q(x) – это многочлен второй степени, потому что при умножении на х дает х3. Значит, Q(x) = ax2+bx+c, где a, b, c – неопределенные коэффициенты.

Что нам известно об r? – это число, так как его степень не может превышать степень делителя. Значит,

x3-2x2+x-1= (x-2)(ax2+bx+c)+r=ax3+bx2+cx-ax2-2bx-2c+r=ax3+(b-2a)x2+(c-2b)x-----2c+r

По теореме о равных многочленах получаем систему уравнений

. ,

Ответ: x3-2x2+x-1=(x-2)(x2+1)+1.

3.  Представление произведения в виде многочлена стандартного вида.

Алгоритм:

1.  Найти к какой степени многочлена принадлежит произведение.

2.  Найти свободный член.

3.  Приравнять исходное произведение к многочлену.

4.  Найти значения переменной.

5.  Получить систему уравнений и решить ее.

6.  Записать ответ.

Рассмотрим на примере:

Не выполняя действий, представить произведение (x-1)(x+3)(x+5) в виде многочлена стандартного вида.

Решение:

Произведение есть многочлен третьей степени, коэффициент при старшем члене (x3) равен 1, а свободный член равен (-15). Значит,

(x-1)(x+3)(x+5)=x3+ax2+bx-15, где a и b неизвестные коэффициенты.

Так как многочлены тождественно равны, то они равны при всех значениях переменной.

Пусть х=1 и х=-3, тогда получаем: Значит (x-1)(x+3)(x+5)=x3+7x2+7x-15.

Ответ: x3+7x2+7x-15

4.  Разложение многочлена на множители.

Суть метода неопределенных коэффициентов состоит в том, что вид сомножителей, на которые разлагается данный многочлен, угадывается, а коэффициенты этих сомножителей (так же многочленов) определяется путем перемножения сомножителей и приравнивания коэффициентов при одинаковых степенях переменных.

Теоретической основой метода являются следующие утверждения:

Два многочлена равны тогда и только тогда, когда равны их коэффициенты.

Любой многочлен третьей степени имеет хотя бы один действительный корень, а потому разлагается в произведение линейного и квадратичного сомножителя.

Любой многочлен четвертой степени разлагается в произведение многочленов второй степени.

Алгоритм:

1.  Записать в каком виде будем искать разложение.

2.  Раскрыть скобки и сгруппировать по одинаковым степеням слагаемые в разложении.

3.  Приравнять коэффициенты при одинаковых степенях.

4.  Найти из каких чисел нужно искать корни.

5.  Перебор корней.

6.  Записать ответ.

Рассмотрим на примере:

Дан многочлен 

Разложить его на множители, если известно, что все его корни – целые числа.

Решение: Будем искать разложение в виде:

полагая числа a, b, c и d его корнями. Раскроем скобки в правой части и сгруппируем по одинаковым степеням.

Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях.

Так как корни нашего многочлена – целые, то из последнего уравнения системы заключаем, что они должны быть делителями числа 30. Следовательно, их следует искать среди чисел 

Проведя испытания, установим, что корни нашего многочлена -2, -5, 1 и 3. Следовательно х4+ 3х3 - 15х2 - 19х + 30 = (х - 1)(х - 3)(х + 2)(х + 5)

Ответ: (х - 1)(х - 3)(х + 2)(х + 5)

Заключение.

Рассмотренные в работе примеры могут быть решены и другими способами. Но цель работы заключалась в том, чтобы решить их методом неопределённых коэффициентов, показать универсальность этого метода, его оригинальность и рациональность, не отрицая того, что в некоторых случаях он приводит к громоздким, но не сложным преобразованиям.

Теперь я знаю, в каких случаях можно применять метод неопределённых коэффициентов. Я чаще смогу применять метод неопределённых коэффициентов для решения заданий.

Список используемой литературы.

, . Алгебра. 8 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений.―М.: Просвещение, 2009.

. История математики в школе.―М.: Просвещение, 1983

, , . Пособие по математике.―М.: Наука, 1972.

. Можно решать проще // Математика в школе.― 2003. -№8

Ресурсы интернета.

Приложение.

Практическая деятельность.

Решение уравнений методом неопределенных коэффициентов.

Задание 1:

Выполнить деление многочлена х5 – 6х3 + 2х2 -4 на многочлен х2 – х + 1.

Ответ: Q(x) = x3 + x2 - 6x - 5, R(x) = x + 1.

Задание 2:

Представить в виде многочлена стандартного вида произведение

(х - 1)(х + 3)(х + 5).

Ответ: х3 +7х2 + 7х – 15.

