Лабораторная работа «Приближённые вычисления с помощью рядов»

Федеральное агентство

по сельскому хозяйству Р. Ф.

ФГОУ ВПО “Орловский государственный аграрный университет”.

Кафедра математики.

Лабораторная работа

«Приближённые вычисления

с помощью рядов.»

Методические указания ЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯи набор заданий

для выполнения типового расчета,

лабораторной работы и

самостоятельной работы

предназначены для студентов дневного отделения инженерных специальностей.

Составитель: старший преподаватель И НАБОР ЗАДАНИЙ ДЛЯ ВЫПОЛНЕНИЯ ТИПОВОГО РАСЧЁТА И ЛАБОРАТОРНОЙ РАБОТЫ

Содержание:

1. Цель……………………………………………………………. 4стр.

2. Краткие теоретические сведения……………………………. 5стр.

3. Примеры вычислений……………… ………………………………9стр.

4. Набор заданий…………… …………………………………….. 13стр.

5. Литература…………………………. ……………………………17стр.

Приближенные вычисления с помощью рядов.

Цель: Отработка навыков приближенных вычислений различных фун­кций при заданных значениях аргумента ,и приближенных вычислений определенных интегралов и интегрировании дифференциальных уравнений с использованием известных разложений функций в степенные ряды.

Порядок выполнения работы: из набора заданий каждый студент выбирает задания своего варианта и проводит приближенные вычисления с точностью до 0,0001 путем разложения в ряд соответствующих функций.

4

Краткие теоретическиеая сведения.

Приближенные вычисления значений функций с помощью степенных рядов.

В инженерной практике, а также при выполнении различных расчетно-графических и курсовых работ, часто приходится вычислять значения тригонометрических, показательных, иррациональных и других функций. Приближенно такие вычисления можно производить, представив заданную функцию в виде степенного ряда:

f(x)=а0+a1(x-х0)+а2(х-х0)2+...+аn(х-х0)2+ (1)

или

f(х)=а0+a1x + a2x2 +...+anxn+

Коэффициенты a0,a1,a2,...,аn,... находятся вычислением значений функции f(х) и ее производных при х=х0.Подставляя их в (1) и (2) получим:

f(x)=f(x0)+f(x0)(x-x0)/1!+f(x0)(x-x0)2/2!+...+f(x0)(x-x0)n/n!+… (3)

или

f(x)=f(0)+f(0)x/1!+f(0)x2/2!\+...+f(0)xn/n! +

Ряд (3) называется рядом Тейлора, а ряд (44) - рядом Маклорена. Очевидно, что найти коэффициенты рядов (3) или (4) можно, если f(x)- дифференцируемая бесконечное число раз функция, и если все ее производные существуют при х=х0 или, соответственно, при х=0.

Легко получить разложение в ряд Маклорена следующих функций:

Sin х =х-х3/3!+х5/5!-...+(-l)n+1 х2n-1/(2n-1)!+

Cos x =1-х2/2!-х4/4! -... +(-1)n Х2n /(2n)! +

ех =1+х+х2 /2!+х3 /3! + ... + xn /n! +

(1 +x)m =1+mx+m(m-1)/2! X2 +...+ m(m-1)(m-2)...(m-n+1)/n! xn

1/(1+x) =(1+x)-1=1-x+x2-x3+...+(-1)n xn+

ln(1+x) =0òx(1+x)-1dx=x-x2/2+x3/3+...+(-1)n+1xn/n (10)

Arctg x=0òx(1+x2)-1dx=x-x3/3+х5/5-...+(-l)2n-1/2n-l +

(12)

Радиусы сходимости (соответственно области сходимости) опре­деляются по формуле:

,

где

5

гдеап и аП+1 - коэффициенты n-ого и (n+1)-го членов ряда.

Ряды, соответствующие функциям (55, имеют область сходимос­ти: -∞< х < +∞, а ряды, соответствующие функциям (88) - (121), имеют область сходимости: -1 <х < 1 .

Используя формулы (55) - (121) можно приближенно вычислять зна­чения функций f(х) ппри любых значениях xх из области сходимости. Для этого достаточно вычислить сумму первых n членов ряда. Так,

Cos 0.25 = l-(0.25)2 /2!+(0.25)4 /4! +...+ (-l)n(0.25)2n /(2n)!

Результат получится тем точнее, чем больше слагаемых будет ис­пользовано. Ошибка вычислений будет равна сумме остатка ряда, на­чинающегося с (n+-l)-ro члена.

Если полученный ряд знакочередующийся, то, на основаниии теоремы Лейбница, для обеспечения погрешности,и можно не учитывать слагае­мое, значение которого меньше, чем e. Для рядов с положительными членами погрешность оценивается с учетом скорости сходимости ря­да. , но Иногда часто (в том числе и в наших заданиях) для вычисления с точностью e следует остановить подсчет на том слагаемом, которое окажется меньше e.

Вычисление определенных интегралов с помощью рядов.

Существуют определенные интегралы, которые как функции верхнего предела не выражаются в конечном виде через элементарные функции либо нахождение первообразной сложно. Такие интегралы иногда бывает удобно вычислять с помощью рядов.

Пусть требуется вычислить с точностью до . Если подынтегральную функцию можно разложить в ряд по степеням x и интервал сходимости

(-R;R) включит в себя отрезок , то для вычисления заданного интеграла можно воспользоваться свойством почленного интегрирования этого ряда. Ошибку вычислений определяют так же, как и при вычислении значений функции.

Интегрирование дифференциальных уравнений с помощью рядов.

Если решение дифференциального уравнения не выражается через элементарные функции в конечном виде или способ его решения слишком сложен, то прибегают к приближенным методам интегрирования уравнения. Одним из таких методов является представление решения уравнения в виде ряда Тейлора; сумма конечного числа членов этого ряда будет приближенно равняться искомому частному решению.

Пусть, например, требуется решить уравнение

, (13),

удовлетворяющее начальным условиям

. (14).

6 Решение уравнения (13) ищем в виде ряда Тейлора (3), при этом первые два коэффициента находим из начальных условий (14). Подставив в уравнение (13) значения , находим третий коэффициент: . Значения находим путем последовательного дифференцирования уравнения (13) по x и вычисления производных при. Найденные значения производных подставляем в равенство (3). Ряд (3) представляет искомое частное решение уравнения (13) для тех значений x, при которых он сходится. Частичная сумма этого ряда будет приближенным решением дифференциального уравнения(13).

Рассмотренный способ применим и для построения общего решения уравнения (13), если и рассматривать как произвольные постоянные.

Рассмотренный способ последовательного дифференцирования применим для решения дифференциальных уравнений любого порядка.

7

Практическое задание.

Из приложения 1 каждый студент выбирает задания своего вари­анта и проводит приближенные вычисления с точностью e= 0,0001 путем разложения в ряд соответствующих функций.

ППримеры вычислений:

Вариант 30.

№1. Вычислить с точностью до 0,0001.

Решение: Заменив в подынтегральном выражении его разложением в степенной ряд ,

получим

Полученный ряд знакочередующийся и третий член ряда (подчеркнутый) меньше 0,0001, то его можно не учитывать.

№N2. Вычислить .

e-0.3

Решение: Записываем разложение в ряд функции еx:

ex = 1 + х + x2 /2!+х3 /3! + ... при х=-0,3

Вычисляем последовательно каждое слагаемое при х=--0,.3 до тех пор, пока не получимдостигнем значение меньшеея 0,0001. Это и пос­ледующие слагаемые можно не учитывать.

e-0.3 =1-0,3+0,045-0,0045+0,0003377–5 - 0,00002 +...

Т. к. полученный ряд знакочередующийся и шестой член ряда (подчеркнутый) равен 0,00002, т. е. меньше чем

e =0,0001, то его уже можно не учитывать. Сумма оставшихся членов ряда равна 0,740838.

Следовательно, e-0.3 = 0,7408 с точностью e= 0,0001.

№N3.

Вычислить .

Решение: Т. к. близким к числу 24 числом, из которого легко извлека­ется корень 5-й степени, является число 32, то преобразуем

Вычисление 5Ö24 сводится к вычислению бинома . сводится к вычислению бинома (1-1/4)1/5.

Записываем разложение в ряд бинома (1+х)m:

(1+x)m =1+mx+m(m-1)/2!x2...+m(m-1)(m-2)...(m-n+1)/n! xn+...

Вычисляем каждое слагаемое при m=1/5 и х=(-1/4) до тех пор, пока достигнем значения 0,0001:

8

(1-1/4)1/5 = 1+1/5(-1/4) + 1/5(-4/5)(-1/4)2 +

1 2

+ 1/5(-4/5)(-9/5)(-1/4)3 +

6

+ 1/5(-4/5)(-9/5)(-14/5)(-1/4)4 +

24

+ 1/5(-4/5)(-9/5)(-14/5)(-19/5)(-1/4)5

120

(1-1/4)1/5 =(1-0,05-0,005-0,00075-0,000131-0,000025)

Т. к. шестое слагаемое (подчёркнутое) получилось меньше, чем e=0,0001, и видно, что в дальнейшем слагаемые будут уменьшаться быстро из-за увеличения n и, соответственно n!, то требуемая точность обеспечивается, если найти сумму этих шести слагаемых.

Следовательно, с точностью до 0,0001

а .

(1-1/4)1/5 =0, а 5Ö24 =2(1-1/4)1/5 =1,8882.

№4. Вычислить с точностью до 0,0001.

Решение: Воспользуемся разложением в ряд, полагая . Имеем

Достаточно взять три члена ряда, так как Тогда

№5. Проинтегрировать приближенно с помощью ряда Тейлора уравнение , взяв первые шесть членов разложения, отличных от нуля.

Решение: Из уравнения и начальных условий находим . Дифференцируя данное уравнение, последовательно получаем

Полагая и используя значения , последовательно находим .

Искомое решение имеет вид

9

Приложение 1.

Набор заданий.

Задания 1-4. Вычислить с точностью до e=0,0001.

Задание 5. Проинтегрировать приближенно с помощью ряда Тейлора уравнение, взяв шесть первых членов разложения, отличных от нуля.

Вари ант	Номер задания
1	2	3	4	5
1	0ò1 е-x/2dx	e0.15	3Ö28	Sin 0.5
2	0ò1(sinx/x)dx	e0.2	4Ö90	Sin 0.6
3	0ò1/2 3Ö1+x2 dx	e0.3	5Ö34	Sin 0.7
4	0ò1/2 Ö1+x3 dx	e0.4	6Ö60	Cos 0.1
5	0ò1/2 3Ö1+x3 dx	e0.5	7Ö130	Cos 0.2
6	0ò1arctg x2/2 dx	e-0.1	3Ö218	Cos 0.3
7	0ò1/2 1/1+x4 dx	Öe	4Ö626	Cos 0.4
8	0ò1 3Öx cosÖx dx	3Öe	4Ö620	Cos 0.5
9	0ò1Öx sinx dx	4Öe	4Ö78	Cos 0.6
10	0ò1ln(1+x2/2) dx	5Öe	3Ö135	Cos 0.7
11	0ò1Öx arctg x dx	e-0.1	3Ö56	Cos 0.8
12	0ò1sinx2/x dx	e-0.2	3Ö31	Cos 0.9
13	0ò1/2sinx2/x2 dx	e-0.3	3Ö24	Cos 0.75
14	0ò1/2 xln(1+x3)dx	e-0.4	4Ö18	Cos(2/3)
15	0ò1e-x/2 dx	1/(4Öe)	4Ö14	Sin 0.3
16	0ò1x sinx2 dx	e-0.2	4Ö12	Sin 0.2
17	0ò1/2Öx cosx dx	e-0.7	3Ö222	Sin 0.4
18	0ò1Öx e-x dx	e-0.8	3Ö210	Sin 0.5	,
19	0ò1/2 arctg x2 dx	e-0.9	3Ö145	Sin 0.8
20	0ò1/2 Ö1+x2 dx	e-0.25	3Ö126	Sin 0.9
21	0ò1cos3Öx dx	e1/3	4Ö627	Sin(2/3)
22	0ò1/2ln(1+Öx) dx	e2/3	4Ö630	Sin(1/4)
23	0ò1/2 3Ö1+x3 dx	e-2/3	5Ö40	Cos 0.15
24	0ò1/2 1/Ö1+x3 dx	e-2/5	5Ö20	Cos(1/4)
25	0ò1/2 Ö1+x4 dx	e3/5	4Ö82	Sin 0.35
26	0ò1/2 1/Ö1+x4 dx	e-3/5	3Ö120	Sin 0.45
27	0ò1/4Öxln(1+x2)dx	e0.15	7Ö144	Sin 0.55
28	0ò1x/1+x4 dx	e1/5	4Ö1.07	Sin(2/5)
29	0ò1x3sinx dx	e-1/6	5Ö1.5	Cos(2/5)
30	0ò1/3e-x dx	e-0.3	5Ö24	Cos 0.25

Литература

1. «Дифференциальное и интегральное исчисление», Москва, «Наука»,1985.

2. «Сборник задач по высшей математике», Москва, «Наука»,1987.

3. , и др. «Высшая математика в упражнениях и задачах»,

часть 2, Москва, «Высшая школа», 1986.

4. «Конспект лекций по высшей математике», часть 2,Москва, «Айрис-пресс», 2006.

12