Задание 3:

Выполнить деление многочлена х7 –1 на многочлен х3 + х + 1

Ответ: Q(x) = x4 - x2 - x + 1, R(x) = 2x2 – 2.

Задание 4:

Разложить на множители многочлен 3x 3 – x 2 –3x +1

Ответ:  (x –1)(3 x 2+ 2x –1)

Задание 5:

Решить уравнение:(x2 + 4x – 2)2 + 4(x2 + 4x – 2) – 2 = х

Ответ: x1=; x2=; x3=; x4=.

Задание 6:

Разложить дробь на простейшие.

Ответ:

Решения.

Задание 1:

Выполнить деление многочлена х5 – 6х3 + 2х2 -4 на многочлен х2 – х + 1.

Решение: 

Надо найти такие многочлены Q(x) и R(x), что х5 – 6х3 + 2х2 -4 = (х2 – х + 1) Q(x) + R(x), причём степень многочлена R(x) меньше степени многочлена (х2 – х + 1). Из того, что степень произведения многочленов равна сумме их степеней, следует, что степень многочлена Q(x) равна 5 – 2 = 3.

Многочлены Q(x) и R(x) имеют вид:

Q(x) = q 3x3 + q 2x2 + q 1x + q0, 
R(x) = r 1x + r0. 
Подставим Q(x) и R(x): х5 – 6х3 + 2х2 -4 = (х2 – х + 1)( q 3x3 + q 2x2 + q 1x + q0) + r 1x + r0.

Раскроем скобки в правой части равенства:

х5 – 6х3 + 2х2 -4 = q 3x 5 + q 2x4 + q 1x3 + q 0x2 – q 3x4 - q 2x3 - q 1x2 –q 0 x + q 3x3 + q 2x2 + q 1x + q 0 + r 1x + r0 =  q 3x 5 + (q2 – q3) x4 + (q1 - q 2 + q3) x3 + (q0 - q 1 + q2) x2 + (q1 – q0 +r1) x + q0 +r0.

Для отыскания неизвестных коэффициентов получаем систему уравнений:

q0 +r0. = - 4, решая которую, получаем q3 =1, q2 =1, q1 =-6,  q0 =-5, r1 = 1, r0 = 1.

Ответ: Q(x) = x3 + x2 - 6x - 5, R(x) = x + 1.

Задание 2:

Представить в виде многочлена стандартного вида произведение

(х - 1)(х + 3)(х + 5).

Решение: Произведение есть многочлен третьей степени, коэффициент при старшем члене равен 1, а свободный член равен, тогда запишем:

(х - 1)(х + 3)(х + 5) = х3 + ах2 + вх - 15, где а и в - неизвестные коэффициенты.

Для вычисления их положим х = 1 и х = - 3, тогда получим:

 

откуда а =7, в = 7.

Ответ: х3 +7х2 + 7х - 15.

Задание 3:

Выполнить деление многочлена х7 –1 на многочлен х3 + х + 1.

Решение: Надо найти такие многочлены Q(x) и R(x), что х7 –1 = (х3 + х + 1) Q(x) + R(x), причём степень многочлена R(x) меньше степени многочлена (х3 + х + 1).

Из того, что степень произведения многочленов равна сумме их степеней, следует, что степень многочлена Q(x) равна 7– 3 = 4.

Многочлены Q(x) и R(x) имеют вид: Q(x) = q 4x4 + q 3x3 + q 2x2 + q 1x + q0, 
R(x) = r 2x2 + r 1x + r0.

Подставим Q(x) и R(x):

х7 –1 = (х3 + х + 1) (q 4x4 + q 3x3 + q 2x2 + q 1x + q0 ) + ( r 2x2 + r 1x + r0 ).

Раскроем скобки в правой части равенства:

х7 –1= q 4x 7 + q 3x6 + q 2x5 + q 1x4 + q 0x 3 + q 4x5 + q 3x4 + q 2x3 + q 1x2 + q 0 x +  q 4x4 + q 3x3 + q 2x2 +q 1x + q 0 + r 2x2 +r 1x + r0. 
х7 –1= q 4x 7 + q 3x6+(q2 + q4) x5+(q1+ q3) x4+(q0 + q 2 + q3) x3+(q1 + q2 +r2) x2 +(q0 +r1) x+( q0 +r0).

Получаем систему уравнений:

из которой получаем: q4=1, q3 = 0, q2= -1, q1 = -1, q0 =1, r2 = 2, r1 =0 , r0 = -2.

Ответ: Q(x) = x4 - x2 - x + 1, R(x) = 2x2 - 2.

Задание 4:

Разложить на множители многочлен 3 x3 – x2 – 3 x + 1.

Решение.

Поскольку многочлен третьей степени разлагается в произведение линейного и квадратичного сомножителей, то будем искать многочлены

x – p и ax 2 + bx + c такие, что справедливо равенство

3 x3 – x2 – 3 x + 1 = (x – p)(ax2 + bx + c) = ax3 + (b – ap) x2 + (c – bp) x – pc. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях в левой и правой частях этого равенства, получаем систему четырех уравнений для определения четырех неизвестных коэффициентов:

a=3

b−ap=−1

c−bp=−3

−pc=1.

Решая эту систему, получаем: a = 3, p = –1, b = 2, c = –1.

Итак, многочлен 3 x3 – x2 – 3 x + 1 разлагается на множители:

3 x3 – x2 – 3 x + 1 = ( x – 1)(3 x2 + 2 x – 1).

Ответ: ( x – 1)(3 x2 + 2 x – 1).

Задание 5:

Решить уравнение:(x2 + 4x – 2)2 + 4(x2 + 4x – 2) – 2 = х.

Решение:

Данное уравнение преобразуется к виду

x4 + 8x3 + 16x2 – x – 6 = 0.

Оно не имеет рациональных корней.

Левая часть уравнения является многочленом четвертой степени. Этот

многочлен раскладывается в произведение двух квадратных многочленов:

(х2+px+q)(х2+bx+c). Задача состоит в отыскании коэффициентов p, q, b, c.

Имеем:

x4 + 8x3 + 16x2 – x – 6 =(х2+px+q)(х2+bx+c)

Многочлены, стоящие в левой и правой частях этого равенства, тождественно равны. Приравнивая их коэффициенты при одинаковых степенях x, получим систему уравнений:

(1)

p+b=8 (1)

q+c+pb=16 (2)

pc+qb=-1 (3)

qc=-6 (4)

Попробуем найти некоторое целочисленное решение этой системы. Из последнего уравнения системы следует, что для q (как и для c) возможны следующие целые значения:

Начинаем перебор корней:

Пусть q=1, c= - 6. В этом случае второе и третье уравнения дают систему:

(2)

pb=21

-6p+b=-1

Для b получаем уравнение: b2+b-126=0

D=1- 4 (-126) = 505, т. к. корень из 505 не извлекается, то целых решений не будет.

(3)

Пусть q=-1, c=6. В этом случае второе и третье уравнения дают систему:

pb=11

6p-b=-1

Для b получаем уравнение: b2+b-66=0

D=1-4(-66)= 1+264=265, т. к. корень из 265 не извлекается, то целых решений не будет.

(4)

Пусть q=2, c=-3. В этом случае второе и третье уравнения дают систему:

pb=17

-3p+2b=-1

Для b получаем уравнение: 2b2-b-51=0

D=1-4 2(-51) = 409, т. к. корень из 409 не извлекается, то целых решений не будет.

(5)

Пусть q=-2, c=3. В этом случае второе и третье уравнения дают систему:

pb=15

3p-2b=-1

Для b получаем уравнение: -2b2-b+45=0

D=1-4(-2) 45=361, корень извлекается

b1=

b2=

Уравнение имеет целый корень b=-5, тогда из первого уравнения системы (1) получим p=13.

Итак имеем:

x4 + 8x3 + 16x2 – x – 6 =(х2+13x-2)(х2-5x+3)

Следовательно, данное уравнение эквивалентно совокупности квадратных уравнений:

х2+13x-2=0 (1)

(2)

х2-5x+3=0 (2)

Решим первое уравнение:

х2+13x-2=0

D= 169-4(-2)=169+8=177

x1=

x2=

Решим второе уравнение:

х2-5x+3=0

D=25-43=25-12=13

x3=

x4=

Таким образом, мы получили 4 корня уравнения.

Ответ: x1=; x2=; x3=; x4=.

Задание 6:

Так как степень многочлена в числителе меньше степени многочлена в знаменателе, то производить деление нам не придется. Переходим к разложению знаменателя на множители. Выносим x за скобки, получаем:

.

Находим корни квадратного трехчлена (например, по теореме Виета):

Следовательно квадратный трехчлен можно записать:

Знаменатель примет вид: .

При данном знаменателе, исходная дробь раскладывается в сумму трех простейших дробей с неопределенными коэффициентами:

Полученную сумму приводим к общему знаменателю:

Таким образом, пришли к неравенству:

Для нахождения неопределенных коэффициентов, начинаем подставлять в полученное равенство «частные значения», при которых знаменталь обращается в ноль.

При x=0 имеем

При x=2 имеем:

При x=3 имеем:

Ответ: